ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Практическое занятие № 11-12
Практическое занятие № 11-12
Числовые характеристики случайных величин
Полную характеристикуо дискретной или непрерывной случайных величинах дают законы их распределения.
Однако во многих практически значимых ситуациях пользуются так называемымичисловыми характеристиками случайных величин, главное назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности их распределения. Важно, что эти параметры представляют собой конкретные (постоянные) значения, которые можно оценивать с помощью полученных в опытах данных.
В теории вероятностей и математической статистике используется достаточно много различных характеристик, рассмотрим наиболее часто употребляемые.
1. Характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана.
Именно онихарактеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторые важные ее значения, которые характеризуют распределение остальных значений. Среди них важнейшую роль играет математическое ожидание М(Х).
а) Математическое ожидание М(Х) случайной величины Х является вероятностным аналогом ее среднего арифметического 
.
Для дискретной случайной величины оно вычисляется по формуле:
(1)
а в случае непрерывной случайной величины М(Х) определяются формулами:
или 
(2)
|
|
|
где f(x) – плотность вероятности.
|
в) Еще одна характеристика положения – медиана (Ме) распределения случайной величины.
Медианой Ме(Х)случайной величины называют такое ее значение Х, которое делит все распределение на две равновероятные части. Другими словами для случайной величины одинаково вероятно принять значения меньше Ме (Х) или больше Ме(Х):
Р(Х < Ме) = Р(Х > Ме) = 
.
Поэтому медиану можно вычислить из уравнения: 
(3)
Графически медиана – это значение случайной величины, ордината которой делит площадь, ограниченную кривой распределения, пополам (S1 = S2) (рис.1в). Этой характеристикой обычно пользуются только для непрерывных случайных величин, хотя формально ее можно определить и для дискретных Х.
Если М(Х), Мо(Х) и Ме(Х) совпадают, то распределение случайной величины называют симметричным, в противном случае – асимметричным.
2. Характеристики рассеяния – дисперсия и стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение).
|
|
|
Дисперсия D(X)случайной величиныХ определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной Х от ее математического ожидания М(Х):
, (4)
или 
. (5)
Для дискретнойслучайной величины диперсия вычисляется по формулам:
, (6) или 
. (7)
а для непрерывной величины, распределенной в интервале (a,b):
, или 
(8)
Дисперсия характеризует среднее рассеяние, разбросанность значений случайной величины Х относительно ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».
Но дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что весьма неудобно при оценке разброса в физических, биологических и др. приложениях. Поэтому обычно пользуются другим параметром, размерность которого совпадает с размерностью Х. Это среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, которое обозначают s (Х):
s (Х) = 
(8)
Итак, математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия и среднее квадратичное отклонение являются наиболее употребляемыми числовыми характеристиками распределений случайных величин, каждая из которых, как было показано, выражает какое-нибудь характерное свойство этого распределения.
|
|
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы. Вычислить 1) математическое ожидание; 2) дисперсию; 3) среднее квадратическое отклонение.
| 5 | 10 | 15 | 20 |
| 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
2.Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы. Вычислить дисперсию случайной величины X по формуле (5) и по формуле(6).
|
| -2 | -1 | 0 | 1 | -2 |
|
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
3.Заполните пустую клетку ряда распределения случайной величины Х и найдите математическое ожидание данной случайной величины.
|
| -2 | 3 | 7 | 9 |
|
| 0,1 | 0,2 | 0,1 |
4.Случайная величина Х задана интегральной функцией 
.
Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
5.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
.
Найдите математическое ожидание случайной величины Х.
6.Случайная величина Х задана дифференциальной функцией
.
Найдите числовые характеристики случайной величины Х.
|
|
|
7.Случайная величина Х задана функцией распределения 
.
Найдите числовые характеристики 
.
8.Закон распределения случайной величины задан таблицей
| X | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,15 | 0,25 | 0,3 |
Записать законы распределения случайных величин 3X, 
, 
. Найти математические ожидания случайных величин X, 3X, , .
9.Известны математические ожидания двух случайных величин X и Y: 
. Найти математические ожидания суммы и разности этих величин.
10.Известны математические ожидания двух независимых случайных величин X и Y: 
. Найти математическое ожидание их произведения.
11.Найти математическое ожидание случайной величины 
, если известно, что 
.
12.Симметричная монета подбрасывается 4 раза. Случайная величина X – «число выпадений герба при этих подбрасываниях». Найдите числовые характеристики случайной величины X: 
.
13.Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин 
.
14.Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения
| X | 5 | 2 | 4 | Y | 7 | 9 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 | 0,8 | 0,2 | 0,8 |
Найти математическое ожидание случайной величины 
двумя способами: 1) составив закон распределения ; 2) пользуясь свойствами математического ожидания.
15. Дискретная случайная величина X может принимать только два значения 
и 
, причем 
. Известны вероятность 
, математическое ожидание 
и дисперсия 
. Найти закон распределения дискретной случайной величины X.
Домашнее задание
1. Закон распределения случайной величины задан таблицей
| X | 3 | 6 | 9 | 12 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
1) Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
2) Запишите законы распределения случайных величин 2X, 
и математические ожидания этих случайных величин.
2. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана функцией
Найдите числовые характеристики данной случайной величины.
3. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: 
, а также известны 
. Найдите закон распределения случайной величины X.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 951; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!