Определение линейного уравнения первого порядка
Определение неопределенного интеграла.
Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.
2.Свойства неопределенного инеграла.
1. d∫f(x)dx=f(x)dx.
2. ∫dF(x)=F(x)+C.
3. ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.
4. ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.
5. ∫f(x)dx=∫f(x(t))x′(t)dt.
3.Основные табличные интегралы.
4. Определение определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона Лейбница:
.
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Определённый интегралявляется числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f(x) и отрезку [ а, b]; обозначается 
5. Геометрический смысл определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x)
и прямыми у=0; х=а; х=b.
6. Свойства определенного интеграла.
1)Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3) Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:
4) Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:
|
|
|
5) Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:
6) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:
7. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.
1) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми.
2) Сделать чертеж области
3) Найдем точки пересечения данных кривых.
8. Дифференциальные уравнения: определение, порядок дифференциального уравнения, общие и частные решения.
Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные от искомой функции и может содержать искомую функцию и независимую переменную.
Уравнение вида F (x, y (x), y ' (x), …, y (n)(x)) = 0, где x — независимая действительная переменная, y (x) — искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.
Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, содержащее произвольные постоянные, из которого любое частное решение может быть получено при соответствующем подборе произвольных постоянных.
|
|
|
Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.
9.Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными (общий вид, способ решения).
Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением
обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается
10. Линейные дифференциальные уравнения I порядка (общий вид, способ решения).
Определение линейного уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
11.Дифференциальные уравнения II порядка вида y"=f(x) (способ решения).
называется дифференциальным уравнением второго порядка.
12. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами (общий вид, способ решения при различных случаях дискриминанта характеристического уравнения).
1)Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:
2) Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:
|
|
|
где C1 и C2 − произвольные постоянные.
13. Определение числового ряда. Примеры числовых рядов.
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида.
Пример: 
14. Определение сходящегося ряда. Сумма ряда.
сумма ряда - это (конечный) предел последовательности его частичных сумм.
Ряд 
называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм 
сходится.
15. Необходимое условие сходимости ряда.
Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.
16. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признак сравнения.
Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда:
Тогда, если, начиная с некоторого места 
выполняется неравенство: 
то из сходимости ряда следует сходимость 
.
17. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признак Даламбера.
|
|
|
Если для числового ряда
существует такое число 
, 
, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство
то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера
то ряд расходится.
18. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: радикальный признак Коши.
Если для числового ряда
с неотрицательными членами существует такое число 
что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство
то данный ряд сходится.
19. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда.
Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю: 
Причём, убывают монотонно. Если выполненыобаусловия, то ряд сходится.
20. Знакопеременные ряды. Достаточное условие сходимости знакопеременного ряда.
Функциональный ряд 1 называется сходимым в точке Хо, если числовой ряд 2, полученный из ряда 1 подстановкой Х=Хо, является сходимым рядом. При этом Хо называется точкой сходимости ряда.
21. Абсолютная и условная сходимость.
Ряд 
называется абсолютно сходящимся, если ряд 
также сходится.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
22. Степенные ряды Теорема Абеля. Область сходимости и радиус сходимости степенного ряда.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа.
Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором 
, где 
-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что 
Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что 
23.Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Пусть функция 
бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки 
. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции 
в точке .
разложение в ряд функции f(x) =ex. Поскольку f (n)(x) =ex, то для любого фиксированного a > 0, для всех x 
(-a,a) и всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство
0 <f (n)(x) < ea.
24. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье
Тригонометрическим рядом Фурье функции 
называют функциональный ряд вида
25. Разложение функций в ряды Фурье
Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку 
, преобразуем ее в функцию
определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид
Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 584; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!