Определение линейного уравнения первого порядка

Определение неопределенного интеграла.

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.

2.Свойства неопределенного инеграла.

1. d∫f(x)dx=f(x)dx.

2. ∫dF(x)=F(x)+C.

3. ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.

4. ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

5. ∫f(x)dx=∫f(x(t))x′(t)dt.

 

3.Основные табличные интегралы.

 

4. Определение определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона Лейбница:

.

Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Определённый интегралявляется числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм), соответствующих функции f(x) и отрезку [ а, b]; обозначается

5. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x)

и прямыми у=0; х=а; х=b.

6. Свойства определенного интеграла.

 

1)Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

3) Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

4) Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:

5) Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:

6) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:

 

7. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

1) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми.

2) Сделать чертеж области

3) Найдем точки пересечения данных кривых.

8. Дифференциальные уравнения: определение, порядок дифференциального уравнения, общие и частные решения.

Дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое содержит производные от искомой функции и может содержать искомую функцию и независимую переменную.

Уравнение вида F (x, y (x), y ' (x), …, y (n)(x)) = 0, где x — независимая действительная переменная, y (x) — искомая функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.

Общим решением дифференциального уравнения называется такое его решение, содержащее произвольные постоянные, из которого любое частное решение может быть получено при соответствующем подборе произвольных постоянных.

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.

 

9.Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными (общий вид, способ решения).

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением

обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается

10. Линейные дифференциальные уравнения I порядка (общий вид, способ решения).

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

 где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

11.Дифференциальные уравнения II порядка вида y"=f(x) (способ решения).

называется дифференциальным уравнением второго порядка.

 

12. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами (общий вид, способ решения при различных случаях дискриминанта характеристического уравнения).

1)Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение:

2) Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид:

где C1 и C2 − произвольные постоянные.

13. Определение числового ряда. Примеры числовых рядов.

 

Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида.

Пример:

14. Определение сходящегося ряда. Сумма ряда.

сумма ряда - это (конечный) предел последовательности его частичных сумм.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится.

15. Необходимое условие сходимости ряда.

Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

 

16. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признак сравнения.

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

Тогда, если, начиная с некоторого места выполняется неравенство:

то из сходимости ряда  следует сходимость .

17. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: признак Даламбера.

 

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

 то ряд расходится.

18. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: радикальный признак Коши.

 

Если для числового ряда

 с неотрицательными членами существует такое число что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

 то данный ряд сходится.

 

19. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда.

 

Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: Причём, убывают монотонно. Если выполненыобаусловия, то ряд сходится.

 

20. Знакопеременные ряды. Достаточное условие сходимости знакопеременного ряда.

Функциональный ряд 1 называется сходимым в точке Хо, если числовой ряд 2, полученный из ряда 1 подстановкой Х=Хо, является сходимым рядом. При этом Хо называется точкой сходимости ряда.

21. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

22. Степенные ряды Теорема Абеля. Область сходимости и радиус сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа.

Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что

23.Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд

 называется рядом Тейлора функции в точке .

разложение в ряд функции f(x) =ex. Поскольку f (n)(x) =ex, то для любого фиксированного a > 0, для всех x (-a,a) и всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

0 <f (n)(x) < ea.

 

24. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида

25. Разложение функций в ряды Фурье

Рассмотрим кусочно-непрерывную f (x), заданную в интервале [− L, L]. Используя подстановку , преобразуем ее в функцию

определенную и интегрируемую в интервале [−π, π]. Разложение в ряд Фурье для функции F (y) имеет вид

Коэффициенты Фурье для данной функции определяются формулами

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 196; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ