Вычитание множеств. Свойства вычитания.



Понятие множества числа и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами и их свойства. В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и др. Все эти различные совокупности называют множествами. Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах: множество гласных букв русского языка, множество натуральных чисел, множество треугольников. Множество – это совокупность предметов, сама рассматриваемая как один предмет. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Объекты, составляющее данное множество, называются его элементами. Множество задается 2 способами: 1. Перечислением всех его элементов, например А = {2, 6, 15} (множество А состоит из трех элементов – целых чисел 2, 6, 15). 2. С указанием характеристического свойства. Характеристическим свойством, определяющим множество, называется такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий данному множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий. Часто одно и то же множество может задано и первым, и вторым способами. В этом случае в фигурных скобках записывают обозначение произвольного элемента множества, ставят вертикальную черту, а затем свойство, характеризующее в точности все элементы множества. Например, множество K натуральных чисел, меньших 5 можно записать: K= {1, 2, 3, 4} или K={х | х N и х < 5}. Множества могут быть конечными или бесконечными. Например, множество работников предприятия – конечно, а множество точек прямой – бесконечно. Отношения между множествами: 1) Пересечение 2) Включение 3) Равенство Пусть даны два произвольных множества А и В. Рассматривая вопрос об отношениях между ними, необходимо прежде всего отметить две возможности. I Множество А и В не имеют общих элементов, т. е. из того, что х∈ А, следует, что х ∉В, а из того, что у ∈В следует, что у∉ А. (рис а)  II Множество А и В имеют общие элементы, т.е. существуют такие элементы х, для которых верно то, что х ∈ А и х ∈ В. При этом возможны 4 случая отношений между множествами. 1 Не все элементы множества А принадлежат множеству В, и не все элементы множества B принадлежат множеству А. В этом случае говорят, что множества А и В находятся в отношении пересечения. (рис б) Пример: А = { п, и, о, н, е, р}; В = {у, ч, е, н, и, к}. 2 Все элементы множества А принадлежат множеству В, множество В может содержать элементы, не принадлежащие множеству А. В этом случае говорят, что множество А и В находятся в отношении включения. (рис в) Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Обозначают включение символом А⊂В, читают: « А Включается в В», или «А- подмножество В». Свойства отношения включения: 1) Рефлексивность, т.е всякое множество включается в себя . 2) Транзитивность : из того что S⊂ M и M⊂P, следует, что S⊂P.(рис 35) 3) Для всякого множества А справедливо включение ∅ ⊂ А. Поскольку ∅ не имеет элементов, естественно считать его подмножеством любого множества. 3 Не все элементы множества К принадлежат множеству N, но множество К может содержать элементы, не принадлежащие множеству N. В этом случае множество N включается во множество K. 4 все элементы множества А принадлежат множеству В, и все элементы множества В принадлежат множеству А. (А⊂В и В⊂А) Равенство множеств обозначают символом А= В( читают А равно В) Отношения равенства множеств обладает свойствами: 1) Рефлексивность,т.е. всякое множество равно самому себе. 2) Симметричность: если А= В, то В=А. 3) Транзитивность: если А=В и В=С, то А=С. Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Например, множество действительных чисел R является универсальным для вышерассмотренных числовых множеств. 2.Объединения, пересичения множеств. Свойства объединения и пересечения. Объединением для двух множеств называется множество, содержащее все элементы обоих множеств. A∪B = { x | x ∈ A V x ∈ B}   Пусть А={-6, -3, 0, 3, 6}, B={0,2, 4, 6, 8}. Тогда A∪B = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}. Свойства операции объединения. Справедливы следующие равенства: 1. A∪B = B∪A (коммутативность); 2. (А∪B) ∪C = А (B∪C) (ассоциативность); 3. Если A⊇B, то А∪В= А; 4. Объединение А и пустого множества равно А. 5. (A∪В)∩С=(А∪C)∩(A∪С)(дистрибутивность)   Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися. Свойства операции пересечения множеств. Справедливы следующие равенства: 1. A∩B = B∩A (коммутативность); 2. (A∩В)∩С = А∩(В∩С) (ассоциативность); 3. Если A⊇B, то А∩B = В; 4. А∩Ø=Ø . 5. (A∩В)∪С=(А∩C)∪(A∩С) (дистрибутивность)

Вычитание множеств. Свойства вычитания.

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В, обозначается А \ В. А \ В = {х А и х В}.
Х \ Y = {0, 1, 3, 5} \ {1, 2, 3, 4} = {0, 5}. Если мы найдем разность множеств Y и Х, то результат будет выглядеть так: Y \ X = {2; 4}. Таким образом, разность множеств не обладает переместительным (коммутативным) свойством. Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность данных множеств изобразится заштрихованной областью.
А \ В Если множества не имеют общих элементов, то их разность будет изображаться так:

 

А \ В Если одно из множеств является подмножеством другого, то их разность будет изображаться так:

А \ В

Пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А \ В ∩ С такой: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А. Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А \ В U С надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.

Вычитание множеств обладает рядом свойств:

1.(А \ В) \ С = (А \ С) \ В.
2. (А U В) \ С = (А \ С) U (В \ С).
3.(А \ В) ∩ С = (А ∩ С) \ (В ∩С).

4.А \ (В U С) = (А \ В) ∩ (А \ С).

5.А \ (В ∩ С) = (А \ В) U (А \ С).

 

3. Понятие разбиения множества на классы. Примеры разбиения множеств на два (три, четыре и т.д) подмножеств. Примеры заданий на классификацию из начального курса математики.
Классификацией, или разбиением множества на классы называется представление этого множества в виде объединения не пустых попарно пересекающихся своих подмножеств.  
Понятие множеств и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.
Определение. Множество A разбито на классы  если:
1) Подмножества не пусты
2) Подмножество попарно не пересекаются
3) Объединение подмножеств впадает с множеством A.
Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной.
Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, так как выполнены все условия, данные в операции.
Пример 1:
Пусть A – множество двухзначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным». Множество A разбилось на два подмножество:
 – множество четных чисел
 – множество нечетных чисел, при этом  È  = A и  Ç = Æ
Т.е. задание одного свойства приводят к разбиению этого множества на два класса.
Пример 2. Пусть A – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множество треугольников можно выделить два подмножества: B – множество прямоугольных треугольников и C – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса:
 

I – множество прямоугольных треугольников
II - множество остроугольных треугольников
III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников.
Примеры заданий на классификацию из начального курса математики.
1. Подготовительные задания.
Сюда относятся задания вида: уберите лишний предмет, назовите лишний предмет, нарисуйте фигуру такого же цвета (формы, размера), дайте название группе предметов. Сюда же можно включить задания на развитие внимания и наблюдательности: какой предмет убрали? Положите предметы в той последовательности, в которой они лежали первоначально. Сравните похожие рисунки и найдите отличие и др.
2. Задания, в которых на основание классификации указывает учитель.
Например: Разбейте данные числа на группы – однозначные числа и двухзначные числа: 2, 7, 35, 41, 4, 8, 80, 63, 3.

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 3476; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!