ІІ етап Всеукраїнської олімпіади з математики 2015 рік. ІІ етап Всеукраїнської олімпіади з математики 2015 рік
ІІ етап Всеукраїнської олімпіади з математики 2015 рік
6 клас
1. До деякого числа додали суму його цифр і отримали 2015. Наведіть приклад такого числа.
Вказівка: 2011+(2+0+1+1)=2015.
Відповідь: 2011.
2. Вовк, Їжак, Чиж і Бобер ділили апельсин. Їжакові дісталося удвічі більше часточок, ніж Чижеві, Чижеві - вп’ятеро менше, ніж Бобру, а Бобру – на 8 часточок більше, ніж Чижеві. Знайдіть, скільки часточок було в апельсині, якщо Вовкові дісталася тільки шкірка.
Вказівка: Перший спосіб. Нехай Чижеві дісталося x часточок апельсина. Тоді Їжакові дісталося 2x часточок, а Бобру - 5x часточок (Вовкові - 0 часточок). Знаючи, що Бобру дісталося на 8 часточок більше, ніж Чижеві, складаємо рівняння: 5x − x = 8. Отже, x = 2. Всього часточок в апельсині було x + 2x + 5x + 0 = 8x. Підставивши x = 2, отримаємо 16 часточок. Другий спосіб. Приймемо кількість часточок апельсина, які дісталися Чижеві, за одну частину, тоді Їжак отримав дві частини, Бобру дісталось п'ять частин, а Вовкові -нуль частин. Бобру дісталося на 4 частини більше, ніж Чижеві, що складає 8 частинок. Отже, одна частина - це 2 частинки. Оскільки всього частин 8, то частинок – 16.
Відповідь: 16.
3. У коробці лежать 2009 білих і 2010 чорних куль. Вони ретельно перемішані. Яке найменше число куль треба вийняти з коробки не дивлячись, щоб серед них обов'язково знайшлися 340 куль одного кольору?
Вказівка: 339+339+1=679. Менше на може гарантувати, так як може бути по 339 кульок кожного кольору. Обґрунтування достатності 679 слідує з принципу Діріхле.
|
|
|
Відповідь: 679.
4. На столі лежать в ряд чотири фігури: трикутник, круг, прямокутник і ромб. Вони забарвлені в різні кольори: червоний, синій, жовтий, зелений. Відомо, що червона фігура лежить між синьою і зеленою; праворуч від жовтої фігури лежить ромб; круг лежить правіше і трикутника і ромба; трикутник лежить не з краю; синя і жовта фігури лежать не поруч. Визначте, в якому порядку лежать фігури і якого вони кольору.
Вказівка:
Для зручності викладу повторимо усі умови задачі : 1) червона фігура - між синьою і зеленою; 2) праворуч від жовтої фігури - ромб; 3) круг - правіше і трикутника і ромба; 4) трикутник - не з краю; 5) синя і жовта фігури - не поруч. Оскільки червона фігура лежить між синьою і зеленою (умова 1), а жовта - не поряд з синьою (умова 5), то можливі тільки два варіанти розташування фігур за кольором: "синя, червона, зелена, жовта" або "жовта, зелена, червона, синя". Перший з приведених варіантів невірний, оскільки згідно умови 2 жовта фігура не може лежати на правому краю. Залишається тільки одна можливість розташування фігур по кольорах: "жовта, зелена, червона, синя". З умови 2 відразу ж визначається, що ромб - зелений. Звідси і з умови 4 випливає, що трикутник - червоний. У свою чергу звідси і з умови 3 випливає, що круг - синій. Значить, прямокутник може бути тільки жовтим.
|
|
|
Відповідь: прямокутник - жовтий, ромб - зелений, трикутник - червоний, круг - синій.
Кожне завдання оцінюється 7-ма балами
Час розв’язання 3 год.
Користування калькуляторами заборонено
ІІ етап Всеукраїнської олімпіади з математики 2015 рік
7 клас
1. Знайдіть останні дві цифри числа . 20162015
Вказівка: останні дві цифри числа дорівнюють 25 для парних чисел n і 75 для непарних n. n2015
Відповідь: 25.
2. Вздовж паркану ростуть 8 кущів малини. Число ягід на сусідніх кущах відмінна на 1. Чи може на всіх кущах разом бути 225 ягід?
Вказівка:
За умовою число ягід на кущах відрізняється на 1. Отже, число ягід на одному з кущів парне, а на іншому непарне, тому разом на двох сусідніх кущах - непарна кількість ягід. Тоді кількість ягід на восьми кущах дорівнює сумі 4 непарних чисел, тобто парному числу. Але число 225 - непарне. Це означає, що на разом усіх кущах не може рости 225 ягід.
Відповідь: не може.
3. У ящику 25 кг цвяхів. Як за допомогою шалькових терезів і однієї гирі в 1 кг за два зважування відміряти 19 кг цвяхів?
|
|
|
Вказівка:
1) на одну шальку слід покласти гирю і 12 кг цвяхів, а на іншу - 13 кг цвяхів
2) 12 кг цвяхів слід розкласти на дві шальки порівну
3) 19 кг складається з 13 кг і 6 кг цвяхів.
Відповідь: 19 кг.
4. Рядовий Іваненко почистив відро картоплі за 4 години і у нього 20% всієї картоплі пішло в лушпиння. За скільки годин він отримає таке ж відро начищеної картоплі?
Вказівка:
Рядовий почистив відро картоплі за 4 години, при цьому він начистив 0,8 відра. Тоді ціле відро він начистить за 4: 0,8=5 годин.
Відповідь: 5 годин.
5. За круглим столом сидять 9 чоловік: лицарі (які завжди говорять правду) і брехуни (які завжди брешуть). Кожен сказав: "Мої сусіди - брехун і лицар". Скільки всього брехунів за столом?
Вказівка:
Якщо праворуч від брехуна А сидить брехун Б, то праворуч від Б також сидить брехун і так далі, тобто усі, які сидять за столом - брехуни, що невірно за умовою.
Якщо ж праворуч від брехуна А сидить лицар Б, то праворуч від Б - лицар В, а праворуч від В - брехун Г і так далі.
Відповідь: 3.
Кожне завдання оцінюється 7-ма балами
Час розв’язання 4 год.
Користування калькуляторами заборонено
ІІ етап Всеукраїнської олімпіади з математики 2015 рік
|
|
|
8 клас
1. При яких цілих значеннях n є цілим числом значення дробу: .
Вказівка:
. Отже, n-2 дільник числа 3. 23322323−+++=−−−nnnnnn
Відповідь: -1; 1; 3 ; 5.
2. Удома у Олега є сейф, але коду він не знає. Бабуся розповіла Олегу, що код складається з 7 цифр - двійок і трійок, причому двійок більше, ніж трійок. А дідусь - що код ділиться і на 3, і на 4. Чи зможе Олег з першої спроби відкрити сейф?
Вказівка:
Оскільки двійок більше, ніж трійок, то двійок може бути 4, 5, 6 або 7. У першому випадку сума цифр дорівнює 17, в другому - 16, в третьому - 15, а в останньому - 14. За ознакою подільності на 3 число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3. Значить, годиться тільки третій варіант, і в коді має бути рівно одна трійка. За ознакою подільності на 4 число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 4 число, що складається з двох останніх цифр даного числа. Значить, код обов'язково кінчається на 32. Звідси робимо висновок, що код рівний 2222232.
Відповідь: так.
3. Подайте у вигляді квадрата суми вираз . 1)4)(3)(2)(1(+++++xxxx
Вказівка:
2222222)55(124)5(10)5(1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(++=++++++=+++++=+++++xxxxxxxxxxxxxx
4. У один ряд ростуть 2015 сосен. На кожній з них до півночі сиділо рівно по одній сові. Рівно опівночі кожна сова злетіла і перелетіла на сосну, що росте через одну від тієї з якою вона злетіла. Чи могло так вийти, щоб на кожній сосні знову сиділо по одній сові? Відповідь обґрунтуйте.
Вказівка:
Перенумеруємо усі дерева числами від 1 до 2015 в порядку розміщення в ряді. Сова з другого дерева перелетить на четверте. Тоді сова з четвертого дерева перелетить на друге (на шосте вона перелетіти не може, оскільки, тоді на другому дереві ніхто не сидітиме). Міркуючи аналогічно, ми отримаємо, що сови на шостому і восьмому - поміняються місцями, на 10-му і 12-му, на 2010-му і 2012-му. Але тоді сові з 2014 дерева нікуди буде перелітати.
Відповідь: не можна.
5. У зірки ACEBD рівні кути при вершинах A і B, кути при вершинах E і C, а також рівні довжини відрізків AC і BE. Відомо, що AD = 10 см Знайдіть BD.
Вказівка:
Трикутники і рівні за стороною і прилеглими до неї кутами. Отже, - за теоремою про суміжні кути. Тому трикутник рівнобедрений . Отже, , тобто .ACGBEFGFDFGDBFAGBFEAGC∠=∠=∠=∠.,GFD )(FDGD=FDBFGDAG+=+смBDBDAD10,==
Відповідь: 10 см.
Кожне завдання оцінюється 7-ма балами
Час розв’язання 4 год.
Користування калькуляторами заборонено
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 999; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!