Теория подобия и методы анализа размерностей.



 

Основная трудность, возникающая при экспериментальном исследовании конвективного теплообмена, заключается в том, что коэффициент теплоотдачи за­висит от многих параметров.

Если проводить опыты, изме­няя m раз каждый из 6 параметров, влияющих на теплообмен, то суммарное число опытов будет N = m6, т. е. порядка 106.

Согласно основной теореме метода анализа размерностей (p-теореме) зави­симость между N размерными величина­ми, определяющими данный процесс, мо­жет быть представлена в виде зависимо­сти между составленными из них (N – К) безразмерными величинами, где К — число первичных переменных с неза­висимыми размерностями, которые не могут быть получены друг из друга. В уравнении (5.12) общее число пере­менных (включая a) равно 7, из них четыре первичных (их мы принимали за единицы измерения); соответственно без­размерных чисел в уравнении (5.14) N - К = 7 - 4 = 3.

Каждый из безразмерных парамет­ров имеет определенный физический смысл. Их принято обозначать первыми буквами фамилий ученых, внесших су­щественный вклад в изучение процессов теплопереноса и гидродинамики.

Число Нуссельта (1887-1957 гг.):

Число Рейнольдса (1842—1912):

Безразмерные комплексы обычно не являются точным отношением каких-то сил, а лишь качественно характеризуют их соотношение.

Число Прандтля (1875—1953):

Сложность метода анализа размерностей заключается в необходимости знания всех параметров, влияющих на искомую величину. Для неисследованных процессов эти парамет­ры находят, проводя предварительные эксперименты. Если же процесс уже опи­сан математически, хотя бы на уровне дифференциальных уравнений, то в эти уравнения, в граничные и начальные ус­ловия к ним, входят все влияю­щие на процесс параметры. Приводя к безразмерному виду математическое описание процесса, получают те же са­мые безразмерные числа. Этим занимается теория подобия. И, наконец, если даже задача решена аналитически, то и в этом случае для удобства анализа решение часто при­водят к безразмерному виду. Например, построить графическую зависимость теп­лового потока через цилиндрическую стенку от всех параметров очень сложно, а зависи­мость в безразмерной форме Q/[ll(tc1 - tc2)] = f (d2/d1) выразится с помощью единственной линии. Причем, если бы не было аналитического решения, мы могли бы эту линию построить на основании результатов экспериментов, а затем по­добрать вид функции. Не исключено, что мы бы угадали лога­рифмическую зависимость, но при не­большом интервале изменения парамет­ров ее легко спутать с линейной, тем более, что опытные точки сами отклоняются от точной кривой из-за по­грешности измерений. Никогда нет пол­ной уверенности, что подобранная эмпи­рическая зависимость точно соответству­ет неизвестному реальному закону, по­этому область ее применения всегда ограничивается теми интервалами изме­нения безразмерных параметров, в кото­рых проведен эксперимент.

 

Особенности математического моделирования, виды математических моделей (ММ). Понятие идентификации математической модели. Этапы построения ММ.

 

Математические модели – специальный инструмент, который позволяет оценить недоступные прямым измерениям свойства регуляторных систем и процессов. Математическая модель представляет собой систему математических соотношений – формул, функций, уравнений, описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса. Модель – не только отражение наших знаний об исследуемом объекте, но и источник новых сведений, полученных с помощью модели.

Классификация математических моделей

наиболее естественна такая классификация:

-дескриптивные (описательные) модели;

-оптимизационные модели;

-многокритериальные модели;

-игровые модели.

Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики — теория игр, — изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта.

Универсальность - определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти.

Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 326; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ