Поняття інфімума та супремума множини



Визначення 6. Множина  називається обмеженою знизу (зверху), якщо існує така стала  ( ), що для  виконується: ( ). В цьому випадку  ( ) називається нижньою (верхньою) межею множини .

Приклад. - сегмент. - нижня межа , бо всі елементи будуть більшими за 0. Крім того нижньою межею також можуть бути числа: , , . Взагалі будь-яке число, меньше чи рівне 3, є нижньою межею , множина - обмежена знизу. Будь-яке число, що більше або дорівнює 9, буде верхньою межею , тому  - множина, обмежена зверху.

З розглянутого прикладу зрозуміло: якщо деяка множина обмежена знизу (чи зверху), вона має безліч нижніх (чи верхніх) меж.

Приклад. Множина натуральних чисел  обмежена знизу, бо всі натуральні числа більші за 0, тобто 0 – це одна з нижніх меж, але  - не обмежена зверху.

Визначення 7. Множина  називається обмеженою, якщо вона обмежена знизу і зверху, тобто існує така стала , що для  виконується: .

Таким чином,  - обмежена множина, а - необмежена множина.

Визначення 8. Число  називається точною нижньою межею, чи інфімумом множини  і позначається , якщо виконуються наступні умови:

1.  - нижня межа ;

2. Для  вже не буде нижньою межею для , тобто знайдеться такий елемент , що .

Таким чином, точна нижня межа – це найбільша з усіх нижніх меж множини, вона визначається однозначно. Так для попередніх прикладів, коли , то , а .

Визначення 9. Число  називається точною верхньою межею, чи супремумом множини  і позначається , якщо виконуються наступні умови:

1.  - верхня межа ;

2. Для  вже не буде верхньою межею для , тобто знайдеться такий елемент , що .

Таким чином, точна верхня межа – це найменьша з усіх верхніх меж множини, вона визначається однозначно. Для попередніх прикладів, коли , то , а  не існує.

Якщо множина обмежена зверху (знизу), в неї обов’язково існує точна верхня (нижня) межа.

Лема про вкладені відрізки

Аксіома повноти. Якщо ,  і для ,  виконується нерівність

 

,

 

то існує така стала , що для  виконується: .

Будемо казати, що відрізок  вкладений у відрізок , якщо  (чи інакше: ). Позначимо .

Лема (про вкладені відрізки). Будь-яка послідовність вкладених відрізків  має хоча б одну спільну точку. Якщо для  існує відрізок  такий, що його довжина меньша за , то така точка єдина.

Зауваження. Не будь-яка послідовність вкладених інтервалів чи напівінтервалів має спільну точку.

Приклад. Нехай , де . Така сукупність спільної точки не має.

 

Поняття покриття множини. Лема Бореля

Нехай   – деяке сімейство (сукупність) множин.

Сукупність  називається покриттям множини А, якщо кожний елемент А належить хоча б одному з , тобто .

Лема (Бореля). З будь-якої нескінченної сукупності інтервалів, що покривають сегмент , можна виділити скінченну сукупність інтервалів, яка також покриває .

Якщо покриття  таке, що його елементи попарно не перетинаються ( ), і всі , те таке покриття називається розбивкою множини А.

Приклад. . Тоді - покриття, але не розбивка, - розбивка і покриття, - не є ні покриттям, ні розбивкою.

 

Питання

1. Визначення множини. Навести приклади множин. Скінченні та нескінченні множини. Потужність множини.

2. Чим повністю визначається множина? Як можна задати множину? Навести приклади.

3. Які множини називаються рівними?

4. Що таке підмножина множини?

5. Властивості підмножин.

6. Коли говорять, що між множинами  і  встановлена взаємо-однозначна відповідність? 7. Які множини називаються рівнопотужними? Навести приклади.

8. Операції над множинами та їх властивості.

9. Принцип двоїстості.

10. Яка множина називається обмеженою, обмеженою знизу, зверху? Навести приклади.

11. Скільки може існувати верхніх (нижніх) меж у множини?

12. Що називається точною нижньою (верхньою) межею множини? Скільки точних верхніх (нижніх) меж може мати обмежена зверху (знизу) множина?

13. Аксіома повноти.

14. Лема про вкладені відрізки. Коли спільна точка вкладених відрізків єдина? Що можна сказати про існування спільної точки у вкладених інтервалів, напівінтервалів?

15. Побудувати покриття і розбивку для множини

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1248; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!