Властивості операцій над множинами

Лекція 1. Вступні зауваження

План

Множини та їх властивості

Поняття інфімума та супремума множини

Лема про вкладені відрізки

Поняття покриття множини. Лема Бореля

Множини та їх властивості

Поняття множини належить до фундаментальних понять математики, строгого визначення якого не існує до цього моменту. Наслідком цього є наявність парадоксів і протиріч у теорії множин.

Визначення 1 (за Кантором). МножинаS – це будь-яка сукупність визначених об'єктів довільної природи нашої інтуїції або інтелекту, що розрізняються між собою, яка розглядається як єдине ціле. Ці об'єкти будемо називати елементами або членами множини S. Елементи множин позначають малими літерами, самі множини – великими.

Якщо є (не є) елементом множини , то пишуть:

Множини можуть складатися з скінченної або нескінченної кількості елементів, тоді вони називаються відповідно скінченними чи нескінченними множинами. Кількість елементів множини називається її потужністю і позначається . Для нескінченної множини : .

Приклади нескінченних множин.

1. Множина натуральних чисел - - це числа, які використовуються при рахуванні: 1, 2, 3, ....

2. Множина цілих чисел - - це натуральні числа, їм протилежні і нуль: ....., -2, -1, 0, 1, 2, .....

3. Множина раціональних чисел - - це числа, які представляються у вигляді: , де , чи у вигляді періодичного десятичного дробу. Наприклад, .

4. Множина ірраціональних чисел – це числа, які можуть бути представлені у вигляді неперіодичного десятичного дробу, наприклад, .

5. Множина дійсних чисел - .

Множина повністю визначається своїми елементами: щоб задати множину, потрібно вказати, які елементи їй належать. Це можна зробити різними способами:

· Перерахуванням елементів - у цьому випадку всі елементи беруть у фігурні дужки й розділяють комами (так можуть задаватися тільки скінченні множини). Наприклад, ;

· Характеристичним предикатом – характеристичний предикат – це деяка умова, що дозволяє перевірити, чи належить будь-який даний елемент множині. Якщо для даного елемента умова виконана, то він належить обумовленій множині, а якщо ні, то - не належить. Завдання у вигляді характеристичного предиката виглядає наступним чином: . Наприклад, нехай - це множина парних натуральних чисел, тоді

Нехай - це множина дійсних коренів рівняння , ця множина скінченна, але її елементи поки що є невідомими. Визначити таку множину теж можно за допомогою визначення властивості її елементів:

Визначення 2. Множини і будуть рівними ( ), якщо вони складаються з однакових елементів, тобто можна доказати одночасно дві умови:

1. Якщо елемент , то ;

2. Якщо елемент , то .

Визначення 3. Кажуть, що множина є підмножиною множини і позначають:

чи ,

якщо кожний елемент множини є одночасно елементом множини . Якщо множина містить хоча б один елемент, який не належить , то - множина не є підмножиною множини .

Наприклад, .

Приклад. Нехай . Тоді:

Елементами множини можуть бути інші множини, наприклад, . Множина містить 3 елементи: . Зазначимо, що для множини : , бо елементи - це , і, наприклад, .

Серед множин існує одна, яка за своїми властивостями і складом принципово відрізняється від всіх інших – це порожня множина, яка не містить в своєму складі жодного елемента і позначається .

Для будь-якої множини вірно: , оскільки порожня множина не містить таких елементів, які б не належали .

Для скорочення запису і зручності надалі будемо використовувати два квантори:

- «будь-який», «для будь-якого»;

- «існує», «знайдеться».

Властивості підмножин

1. Для будь-якої множини вона є своєю підмножиною. З використанням введених кванторів ця властивість може бути записано наступним чином:

2. якщо , то .

3. якщо , то . Ця властивість є умовою рівності двох множин.

4. якщо , то .

5. .

Необхідно розрізняти відношення включення, тобто відношення «бути підмножиною» (це відношення між множинами) і приналежності (відношення між елементами й множиною). Наведені вище властивості не мають місця для відношення приналежності. Наприклад: . Звідси не випливає, що .

Будь-яка непорожня множина має завжди хоча б 2 підмножини: . Якщо містить елементів, та кількість різних її підмножин - .

Визначення 4. Говорять, що між множинами і встановлена взаємо-однозначна відповідність, якщо кожному елементу множини відповідає один і тільки один елемент множини В, і кожному елементу множини В відповідає один елемент множини А.

Якщо між множинами і може бути встановлена взаємо-однозначна відповідність, то множини мають однакову потужність і називаються рівнопотужними: .

Приклад. Множина десяткових цифр рівнопотужна множині пальців на руках людини, але не рівнопотужна множині пальців на руках і ногах.

Приклад. Множина парних натуральних чисел рівнопотужна множині всіх натуральних чисел.

Операції над множинами

Об'єднання множин – це множина

Визначається однозначно.

Переріз множин – це множина

Для будь-яких множин маємо:

Дві множини називаються неперетинними, якщо , і перетинними інакше.

Абсолютне доповнення (або просте доповнення) множини А - це

Відносне доповнення множини В до множини А (або різниця А-В) – це

Симетрична різниця А і В: .

Властивості:

;

Властивості операцій над множинами

Теорема 1. Нехай - універсальна множина, тобто множина, яка для конкретної розглянутої задачі включає всі інші множини як підмножини. Для мають місце рівності:

1. Ідемпотентність:

; ;

2. Комутативність:

, ;

3. Асоціативність:

, ;

4. Дистрибутивність:

, ;

5. , ;

6. , .

Властивості множин у теоремі 1 записуються парами. Рівність теорії множин, яка виходить із іншої рівності заміною всіх операцій на , на , на , на , називається двоїстою до вхідної.