Определяем параметры источника

ТРЕXФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

3.1. Трехфазная система питания потребителей электроэнергии.

Расширение понятия «фаза». Расчет трехфазных цепей

Трехфазный симметричный источник питания представляет собой совокупность трех синусоидальных ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на треть периода (на угол ). Законы изменения этих ЭДС во времени могут быть представлены следующими выражениями:

. (3.1)

Временные диаграммы ЭДС трехфазного симметричного источника представлены на рис. 3.1 б. На рис. 3.1 а эти ЭДС представлены в виде вращающихся векторов на плоскости.

а б

Рис. 3.1

В качестве трехфазных источников чаще всего используются трехфазные генераторы. На электрических схемах трехфазный генератор принято изображать в виде трех обмоток, расположенных друг к другу под углом . Каждая обмотка имеет начало и конец. Так, начало первой обмотки обозначают буквой А, конец – буквой X; начало второй - буквой В, конец – буквой Y; начало третьей - буквой С, конец - буквой Z(см. рис. 3.2 а).

а б

Рис. 3.2

Как уже было сказано, генератор принято называть источником, а обмотки генератора - фазами источника. Потребитель электроэнергии является нагрузкой для источника, поэтому потребителя принято называть нагрузкой. Под действием напряжений источника по фазам нагрузки протекают токи, сдвинутые относительно друг друга по фазе.

Под фазой трехфазной цепипонимают участок, по которому протекает один и тот же ток. Фаза имеет начало и конец. Фазой называют также аргумент синусоидальной функции. Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса фаза – это либо участок цепи, либо аргумент синусоидально изменяющейся функции.

Пренебрегая внутренними сопротивлениями источника, можно принять соответствующие ЭДС источника равными напряжениям, действующим на его зажимах:

. (3.2)

Комплексные фазные напряжения симметричного источника могут быть представлены в виде

; (3.3)

; (3.4)

, (3.5)

где - фазное напряжение источника.

На основании второго закона Кирхгофа могут быть определены комплексные линейные напряжения симметричного источника (см. рис. 3.2 а):

; (3.6)

; (3.7)

. (3.8)

Для трехфазного симметричного источника справедливы следующие выражения:

; (3.9)

. (3.10)

Условные направления фазных и линейных напряжений источника показаны на рис. 3.2 а. Между напряжениями трехфазного симметричного источника существуют следующие соотношения:

; (3.11)

; (3.12)

, (3.13)

где - линейное напряжение источника.

Векторная диаграмма напряжений трехфазного симметричного источника на комплексной плоскости представлена на рис. 3.2 б.

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, поэтому их расчет может быть произведен с использованием рассмотренного в разд.1 метода комплексных чисел. Отметим, что расчет трехфазных цепей с помощью указанного метода также сопровождается построением совмещенной векторной диаграммы.

3.2. Трехфазные трехпроводные цепи при соединении фаз нагрузки «звездой»

Схема трехфазной трехпроводной цепи при соединении нагрузки «звездой» показана на рис. 3.3. Цепь названа трехпроводной по количеству проводов, соединяющих нагрузку с источником.

Рис. 3.3

При соединении фаз источника «звездой» концы обмоток X, Y, Zсоединяют в одну точку (см. рис. 3.3), которую называют нейтральной точкой источникаN. Началаобмотокисточника обозначают буквамиA,B,C.

Аналогично при соединении нагрузки «звездой» концы фаз x, y, zсоединяют в одну точку, которую называют нейтральной точкой нагрузкиn. Началафаз нагрузки обозначают буквамиa,b,c.

Фазы нагрузки на рис. 3.3 показаны в виде комплексных сопротивлений . Нагрузка подключается к источнику с помощью соединительных проводов Аа,Bb, Cc,называемыхлинейными.

Здесь и далее условимся параметры, относящиеся к фазам источника, обозначать индексами , а параметры, относящиеся к фазам нагрузки, - индексами .

По линейным проводам протекают линейные токи , условное направление которых показано на рис. 3.3.

Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, считаем, что к фазам нагрузки приложены напряжения, равные фазным напряжениям источника:

, (3.14)

а между линейными проводами действуют линейные напряжения

. (3.15)

Под действием напряжений по соответствующим фазам нагрузки протекают фазные токи , условное направление которых показано на рис. 3.3.

Фазные токи нагрузки могут быть определены на основании закона Ома:

; (3.16)

; (3.17)

. (3.18)

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b, cсоответственно

; (3.19)

; (3.20)

. (3.21)

На основании (3.19)-(3.21) можем записать

. (3.22)

Выше было показано, что трехфазные источники, как правило, являются симметричными. При этом нагрузка трехфазного источника может быть симметричной или несимметричной.

Нагрузка является симметричнойпри выполнении условия

. (3.23)

Для симметричной нагрузки справедливыми являются соотношения (3.13) и (3.22), а также равенства:

; (3.24)

. (3.25)

Векторная диаграмма напряжений для симметричной нагрузки при соединении фаз «звездой» показана на рис. 3.4 а. Анализ диаграммы показывает, что нейтральная точка нагрузки n совпадает с нейтральной точкой источника N, а фазные напряжения нагрузки равны фазным напряжениям источника в соответствии с условием (3.14).

При несимметричной нагрузке

, (3.26)

поэтому нарушается соотношение (3.13), не выполняется равенство (3.24), а сумма комплексов фазных напряжений по (3.25) дает число, отличное от нуля. В результате нейтральная точка нагрузки n смещается относительно нейтральной точки источника N в сторону той фазы, по которой протекает наибольший ток, а между нейтральными точками нагрузки и источника появляется напряжение смещения нейтрали :

. (3.27)

Это приводит к перекосу фазных напряжений нагрузки. В таких случаях говорят, что нарушается симметрия фазных напряжений нагрузки.

Фазные напряжения источника и фазные напряжения нагрузки будут связаны следующими соотношениями:

. (3.28)

Векторная диаграмма напряжений для несимметричной нагрузки при соединении фаз «звездой» показана на рис. 3.4 б.

а б

Рис. 3.4

Векторная диаграмма для трехфазных цепей также может быть выполнена совмещенной, то есть на одной комплексной плоскости откладывают векторы фазных токов и напряжений. Если нагрузка соединена «звездой», то векторы фазных токов откладывают из точки n независимо от условий нагружения (симметричная или несимметричная нагрузка), учитывая угол сдвига между током и напряжением соответствующей фазы. Значение угла зависит от характера сопротивления данной фазы и определяется по формуле (1.26). В остальном методика построения векторных диаграмм не отличается от методики, описанной в разд. 1.8, справедливыми являются также рекомендации табл. 1.1.

Следует отметить, что для трехфазной трехпроводной цепи независимо от условий нагружения справедливо следующее выражение

. (3.29)

3.3. Трехфазные четырехпроводные цепи при соединении фаз нагрузки «звездой»

Недостатком трехфазных трехпроводных цепей является нарушение симметрии фазных напряжений при несимметричной нагрузке.

От этого недостатка свободны трехфазные четырехпроводные цепи.

На рис. 3.5 показана схема трехфазной четырехпроводной цепи при соединении нагрузки «звездой». Отличительной особенностью данной цепи является наличие четвертого – нейтральногопровода, соединяющего нейтральные точки нагрузки и источника.

Рис. 3.5

Для схемы, представленной на рис. 3.5, независимо от условий нагружения справедливы соотношения: (3.13), (3.22), (3.24) и (3.25).

На основании первого закона Кирхгофа для узла n можем записать

. (3.30)

В случае симметричной нагрузки токи фаз будут равны по величине и сдвинуты по фазе на угол . Тогда на основании (3.29) и (3.30) получим:

. (3.31)

Очевидно, что в данном случае нейтральный провод никак себя не проявляет, поскольку ток в нем отсутствует.

В случае несимметричной нагрузки токи фаз будут отличаться по величине, кроме того, изменится угол сдвига фаз между током и напряжнием. Тогда на основании (3.30) получим:

. (3.32)

Сопоставив (3.31) и (3.32), можем сделать вывод: наличие нейтрального провода, по которому протекает ток , позволяет обеспечить несимметричную трехфазную нагрузку симметричным питанием.

3.4. Трехфазные электрические цепи при соединении фаз нагрузки «треугольником»

Схема трехфазной трехпроводной цепи при соединении нагрузки «треугольником» показана на рис. 3.6.

Рис. 3.6

При соединении нагрузки «треугольником» конец первой фазы хсоединяется с началом второй фазы b, конец второй фазы y -с началом третьей фазы с, конец третьей фазы z -с началом первой фазы а.

Фазы нагрузки на рис. 3.6 показаны в виде комплексных сопротивлений . Нагрузка подключается к источнику с помощью линейных проводов, по которым протекают линейные токи.

Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, считаем, что к фазам нагрузки приложены напряжения, равные линейным напряжениям источника

. (3.33)

Под действием напряжений по соответствующим фазам нагрузки протекают фазные токи , условное направление которых указано на рис. 3.6.

Фазные токи нагрузки могут быть определены на основании закона Ома:

; (3.34)

; (3.35)

. (3.36)

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b, cсоответственно:

; (3.37)

; (3.38)

. (3.39)

Для соединения нагрузки «треугольником» справедливо соотношение

. (3.40)

При симметричной нагрузке справедливыми являются следующие соотношения:

; (3.41)

; (3.42)

; (3.43)

. (3.44)

В рассмотренных выше примерах фазы источника были соединены «звездой», однако возможно также соединение фаз источника «треугольником». При этом конец первой фазы Xсоединяется с началом второй фазы В, конец второй фазы Y - с началом третьей фазы C, конец третьей фазы Z -с началом первой фазы A.

3.5. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной цепи

Полную комплексную мощность одной фазы трехфазной цепи можно определить, умножив комплекс фазного напряжения на сопряженный комплекс тока этой фазы:

(3.45)

где - комплексный ток, сопряженный комплексному току фазы.

Формула (3.45) справедлива как для соединения фаз нагрузки «звездой», так и для соединения «треугольником», независимо от условий нагружения.

При этом активная мощность является действительной частью полной комплексной мощности , а реактивная мощность - ее мнимой частью, которые обозначаются соответственно:

; (3.46)

. (3.47)

В (3.45) знак перед определяется характером сопротивления данной фазы и зависит от угла , величину которого можно определить по формуле (1.26). Очевидно, что знак «плюс» перед ставится, если , что возможно при выполнении условия ; и знак «минус» - если , что возможно при выполнении условия .

При симметричной нагрузке активная, реактивная и полная мощности трехфазной цепи могут быть определены по следующим формулам:

; (3.48)

; (3.49)

. (3.50)

Причем

; (3.51)

. (3.52)

3.6. Измерение активной мощности в трехфазных цепях

Для измерения активной мощности в трехфазной четырехпроводной цепи (соединение фаз нагрузки «звездой» с нейтральным проводом) при несимметричной нагрузке измерение активной мощности производят тремя ваттметрами по схеме рис. 3.7.

Рис. 3.7

Рассмотрим включение ваттметров W1-W3 (см. рис. 3.7). Начала обмоток ваттметров обозначены точками. Токовая обмотка ваттметра W1 включена в цепь линейного провода Аа, по ней протекает линейный ток I_а; обмотка напряжения ваттметра W1 включена между линейным проводом Аа инейтральным проводом Nn, к ней приложено фазное напряжение U_а. Тогда мощность, измеряемую ваттметром W1, можем определить следующим образом:

. (3.53)

Аналогично для ваттметров W2 и W3:

; (3.54)

. (3.55)

В данном случае активная мощность трехфазной четырехпроводной цепи равна сумме активных мощностей P₁, P₂ и P₃.

В трехфазной трехпроводной цепи при несимметричной нагрузке измерение активной мощности производят методом двух ваттметров по схеме, представленной на рис. 3.8.

Рис. 3.8

Рассмотрим включение ваттметров W1 и W2 на рис. 3.8. Токовая обмотка ваттметра W1 включена в цепь линейного провода Аа, по ней протекает линейный ток I_а; обмотка напряжения ваттметра W1 включена между линейными проводами Аа и Вb, к ней приложено линейное напряжение U_а_b. Тогда мощность, измеряемую ваттметром W1, можем определить следующим образом:

. (3.56)

Токовая обмотка ваттметра W2 включена в цепь линейного провода Сс, по ней протекает линейный ток I_С; обмотка напряжения ваттметра W2 включена между линейными проводами Cc и Вb, к ней приложено напряжение U_CB, равное по величине и направленное противоположно линейному напряжению U_B_с. Тогда мощность, измеряемую ваттметром W2, можем определить следующим образом:

. (3.57)

Активная мощность трехфазной трехпроводной цепи по методу двух ваттметров равна сумме активных мощностей P₁ и P₂.

На рис. 3.8 показано, что нагрузка соединена «треугольником», однако данный метод может быть применен и при соединении нагрузки «звездой» без нейтрального провода.

При симметричной нагрузке фаз достаточно измерить мощность одной из фаз и результат утроить.

4. РАСЧЕТ ТРЕXФАЗНЫX ЭЛЕКТРИЧЕСКИX ЦЕПЕЙ

МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫX ЧИСЕЛ

4.1. Условие расчетного задания №2. Варианты задания

Выполнить преобразование трехфазной электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.1, для соединения в «звезду» и в «треугольник», учитывая, что нагрузкой фаз являются элементы (комбинация элементов), представленные для соответствующих вариантов задания в табл. 4.1. Параметры источника и элементов нагрузки даны в табл. 4.2.

Определить показания приборов, изображенных на рис. 4.1. По результатам расчета построить для каждого потребителя совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.

Рис. 4.1

К трехфазному источнику, фазы которого соединены по схеме «звезда», подключены два потребителя: фазы первого соединены по схеме «звезда», фазы второго – по схеме «треугольник». На выходах трехфазного источника (см. рис. 4.1) действуют три линейных напряжения U_Л, изменяющиеся с частотой f. Показанные на рис. 4.1 приборы измеряют следующие электрические величины: амперметр – силу тока в нейтральном проводе для потребителя, фазы которого соединены по схеме «звезда»; ваттметры W1 и W2 – активную мощность потребителя, фазы которого соединены по схеме «треугольник».

Таблица 4.1

Задание	R, Ом	L, мГн	C, мкФ	U_л, В	f, Гц
Задание				U_л, В	f, Гц
D1	20	15,9	318	220	50
D2	30	95,6	212	127	50
D3	10	63,7	318	150	50
D4	20	63,7	318	200	50
D5	30	15,9	318	100	50
D6	10	96,5	218	220	50
D7	10	31,8	159	127	50
D8	20	31,8	159	150	50
D9	30	47,8	100	100	50
D10	10	63,8	318	220	50
D11	30	31,8	159	127	50
D12	20	31,8	637	250	50
D13	10	79,5	79,5	220	50
D14	20	95,6	79,5	127	50
D15	30	63,8	53	100	50
D16	40	127,3	159	200	50
D17	40	15,9	318	250	50
D18	10	95,6	159	220	50
D19	10	63,7	212	150	50
D20	20	79,5	106	250	50
D21	30	96,5	318	150	50
D22	10	15,9	318	200	50
D23	20	31,8	218	220	50
D24	10	48,8	106	127	50
D25	20	63,7	318	150	50
D26	30	15,9	318	100	50
D27	10	63,7	159	250	50
D28	40	187,3	159	220	50
D29	10	95,6	159	150	50
D30	20	95,6	79,5	100	50
D31	8	112	65	127	50
D32	20	60	130	220	50
D33	10	30	110	250	50

Таблица 4.2

Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33

Примечание: задание выдается каждому студенту индивидуально в виде двух чисел, записанных через тире, например D24-1. При этом первое число обозначает номер задания (см. табл. 4.1), а второе – номер варианта (см. табл. 4.2).

4.2. Пример решения расчетного задания №2

Выполнить преобразование трехфазной электрической цепи, схема которой представлена на рис. 4.1, для соединения в «звезду» и в «треугольник», учитывая, что нагрузкой фаз являются элементы (комбинация элементов), представленные на рис. 4.2. Известными являются следующие параметры: активное сопротивление (R = 10 Ом), индуктивность (L = 79,5 мГн), емкость (С = 79,5 мкФ), частота (f = 50 Гц) и линейное напряжение (U_л = 380 В).

Требуется определить показания приборов, изображенных на рис. 4.1, а именно: ток в нейтральном проводе для приемника, фазы которого соединены «звездой»; активную мощность по методу двух ваттметров для приемника, фазы которого соединены «треугольником». Построить совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости для каждого из потребителей.

Прежде чем приступить к решению, проведем анализ условий задачи. Очевидно, что для потребителя, фазы которого соединены в «звезду», ток в нейтральном проводе можно определить после того, как будут найдены фазные токи; а для потребителя, фазы которого соединены в«треугольник»,активную мощность по методу двух ваттметров можно рассчитать, если известны фазные напряжения и линейные токи. Расчет линейных токов, в свою очередь, производится на основании значений фазных токов.

Рис. 4.2

Дано:

Найти:

1) для соединения в «звезду» ;

2) для соединения в «треугольник» .

Решение:

Определяем параметры источника

1. Для трехфазного симметричного источника, соединенного в «звезду», действующие значения фазных напряжений можем записать, учитывая следующее соотношение

. (4.1)

Условимся, что вектор фазного напряжения источника совпадает с действительной осью комплексной плоскости. Тогда с учетом соотношения (4.1) можем записать комплексные фазные напряжения источника: