Функция распределения случайной величины.

Случайные величины

В теории вероятности помимо традиционных задач, состоящих в нахождении вероятностей соответствующих событий, возникает ряд специфических вопросов, таких, как определение вероятного количества бракованных изделий, среднего времени безотказной работы прибора и т.д.

В связи с этим в теории вероятности вводится понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимают переменную величину, которая может принимать то или иное значение, в зависимости от хода испытаний. Обозначается X или Y.

Определение

Пусть Ω – множество исходов испытания, - совокупность его подмножеств (событий), - вероятность (неотрицательная функция на , удовлетворяющая соответствующим свойствам).

Тогда случайной величиной X называется функция, отображающая множество Ω во множество действительных чисел R:

(т.е. каждому исходу испытания ω соответствует определенное число – значение случайной величины).

При этом

т.е. для любого действительного числа x неравенство является событием и, значит, имеет некоторую вероятность. ◄

Если говорят, что задача случайна X, то предполагается, что имеется испытание, в котором наблюдается эта величина, и существуют вероятности событий вида: , , , где x, a, b R. Случайный характер случайных величин проявляется в том, что различные значения она может принимать с теми или иными вероятностями.

Зависимость между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями называется законом распределения случайных величин.

Примеры

1. Испытание – бросание игральной кости. Случайная величина – количество выпавших очков. Множество значений случайной величины - .

2. Эксперимент – бросание монеты 10 раз подряд. Случайная величина – количество появления герба. Множество значений случайной величины - .

3. Эксперимент – контроль за работой прибора. Случайная величина – время безотказной работы прибора. Множество значений случайной величины – интервал .

Дискретные случайные величины.

Закон распределения дискретных случайных величин.

Дискретной случайная величина называется такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая n различных значений .

Равенства , ,… являются событиями, образуют полную группу событий и, значит, имеют некоторую вероятность. Обозначим вероятности этих событий, т.е.

, .

Функциональная зависимость между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями – простейшая форма закона распределения дискретных случайных величин, а ее табличное представление называется рядом распределения дискретных случайных величин:

			…
			…

Т.к. события образуют полную группу, то

. (2.1)

Если множество значений дискретных случайных величин бесконечно (счетно), то сумма в формуле (1.1) заменяется рядом , при этом ряд не может быть представлен таблицей.

Пример

4. Случайная величина X – количество очков, выпавших при бросании игральной кости. Множество значений случайной величины - , т.е. и если кость правильная, то .

Ряд распределения:

	1	2	3	4	5	6

Функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция, ставящая в соответствии каждому значению аргумента х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше, чем х:

(2.2)