Функция распределения случайной величины.



Случайные величины

В теории вероятности помимо традиционных задач, состоящих в нахождении вероятностей соответствующих событий, возникает ряд специфических вопросов, таких, как определение вероятного количества бракованных изделий, среднего времени безотказной работы прибора и т.д.

В связи с этим в теории вероятности вводится понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимают переменную величину, которая может принимать то или иное значение, в зависимости от хода испытаний. Обозначается X или Y.

Определение

Пусть Ω – множество исходов испытания, - совокупность его подмножеств (событий), - вероятность (неотрицательная функция на , удовлетворяющая соответствующим свойствам).

Тогда случайной величиной X называется функция, отображающая множество Ω во множество действительных чисел R:

,

(т.е. каждому исходу испытания ω соответствует определенное число – значение случайной величины).

При этом

,

т.е. для любого действительного числа x неравенство  является событием и, значит, имеет некоторую вероятность. ◄

Если говорят, что задача случайна X, то предполагается, что имеется испытание, в котором наблюдается эта величина, и существуют вероятности событий вида: , , , где x, a, b R. Случайный характер случайных величин проявляется в том, что различные значения она может принимать с теми или иными вероятностями.

Зависимость между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями называется законом распределения случайных величин.

Примеры

1. Испытание – бросание игральной кости. Случайная величина – количество выпавших очков. Множество значений случайной величины - .

2. Эксперимент – бросание монеты 10 раз подряд. Случайная величина – количество появления герба. Множество значений случайной величины - .

3. Эксперимент – контроль за работой прибора. Случайная величина – время безотказной работы прибора. Множество значений случайной величины – интервал .

 

Дискретные случайные величины.

Закон распределения дискретных случайных величин.

Дискретной случайная величина называется такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая n различных значений .

Равенства , ,…  являются событиями, образуют полную группу событий и, значит, имеют некоторую вероятность. Обозначим  вероятности этих событий, т.е.

, .

Функциональная зависимость между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями – простейшая форма закона распределения дискретных случайных величин, а ее табличное представление называется рядом распределения дискретных случайных величин:

Т.к. события образуют полную группу, то

                                                         .                                                         (2.1)

Если множество значений дискретных случайных величин бесконечно (счетно), то сумма в формуле (1.1) заменяется рядом , при этом ряд не может быть представлен таблицей.

Пример

4. Случайная величина X – количество очков, выпавших при бросании игральной кости. Множество значений случайной величины - , т.е.  и если кость правильная, то .

Ряд распределения:

1 2 3 4 5 6

 

 

Функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция, ставящая в соответствии каждому значению аргумента х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше, чем х:

                                                                                                                    (2.2)

Геометрическое значение:  есть вероятность того, что значение случайной величины X расположится на числовой оси левее точки x.

Зная функцию распределения случайной величины, можно найти вероятность попадания случайной величины в любой интервал:

                                                   .                                      (2.3)                

■ По определению функции распределения имеем:

, .

Обозначим: событие , , , , а т.к. события  и  несовместны, то , что и требовалось доказать. ■

Свойства функции распределения случайной величины:

, т.к. F(x) – вероятность ( );

- неубывающая функция;

Док-во: Возьмем два произвольных значения  и , . Тогда по формуле (2.3) имеем:

,

а т.к. вероятность события всегда неотрицательна, то , т.е.  - функция неотрицательная.

; доказательство: - достоверное событие;

; доказательство: т.к. , то  - невозможное событие.

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 161; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ