Метод обратной матрицы или матричный способ решения СЛАУ.

Матрица –это таблица чисел, упорядоченных по строкам и столбцам. Числа матрицы называются элементамиматрицы. Если m=n, то матрица называется квадратной.Если задана квадратная матрица, то элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ и называются диагональными элементами. ATили А* называется транспонированной по отношению к A, если строки матрицы A являются столбцами A*. Квадратная матрица называется симмитричной относительно главной диагонали, если для ее элементов выполняется условие aij =aji. Если в квадратной матрице все элементы, кроме диагональных равны 0, то такая матрица называется диагональной.Если все элементы диагональной матрицы равны 1, то такая матрица называется единичной – E.(примеры)

Операции над матрицами.

1. A и В считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы равны.

2. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, достаточно сложить соответствующие элементы.

3. Умножение матрицы на число: В = λA; достаточно умножить на это число все элементы.

4. Умножение матриц: для перемножения А и В надо выполнить следующие условия: длинна а строки матрицы А должна равняться высоте столбца матрицы В; число столбцов А = число строк В; АВ<>ВА; A (m*k) à m/k; B (k*n) à k/n; A*B = mk/kn = m/n; примеры

Определитель матрицы.Вычисляется только для квадратной матрицы. Определитель второго порядка Δ=detA=|a_ij| = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁; Определитель третьего порядка – число найденной по правилу Саррюса.(Примеры)

Минор и алгебраическое дополнение. Минор –это определитель, полученный вычеркиванием строки или столбца. Базисный минор –любой минор r порядка м-ы А отличный от 0. Минором Мij матрицы A, n*n, называется определитель, полученный вычеркиванием i строки и j столбца из матрицы А. Минор, взятый с определенным знаком называется алгебраическим дополнением элемента.A_ij = (-1) ^(i + j) M_ij

Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Рассмотрим i-тую строку: Δ= a_i₁ A_i₁ + a_i₂ A_i₂ +…+a_in A_in

Рассмотрим j-тый столбец: Δ = a₁_j A₁_j + a₂_j A₂_j+…+a_nj A_nj

Свойства определителя n-го порядка.

1. Если все элементы строки или столбца равны нулю, то и Δ= 0;

2. При перестановке 2 строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный.

3. Определитель не изменится, если транспонировать соответствующую матрицу.

4. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. Если элементы строки или столбца представляют собой сумму слагаемых, то определитель равен сумме Δей, элементами которых в данной строке или столбце являются эти слагаемые.

6. Если две строки или столбца имеют одинаковые элементы, то такой Δ= 0

7. Определитель не изменяется, если к элементам строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число k, где k – любое действительное число.(Примеры)

Обратная матрица.Обратная матрица к исходной матрице А называется матрица А^-1, удовлетворяющая условию A*A^{- 1}=A^{- 1}A=E.

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы.Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>), чтобы матрица А была невыражденной – detA<>0;

1. необходимые условия. Дано: А, А^-1; Док-ть: detA¹0; Док-во: Предположим detA=0; AA^-1=E; |AA^{- 1}| = |A| |A^-1| = |E| = 1; |AA^{- 1}| =0; Противоречие, значит |A|¹0;

2. достаточные условия: Дано A, detA¹0; Док-ть: A^-1-?; Док-во: AA^-1=E -?;

A(a₁₁, a₁₂…a₃₂, A₃₃); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A₁₁, A₁₂…A₃₂, A₃₃)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: B^T= (A₁₁/Δ, A₂₁/Δ…A₂₃/Δ, A₃₃/Δ); B^T=A^-1-?; B^TA=E -?

(a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃)*(A₁₁A₁₂…A₃₂ A₃₃)=(a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃/Δ)=(1 0..0 1)=E;

a₂₁A₁₁+a₂₂A₁₂+a₂₃A₁₃ = 0; a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+a₁₃A₁₃=Δ;

Системы линейных алгебраических уравнений СЛАУ.

(x₁; x₂; x₃;…x_n) – матрица-столбец. A= (a₁₁ a₁₂… a_nn) * B= (b₁; b₂; … b_n); AX=B; {a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+…+a₁_n x_n = b₁; a₂₁ x₁+a₂₂ x₂+…+a₂_n x_n = b₂; a_n₁ x₁+a_n₂ x₂+…+a_nn x_n = b_n. – ЭТО СЛАУ; Если СЛАУ имеет решение, то она называется совместной. Если это решение единственное, то СЛАУ называется определенной системой. Если СЛАУ имеет множество решений, то она называется неопределенной.Для установки совместности надо вычислить определитель: {a₁₁ x₁…+a₃₃ x₃ = b₃; Находим определитель матрицы А: Δ=|A| =|a₁₁ a₁₂…a₃₂ a₃₃| <> 0; Для совместности <=>, чтобы главный Δ системы не равнялся нулю. x1-?; Столбец коэффициента x1 занимает столбец (b) (своб. член):

Δx₁= |b₁ a₁₂ a₁₃; b₂ a₂₂…; … b₃ a₂₃ a₃₃|; Δx₂=|a₁₁ b₁ a₁₃; a₂₁ b₂ a₂₃; a₃₁ b₃ a₃₃|; Δx₃=|a₁₁ a₁₂ b₁; a₂₁ a₂₂ b₂; a₃₁ a₃₂ b₃|; x₁=Δx₁/Δ; x₂=Δx₂/Δ; x₃=Δx₃/Δ

1) Δ<>0, Δx_i<>0, тогда имеет единичное решение

2) Δ=0, Δx_i= 0, множество решений.

Метод обратной матрицы или матричный способ решения СЛАУ.

AX=B; |A|<>0 à A^{- 1}; A^{- 1}AX=A^{- 1}B; A^{- 1}A=E; EX=X; X=A^{- 1}B;Пример: вычисляем главный Δ, находим алгебраические дополнения, делим на главный определитель, транспонируем и получаем A^{- 1}; X=A^{- 1}; Отсюда находим матрицу-столбец X. Привести примеры.

Метод Гаусса. Ранг матрицы.Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью n*m: A(рисуй матрицу).Выделим k строк и k столбцов из элементов, находящихся на пересечении этих k строк и k столбцов. Строим Δли k-го порядка (эти Δли называются минорами матрицы k-го порядка и обозначаются Mк). M1 – сами элементы матрицы. Минором k-го порядкаданной матрицы A называется Δ, составленный из элементов матрицы без перестановок после вычеркивания любых k строк и k столбцов.

Минор второго порядка определяется вычеркиванием двух строк и двух столбцов и т.д. 3-го, четвертого и далее (нарисуй!). Рангомданной матрицы A называется наивысший порядок отличного от нуля минора. Обозначается r (A) = r; Практический способ нахождения ранга матрицы:Практический способ сводится к элементарным преобразованиям матрицы.

1. Перестановка 2х строк. 2. вычеркивание нулевой строки или столбца. 3. прибавление к элементам строки или столбца соответсвующих элементов другой строки или столбца, умножение на число λ.

ТЕОРЕМА:Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях:A(a₁₁…a_mn);

Выполним преобразования и получим что-то типа: B (b11, b12, b13; 0, b22, b23; 0, 0, b33); Вот как надо преобразовывать число строк матрицы. В дает ранг матрицы А: r (A) = r (B) = число строк В.

Привести пример (надеюсь смогешь сам, товарисчь)

Примеры обязательно!

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).

{a₁₁ x₁ +…=b₁; …; =b_n; С помощью линейных преобразований матрицы А мы приводим ее к треугольному виду и получаем СЛАУ равносильную исходной. Две СЛАУ называются равносильными, если решение второй системы является решением первой системы и наоборот.

(обязательно пример, где СЛАУ и вообщем получаешь лесенку с нулями внизу, потом с помощью этого находишь иксы).

Система линейных однородных уравнений. СЛОУ с нулевыми свободными членами. AX= 0;

{a₁₁ x₁+a₁₂ x₂+…+a_1n x_n= 0; … ; …+a_mn x_n = 0; - это СЛОУ.

r (A) = r (B) – эта система всегда совместна. X1=X2=…Xn=0 – общее решение. ТЕОРЕМА: для того, чтобы СЛОУ имела не нулевое решение <=>, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных.

Если имеем квадратную систему, то m = n; Δ=|A|= 0; Для существования ненулевого решения <=>, чтобы Δ= 0; r < n, m < n – множество решений.(Примеры)

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 427; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!