Я решил использовать декартову систему координат из-за простоты реализации. Я знаю, что можно решать и в сферических, но корректного решения мне получить в них не удалось.



Большая часть всех уравнений в частных производных 2го порядка, линейных относительно вторых производных являются представителями 3х различных классов уравнений, которые существенно отличаются друг от друга по методам исследования и по физической природе (описывают различные физические явления). Остановимся более подробно на случае 2х независимых переменных: u = u(x,y). a,b,c - функции, определенные в некоторой области Ω = Oxy и имеющие непрерывные производные до 2го порядка. f - непрерывная функция своих аргументов; если f - линейная относительно u, ux , uy, то уравнение (1) - линейное. Поставим перед собой задачу: с помощью замены независимых переменных (x, y) привести уравнение (1) к наиболее простому виду. Введем новые переменные: , и потребуем, чтобы они были дважды непрерывно-дифференцируемы и чтобы якобиан перехода: в области Ω. Преобразуем производные к новым переменным: Тогда уравнение (1) в новых переменных примет вид: где Попытаемся выбрать ξ(x, y) и η(x, y) так, чтобы обратить в нуль некоторые из коэффициентов A,B,C. Вопрос об обращении A и С в нуль эквивалентен вопросу о разрешимости дифференциального уравнения 1го порядка. относительно неизвестной функции z(x, y). Поделим на zy2: Решим как квадратное уравнение относительно : Решая каждое из них методом характаристик - интегралы системы (*), а, следовательно, решения уравнения (4). Уравнения (5) могут быть записаны в виде одного уравнения: Обычно это уравнение и используют для определения интегралов системы (5). Поведение функций φ(x, y) и ψ(x, y), а, следовательно, и искомый простейший вид исходного уравнения зависит от знака Определение: Уравнение (1) называется в некоторой точке гиперболического типа, если эллиптического типа, если параболического типа, если   38...Краевая задача — задача об отыскании решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия. Уравнения эллиптического типа[править | править вики-текст] Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа . Пусть область такова, что . · Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на границе заданные (непрерывные) значения . · Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области функцию , принимающую на заданные (непрерывные) значения и обращающуюся в нуль на бесконечности. · Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию , имеющую на заданную (непрерывную) правильную нормальную производную . · Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области функцию , имеющую на заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и обращающуюся в нуль на бесконечности. Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона: . Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.[23]   39.... Уравнения гиперболического типа[править | править вики-текст] Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции , удовлетворяющей уравнению начальным условиям и граничному условию Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости и условие согласованности . Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от .[21]     40... Уравнения параболического типа[править | править вики-текст] Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции , удовлетворяющей уравнению начальному условию и граничному условию Для существования решения необходимы следующие условия гладкости и условие согласованности Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от .[22]     41... Пусть - ограниченная область в , - функция гармоническая в и непрерывная в . Тогда справедлив принцип максимума:

Доказательство.

Прежде всего заметим, что посскольку и - компакты, и функция непрерывна на них, то оба максимума существуют и достигаются хотя бы в одной точке соответствующих множеств.

Допустим обратное, пусть существует точка такая, что , где . Рассмотрим вспомагательную функцию

,

где

Тогда

Следовательно, максимум функции не может достигаться на границе области , а достигается в некоторой внутренней точке .

Согласно необходимому условию должно выполняться

,

но с другой стороны

.

Из полученного противоречия следует, что .

42.... Итак, задача. Решить методом сеток (я потом объясню, что это такое) двумерное уравнение Лапласа внутри области Ԇ, ограниченной двумя кривыми

:

:

С граничными условиями

Я решил использовать декартову систему координат из-за простоты реализации. Я знаю, что можно решать и в сферических, но корректного решения мне получить в них не удалось.

Для решения данной задачи Дирихле используется конечно-разностный метод, в котором (опуская промежуточные выкладки) уравнение Лапласа записывается в виде . То есть значение функции в данной точке выражается через среднее значение её соседей по сетке.

Для решение задачи методом сеток необходимо покрыть данную нам область сеткой из прямых линий, при этом точки пересечений линий — узлы — могут лежать как в области , так и вне неё.

Сначала вычислим значение функции в точках на границе. Ну, то есть мы-то с вами их знаем, а компьютер — ещё нет; слово «вычислить», с вашего позволения, я иногда буду использовать в смысле «записать в память компьютера». После этого заполним массив значений функции внутри области некоей константой, пусть средним арифметическим всех точек границы, конкретное значение константы не так важно, как кажется на первый взгляд; важно, чтобы оно не сильно отличалось от порядка значений на границе. Назовём это распределение значений функции 0-системой.

А теперь начинаем, собственно говоря, считать нашу функцию. Берём каждую и-житую точку, считаем в ней значение функции как среднее арифметическое её соседей. Делаем так для всех точек на области и получаем 1-систему.

А теперь повторим эти подсчёты для области ещё несколько раз до достижения нужной точности, получив в конце концов n-систему, где n — число повторов.


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 164; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ