Приклади розв’язування задач.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 16Следующая ⇒

Задача 1.1. Після удару об поверхню Землі м'яч рухається вертикально вгору зі швидкістю 15 м/с. Знайти координату м'яча над поверхнею Землі через 1 с і через 2 с після початку руху. Поясніть отриманий результат.

Дано:

₀ = 15 м/с h₀ = 0 м t₁ = 1 c t₂ = 2 c

Розв'язок:

Координату тіла під час рівноприскореного прямолінійного руху визначаємо за формулою

Координатну вісь Oy спрямуємо по вертикалі вверх, початок відліку знаходиться на поверхні Землі. Тоді y₀ = h₀ = 0. Оскільки напрям вектора початкової швидкості збігається з напрямом осі Oy, а напрям вектора протилежний напряму осі Oy, то проекція початкової швидкості _0y буде додатною, а прискорення a_y - від'ємною: _0y = ₀, a_y = -g. Тоді . Виконавши розрахунок, маємо

y₁ - ? y₂ - ?

Відповідь: y₁ = 10 м; y₂ = 10 м.

Задача 1.2. Рух автомобіля по шосе описується рівнянням x = 3t - 4t². Побудувати графік залежності швидкості і прискорення від часу.

Дано: x = 3t - 4t²

Розв'язок:

Рівняння рівнозмінного прямолінійного руху має вигляд

= f(t) - ? a = f(t) - ?

Порівнявши рівняння (1) з рівнянням руху автомобіля, можна зрозуміти, що x₀ = 0, _0x = 3 м/с, = - 4 м/с², a_x = - 8 м/с².

Маючи ці дані, можна знайти вираз для швидкості руху автомобіля і згідно з ним побудувати графік залежності = f(t): = 3 - 8 t. Оскільки залежність швидкості від часу лінійна, то для побудови графіка достатньо знайти значення швидкості руху автомобіля для двох довільних моментів часу: t₁ = 0 с, ₁ = 3 м/с; t₂ = 1 с, ₂ = - 5 м/с(рис.2.2.).

Оскільки рух рівносповільнений (a_x < 0), то графік залежності прискорення від часу матиме вигляд, як показано на рис.2.3

Задача 1.3. Визначити доцентрове прискорення точок поверхні Землі, яке зумовлено її обертанням, на екваторі, на широті 45° і на полюсі.

Дано: T = 24 год = 8,64·10⁴ с,

j = 45º

Розв'язок:

1. Точка А поверхні Землі на екваторі описує разом із Землею за добу один повний оберт. Значить, лінійна швидкість , де l_З - довжина кола екватора Землі, R - радіус Землі (рис.2.4).

a_д - ?

Доцентрове прискорення точки А . Підставивши у вираз для a_д, одержимо a_д = 3,4·10^-2 м/с².

2. Лінійна швидкість точки В поверхні, що знаходиться на широті j, дорівнює ,де r - радіус кола, що описується точкою В. Із рисунка знаходимо, що r = Rcosj. За означенням доцентрове прискорення точки В:

a_д = 2,4·10^-2 м/с².

3. Лінійна швидкість точки С поверхні Землі, що знаходиться на полюсі, = 0 м/с, отже, a_д = 0 м/с².

Відповідь: 1) a_д = 3,4·10^-2 м/с²; 2) a_д = 2,4·10^-2 м/с²; 3) a_д = 0 м/с².

Розв’язування задач з динаміки.

Розв'язування задач з динаміки слід починати з вибору системи відліку; визначення характеру і форми траєкторії руху тіл; виконання рисунка, на який нанести всі сили, що діють на кожне тіло, а також кінематичні характеристики руху. При цьому потрібно чітко уявляти, в результаті яких взаємодій виникає та або та сила, її характер, природу. Використовуючи одну координатну вісь, її доцільно спрямувати з вектором прискорення тіла. Далі записують основні рівняння динаміки у векторній формі для кожного тіла окремо. Потім основні рівняння динаміки виражають через проекції сил на вибрані осі координат. Використовуючи додаткові умови (невагомість і не розтяжність ниток тощо), відшукують рівняння, яких не вистачало. Нарешті одержані рівняння розв'язують відносно шуканих величин.

Задача 1.4. Період обертання космічної станції навколо Землі на висоті 200 км над її поверхнею 90 хв. Яка середня густина речовини Землі?

Дано: R_орб = 6,6·10⁶ м, T = 5,4·10³ с, R_З = 6,4·10⁶ м.

Розв'язок:

Під дією сили притягання Землі космічна станція буде обертатися по колу радіуса R_орб і набуде доцентрового прискорення:

F = ma_д, .

r_З - ?

До цього рівняння входить маса Землі (M_З), через яку можна знайти середню густину Землі: . Можемо знайти середнє значення густини речовини Землі, адже всередині Землі є пустоти, Земля не є правильною кулею:

Відповідь: <r_З> = 5,3·10³ кг/м³.

Задача 1.5. Пілот тисне на сидіння крісла літака в нижній точці петлі Несторова із силою 7056 Н. Маса пілота 80 кг, радіус петлі 250 м. Визначити швидкість літака.

Дано: F_тис = 7056 Н, m = 80 кг, r = 250 м

Розв'язок:

Пілот діє на сидіння крісла із силою ваги , яка зрівноважується силою реакції опори . Оскільки в нижній точці обидві сили напрямлені по одній прямій у протилежні боки, то їх рівнодійна
F = N - P.

Застосуємо другий закон Ньютона: F = ma,

- ?

де , m - маса пілота. Тоді: , звідки . За третім законом Ньютона N = F_тис, тоді

Перевіримо розв'язок:

Відповідь: = 140 м/с.

Рівняння закону збереження і перетворення енергії - одна з найзагальніших формул механіки, що дозволяє розв'язувати майже всі задачі елементарної механіки. У задачах підвищених труднощів це рівняння є одним з основних, яке, разом з рівнянням другого закону динаміки і рівнянням закону збереження кількості руху, становить повну систему рівнянь, що описують певне явище. Особливо зручно, а в другому випадку просто необхідно, використовувати закон збереження енергії для розв'язування задач, у яких: а) задається рух одного тіла, б) розглядається нерівномірний змінний рух.

Загальну схему розв'язування задач, що потребують складання рівняння закону збереження енергії, можна подати так:

- виконати схематичний рисунок і записати основну формулу;

- установити перше і друге положення розглянутого тіла, (це, зазвичай, початкове і кінцеве положення).

- вибрати нульовий рівень відліку потенціальної енергії. Його можна вибрати довільно, але зручніше вибирати за найнижчим положенням, що займає тіло під час руху, чи відраховувати від рівня, на який опускається тіло, переходячи з першого положення в друге;

- розставити сили, що діють на тіло в зазначеній точці траєкторії, чи, якщо такої немає, у довільній, і відзначити кінематичні характеристики і h, що визначають механічну енергію тіла в першому і другому положеннях;

- записати вирази для роботи зовнішніх сил і повної механічної енергії в цих положеннях. Підставити ці вирази у вихідне рівняння.

У простих задачах отримане рівняння містить, як правило, одну шукану величину, у більш складних - два і більше невідомих. Якщо невідомих більше одного, то до складеного рівняння закону збереження енергії потрібно додати основне рівняння динаміки матеріальної точки, формули кінематики чи рівняння закону збереження кількості руху. У результаті матимемо систему рівнянь, спільне розв'язання яких дозволяє визначити шукану величину.

Часто використання законів збереження спрощує розв'язування задач кінематики і динаміки.

Задача 1.6. Гелікоптер піднімається вгору зі швидкістю ₀ = 10 м/с. На висоті H = 50 м із нього випадає важкий предмет. З якою швидкістю предмет впаде на землю?

Дано:

₀ = 10 м/с, H = 50 м.

Розв'язок:

Повна механічна енергія предмета на висоті Н має вигляд:

- ?

На рівні землі

Прирівнюємо величини (1) і (2):

, звідки ;

Відповідь: = 33 м/с.

Задача 1.7 Тепловоз масою 130 т наближається зі швидкістю 2 м/с до нерухомого потягу масою 1170 т. З якою швидкістю буде рухатися потяг після зчеплення з тепловозом?

Дано: m₁ = 1,3·10⁵ кг,

₁ = 2 м/с,

₂ = 0 м/с, m₂ = 1,17·10⁶ кг.

Розв'язок:

Згідно із законом збереження імпульсу проекції вектора повного імпульсу системи із тепловоза і потягу на вісь координат, напрямлену за напрямом вектора швидкості, до зчеплення і після зчеплення однакові: m₁ _1x + m₂ _2x = ( m₁+m₂) _3x. Оскільки потяг був нерухомим, вектори швидкості ₁ тепловоза до зчеплення і швидкості ₃ тепловоза разом із потягом після зчеплення паралельні, то проекції векторів _1x і _3x можна замінити їх модулями. Звідси з урахуванням ₂ = 0 отримуємо:

₃ - ?

m₁ ₁ = ( m₁ + m₂) ₃,

звідки швидкість тепловоза і потяга після зчеплення дорівнює:

Відповідь: ₃ = 0,2 м/с.

Задача 1.8. Знайти швидкість вилітання кулі із пружинного пістолета масою m під час стріляння вертикально вгору, якщо жорсткість пружини дорівнює k, а стиск - x.

Дано: m, k, x

Розв'язок:

Стиснена пружина має потенціальну енергію, яка витрачається на виконання роботи з подолання сили тяжіння снаряда і надання йому кінетичної енергії. Потенціальна енергія пружини дорівнює роботі змінної сили пружності на переміщення x:

- ?

Відповідь: .

Задача 1.9. Дві кулі масами 3 кг і 5 кг рухаються по гладкій горизонтальній поверхні назустріч одна одній зі швидкостями 4 м/с і 6 м/с відповідно. Чому дорівнює зміна внутрішньої енергії куль після їх непружного зіткнення?

Дано: m₁ = 3 кг, m₂ = 5 кг,

₁ = 4 м/с,

₂ = 6 м/с.

Розв'язок:

Схему зіткнення зображено на рис.2.12. При непружному зіткненні двох тіл виконується закон збереження імпульсу:

який в проекціях на вісь Oх (див.рис.12) має вигляд:

DE - ?

-m₁ ₁ + m₂ ₂ = ( m₁ + m₂)u. (1)

Виконується також закон збереження механічної енергії з урахуванням сил опору, робота яких витрачається на створення деформації, пошкоджень та інших необоротних перетворень в тілах, що зіткнулися. У таких процесах робота сил опору, взята зі знаком мінус (-A_c.oп), зумовлює зміну внутрішньої енергії тіл DE, що виявляється у зростанні температури тіл. Використовуючи вирази для кінетичних енергій, записуємо закон збереження з урахуванням A_с.оп:

Розв’язуючи разом рівняння (1) і (2), знаходимо

Виконавши в рівнянні (3) обчислення, отримаємо кінцевий результат: DE = 93,75 Дж.

Відповідь: DE = 93,75 Дж.

Задачі для самостійного розв’язування за темою:

«Основні поняття кінематики. Вільне падіння.»

Варіант 1.

1.Яку форму має траєкторія руху тіла, якщо довжина пройденого шляху дорівнює числовому значенню переміщення?

2.Рівняння руху велосипедиста x₁ = -500 + 5t, а мотоцикліста x₂ = 1000-20t. Визначить координату точки їх зустрічі.

3.Камінь падає в ущелину глибиною 150 м. Скільки часу відбувалося падіння каменя на другий половині шляху?

Варіант 2

1.Під час руху вздовж прямої равлик за кожну секунду здійснював переміщення, що дорівнювало 0,1 см. Чи можна вважати його рух рівномірним?

2.Рівняння руху вантажного та легкового автомобілів мають вигляд відповідно x₁ = 600 – 10t та x₂ = t². Визначить час та координату їх зустрічі.

3.Тіло впало з висоти 45 м. За який час тіло подолало останній метр?

Варіант 3

1.Під час руху проти течії швидкість катера відносно берега 4 м/с. з якою швидкістю катер рухатиметься відносно берега і відносно води за течією? Швидкість течії річки 1 м/с.

2.Студент дав таке означення : прямолінійним рівномірним рухом називається рух, при якому тіло за рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Чи правильне це означення? Відповідь обґрунтувати.

3.Тіло вільно падає з висоти 196 м. Який шлях подолало це тіло за другу половину часу польоту?

Варіант 4

1. У вагоні поїзда,що має швидкість 20 м/с, у напрямі його руху йде людина з швидкістю 3,6 км/год. Визначити переміщення за 3 с відносно вагона і залізничного полотна. Рух вважати прямолінійним і рівномірним.

2.Чи можна космічний корабель вважати матеріальною точкою, визначаючи: а) розміри його кабіни; б) швидкість руху корабля по орбіті; в) відстань від корабля до Землі під час польоту?

3. Тіло вільно падає з висоти 320 м. Скільки часу воно падатиме і якої найбільшої швидкості досягне? Уважайте g = 10 м/с².

Варіант 5

1. Кондуктор пасажирського поїзда, швидкість якого 54 км/год, помітив,що зустрічний товарний поїзд, довжина якого 150 м, пройшов повз нього за 6 с. визначити швидкість товарного поїзда.

2. Два пасажири їдуть в автомобілі. Відносно яких тіл вони перебувають у спокої, а відносно яких – у русі?.

3. Під час вільного падіння тіло досягло поверхні Землі за 5 с. визначте швидкість руху тіла в момент падіння та висоту, з якої воно впало.

Варіант 6

1. З турбази з інтервалом 6 хв в одному напрямі вийшли два туристи з швидкістю 4 км/год. Якою була швидкість велосипедиста, що рухався їм на зустріч, якщо він зустрів туристів через 1 хв один після другого?

2. Мостовий кран одночасно піднімає вантаж і переміщує його в горизонтальному напрямі. Яка траєкторія руху вантажу відносно Землі? Відносно крану?

3. Кульку кинули вертикально вгору зі швидкістю 25 м/с. На яку максимальну висоту відносно точки кидання вона піднімається?

Варіант 7

1. Рівняння руху лижника має вигляд . Визначити: а) координату лижника через 20 с; б) швидкість лижника; в) де був лижник за 10 с до початку стеження; г) коли він буде на відстані 190 м від початку координат.

2. Літак рухається вперед, піднімаючись одночасно вгору. Чи є його рух поступальним?

3. Струмінь води з брандспойта, спрямованого вертикально вгору, досягнув висоти 16,2 м. з якою швидкістю витікає вода з брандспойта?

Варіант 8

1. Рух атомохода описується рівнянням (в СІ), визначити: а) де він перебуватиме через 0,5 год; б) положення атомохода за 0,5 год до початку стеження; в) швидкість атомохода; г) коли він буде на відстані 38 км від початку координат?

2. Моторний човен переправляється на протилежний берег, рухаючись відносно води зі швидкістю 6 м/с у напрямі, перпендикулярному до її течії. Ширина річки 300 м, а швидкість течії 3,6 км/год. На яку відстань знесе течія човен за час переправи?

3. З гелікоптера, який рівномірно спускався зі швидкістю 6 м/с, скинули пакет. Через 8 с той упав на поверхню Землі. Визначте висоту. З якої було скинуто пакет.

Варіант 9

1. Рівняння зустрічних рухів розвідувального катера і ескадри мають вигляд: (в CІ). Враховуючи, що розвідувальний катер рухається швидше, ніж ескадра, визначити: а) швидкість катера й ескадри; б) їх координати в початковий момент часу; в) час і місце зустрічі.

2. Чи можна про одне й те саме тіло сказати. Що воно рухається й не рухається? Обґрунтуйте відповідь.

3. Тіло вільно падає з висоти 80 м. Який шлях пройде це тіло за останню секунду падіння?

Варіант 10

1. Рух велосипедиста і мотоцикліста задано відповідно рівняннями: ( в СІ). Визначити : а) координати велосипедиста і мотоцикліста через 20 с; б) місце і час їх зустрічі; в) моменти часу, для яких відстань між велосипедистом і мотоциклістом становить 140м.

2. З повітряної кулі, яка рівномірно піднімалася зі швидкістю 5 м/с, на висоті 200 м скинули вантаж. Як довго він падатиме?

3. Користуючись вимірювальною стрічкою і секундоміром, визначити швидкість руху стеаринової кульки у скляній вертикально поставлені трубці з водою. Як за допомогою досліду встановити, що рух кульки рівномірний?

Варіант 11

1. Легковий і вантажний автомобілі, відстань між якими в початковий момент часу дорівнювала 0,5 км, рухаються рівномірно по прямолінійний ділянці дороги в одному напрямі з швидкостями 72 і 54 км/год. Визначити, на якій відстані від свого початкового положення легковий автомобіль наздожене вантажний.

2. Не відриваючи від паперу олівця, накреслить за допомогою косинця прямий кут. Використовуючи косинець, виміряйте пройдений кінчиком олівця шлях і модуль його переміщення.

3. Камінь вільно падає з висоти 100 м. Який шлях він подолає за останні 2 с падіння?

Варіант 12

1. Яку форму має траєкторія руху тіла, якщо довжина пройденого шляху дорівнює числовому значенню переміщення?

2. Рівняння руху велосипедиста x₁ = -500 + 5t, а мотоцикліста x₂ = 1000-20t. Визначить координату точки їх зустрічі.

3. Камінь падає в ущелину глибиною 150 м. Скільки часу відбувалося падіння каменя на другий половині шляху?

Варіант 13

1. Під час руху вздовж прямої равлик за кожну секунду здійснював переміщення, що дорівнювало 0,1 см. Чи можна вважати його рух рівномірним?

2. Рівняння руху вантажного та легкового автомобілів мають вигляд відповідно

x₁ = 600 – 10t та x₂ = t². Визначить час та координату їх зустрічі.

3. Тіло впало з висоти 45 м. За який час тіло подолало останній метр?

Варіант 14

1. Під час руху проти течії швидкість катера відносно берега 4 м/с. з якою швидкістю катер рухатиметься відносно берега і відносно води за течією? Швидкість течії річки 1 м/с.

2. Студент дав таке означення : прямолінійним рівномірним рухом називається рух, при якому тіло за рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Чи правильне це означення? Відповідь обґрунтувати.

3. Тіло вільно падає з висоти 196 м. Який шлях подолало це тіло за другу половину часу польоту?

Варіант 15

Варіант 16

2. Два пасажири їдуть в автомобілі. Відносно яких тіл вони перебувають у спокої, а відносно яких – у русі?.

Варіант 17

Варіант 18

2. Літак рухається вперед, піднімаючись одночасно вгору. Чи є його рух поступальним?

Варіант 19

Варіант 20

2. Чи можна про одне й те саме тіло сказати. Що воно рухається й не рухається? Обґрунтуйте відповідь.

3. Тіло вільно падає з висоти 80 м. Який шлях пройде це тіло за останню секунду падіння?

Варіант 21

Варіант 22

3. Камінь вільно падає з висоти 100 м. Який шлях він подолає за останні 2 с падіння?

Варіант 23

1. Яку форму має траєкторія руху тіла, якщо довжина пройденого шляху дорівнює числовому значенню переміщення?

2. Рівняння руху велосипедиста x₁ = -500 + 5t, а мотоцикліста x₂ = 1000-20t. Визначить координату точки їх зустрічі.

3. Камінь падає в ущелину глибиною 150 м. Скільки часу відбувалося падіння каменя на другий половині шляху?

Варіант 24

1. Під час руху вздовж прямої равлик за кожну секунду здійснював переміщення, що дорівнювало 0,1 см. Чи можна вважати його рух рівномірним?

2. Рівняння руху вантажного та легкового автомобілів мають вигляд відповідно x₁ = 600 – 10t та x₂ = t². Визначить час та координату їх зустрічі.

3. Тіло впало з висоти 45 м. За який час тіло подолало останній метр?

Варіант 25

1. Під час руху проти течії швидкість катера відносно берега 4 м/с. з якою швидкістю катер рухатиметься відносно берега і відносно води за течією? Швидкість течії річки 1 м/с.

2. Студент дав таке означення : прямолінійним рівномірним рухом називається рух, при якому тіло за рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Чи правильне це означення? Відповідь обґрунтувати.

3. Тіло вільно падає з висоти 196 м. Який шлях подолало це тіло за другу половину часу польоту?

Варіант 26

Варіант 27

2. Два пасажири їдуть в автомобілі. Відносно яких тіл вони перебувають у спокої, а відносно яких – у русі?.

Варіант 28

Варіант 29

2. Літак рухається вперед, піднімаючись одночасно вгору. Чи є його рух поступальним?

Варіант 30

Варіант 31

2. Чи можна про одне й те саме тіло сказати. Що воно рухається й не рухається? Обґрунтуйте відповідь.

3. Тіло вільно падає з висоти 80 м. Який шлях пройде це тіло за останню секунду падіння?

Варіант 32

Варіант 33

3. Камінь вільно падає з висоти 100 м. Який шлях він подолає за останні 2 с падіння?

Варіант 34

1. Яку форму має траєкторія руху тіла, якщо довжина пройденого шляху дорівнює числовому значенню переміщення?

2. Рівняння руху велосипедиста x₁ = -500 + 5t, а мотоцикліста x₂ = 1000-20t. Визначить координату точки їх зустрічі.

3. Камінь падає в ущелину глибиною 150 м. Скільки часу відбувалося падіння каменя на другий половині шляху?

Варіант 35

1. Під час руху вздовж прямої равлик за кожну секунду здійснював переміщення, що дорівнювало 0,1 см. Чи можна вважати його рух рівномірним?

2. Рівняння руху вантажного та легкового автомобілів мають вигляд відповідно x₁ = 600 – 10t та x₂ = t². Визначить час та координату їх зустрічі.

3. Тіло впало з висоти 45 м. За який час тіло подолало останній метр?

Питання до самостійної роботи за темою :

«Внесок українських вчених у розвиток космонавтики.»

1. Для чого досліджується космос?

2. Чому для польотів у космос застосовують лише апарати з реактивними двигунами?

3. Які українські вчені внесли суттєвий доробок у дослідження та освоєння космосу?

4. Назвіть прізвища визначних космонавтів та астронавтів.

5. Які головні напрями дослідження космосу?

6. Хто на Україні був першим творцем ракети?

7. Хто першим склав проект повітряплавного приладу?

8. Хто був автором фундаментальних наукових результатів?

9. Хто такий Юрій Кондратюк?

10. Хто є «батьком» ракетоносія «Протон»?

11. Під чиїм керівництвом був запущений перший в історії людства штучний супутник Землі?

12. Кого було названо ученим космічної ери?

13. Екологічні аспекти розвитку космонавтики.

14. Освоєння космосу (стислі відомості про космонавтів).

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 13148; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!