Программы проектирования рекурсивных цифровых фильтров в системе MATHCAD
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ АВИАЦИОННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
По дисциплине: КОМПЬЮТЕРНО-ИНТЕГРИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ АВИОНИКИ
Расчет рекурсивных цифровых
Фильтров по аналоговым прототипам с использованием систем компьютерной математики Mathcad и MATLAB
Киев 2010
Основные теоретические сведенья
Проектирование ЦФ может осуществляться как методами математического, так и методами эвристического синтеза. Математический синтез успешно используется для проектирования нерекурсивных ЦФ при линейном представлении
аппроксимирующей функции. При этом аппроксимационная задача является линейной. Для линейных задач разработаны эффективные процедуры решения (по крайней мере, численные). Для рекурсивных ЦФ аппроксимационная задача является нелинейной, поэтому в каждом конкретном случае требуется разработка своего алгоритма решения. По этой причине при проектировании рекурсивных
ЦФ используют эвристический синтез. Чаще всего синтез проводится по аналоговым нормированным ФНЧ-прототипам. На рисунке показаны этапы проектирования.
1-й этап — синтез аналогового нормированного ФНЧ-прототипа. В результате его выполнения получают передаточную функцию H(s). Нормирование заключается в том, что используется «безразмерная» частота Ω = f fп , где fп — верхняя граничная частота полосы пропускания (частота среза Ωп =1). Для синтеза необходимо задать максимальное затухание в полосе пропускания aп, минимальное затухание в полосе задерживания aз и нижнюю граничную частоту полосы задерживания Ωз. На практике обычно используют ФНЧ прототипы с характеристиками Баттерворта, Чебышева 1, Чебышева 2 и эллиптические (Кауэра). Методики синтеза этих ФНЧ-прототипов.
|
|
|
Передаточная функция H(s) может быть представлена в различных формах: дробнорациональной, нуль-полюсной, в виде суммы простых дробей, в каскадной и др.
Методы синтеза передаточных функций аналоговых нормированных ФНЧ-прототипов Баттерворта, Чебышева и эллиптических позволяют представить Н(s) в обобщенной форме, соответствующей каскадной форме реализации в виде соединения блоков первого и второго порядка:
где коэффициенты F , Q , C , A0k (k =1, r ) для различных типов аналоговых
нормированных ФНЧ-прототипов определяются согласно табл.2.
2-й этап — денормирование частоты в аналоговой области. В результате получают передаточную функцию H( p) аналогового фильтра, частоты среза которого соответствуют заданным. Операция денормирования соответствует отображению комплексной S-плоскости в комплексную P-плоскость. При этом используется следующая замена аргумента:
|
|
|
Выражения для функций s =ξ ( p) сведены в табл.3.
В результате денормирования частоты по формулам s =ξ ( p) табл.3 из передаточной функции дробно-рационального вида Н(s) получаются передаточные функции H( p) также дробно-рационального вида:
• для ФНЧ и ФВЧ
• для полосового и режекторного фильтров
Коэффициенты Q1, Q0 , F1, F0 , E2k, E0k, D1k, D0k(k =1, r ) передаточной функции (3) сведены в табл.4, а коэффициенты Q2 , Q1, Q0 , F2 , F1, F0 , E4k, E2k, E0k , D3k, D2k, D1k, D0k( k = 1, r ) передаточной функции (4) — в табл.5.
3-й этап — дискретизация — в результате выполнения которого получают передаточную функцию ЦФ H(z). Операция дискретизации соответствует отображению комплексной P-плоскости в комплексную Z-плоскость. При этом мнимая ось P-плоскости должна отображаться в единичную окружность Z- плоскости, а левая полуплоскость P-плоскости — во внутреннюю часть круга единичного радиуса Z-плоскости. Выполнение этих требований гарантирует сохранение селективных свойств и устойчивости фильтра при дискретизации.
При этом
Наиболее часто при дискретизации используют билинейное преобразование:
|
|
|
где fд =1/T — частота дискретизации.
Однако при билинейном преобразовании происходит деформация частотной шкалы, описываемая выражением
где ωа — «аналоговая», а ωц — «цифровая» частота. Эта деформация должна учитываться на этапе синтеза ФНЧ-прототипа при задании частоты Ωз .
Билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра в форме (3) приводит к передаточной функции дискретного фильтра
а в форме (4) — к дискретной передаточной функции
Коэффициенты передаточной функции (8), выраженные через коэффициенты передаточной функции (3), сведены в табл.6, а передаточной функции (9), выраженные через коэффициенты передаточной функции (4) — в табл.7.
Возможно также объединение этапов денормирования и дискретизации:
При этом получается двухэтапная процедура синтеза. Если для дискретизации используется билинейное преобразование, то процедура (10) называется обобщенным билинейным преобразованием
Формулы s =ϕ(z) обобщенного билинейного преобразования приведены в табл.8.
Применение формул обобщенного билинейного преобразования табл.8 к передаточной функции H(s) аналогового нормированного ФНЧ-прототипа (1) приводит к дискретным передаточным функциям вида (8) и (9).
|
|
|
Коэффициенты блоков передаточных функций (8) и (9), выраженные через коэффициенты передаточной функции (1) с помощью формул обобщенного билинейного преобразования табл.8, сведены в табл.9.
Программы проектирования рекурсивных цифровых фильтров в системе MATHCAD
В прил.1 приведены листинги программ проектирования рекурсивных ЦФ по аналоговым ФНЧ-прототипам, составленные в системе компьютерной математики Mathcad с использованием метода обобщенного билинейного преобразования. В программах явно просматриваются два этапа: синтез аналогового ФНЧ-прототипа и дискретизация – денормирование частоты. При синтезе ФНЧ-прототипов осуществляется компенсация деформации частотной шкалы (7). Эти этапы при наличии минимальных навыков пользователь может комбинировать с целью получения программ различных типов фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ) с различными видами амплитудно-частотных характеристик (Баттерворта, Чебышева типа 1, Чебышева типа 2, эллиптического).
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1874; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!