Построение однофакторных уравнений линейной регрессии.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Характеристика экзогенных и эндогенных переменных.

В таблице 2.1 представлена информация о показателях индекса человеческого развития, расходов на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП и расходов домашних хозяйств, % к ВВП.

Таблица 2.1–– Исходные данные

Страна	у	х₂	х₃
Австрия	0,904	75,5	56,1
Австралия	0,922	78,5	61,8
Белоруссия	0,763	78,4	59,1
Бельгия	0,923	77,7	63,3
Великобритания	0,918	84,4	64,1
Германия	0,906	75,9	57,0
Дания	0,905	76,0	50,7
Индия	0,545	67,5	57,1
Испания	0,894	78,2	62,0
Италия	0,900	78,1	61,8
Канада	0,932	78,6	58,6
Казахстан	0,740	84,0	71,7
Китай	0,701	59,2	48,0
Латвия	0,744	90,2	63,9
Нидерланды	0,921	72,8	59,1
Норвегия	0,927	67,7	47,5
Польша	0,802	82,6	65,3
Россия	0,747	74,4	53,2
США	0,927	83,3	67,9
Украина	0,721	83,7	61,7
Финляндия	0,913	73,8	52,9
Франция	0,918	79,2	59,9
Чехия	0,833	71,5	51,5
Швейцария	0,914	75,3	61,2
Швеция	0,923	79,0	53,1

Индекс человеческого развития− показатель, рассчитываемый ежегодно для межстранового сравнения и измерения уровня жизни, грамотности, образованности и долголетия как основных характеристик человеческого потенциала исследуемой территории. Он является стандартным инструментом при общем сравнении уровня жизни различных стран и регионов.

Расходы на конечное потребление – это расходы домашних хозяйств (как экономических резидентов) на потребительские товары и услуги, а также расходы государственных и частных некоммерческих организаций, обслуживающих домашние хозяйства, на товары и услуги для индивидуального и коллективного потребления.

Расходы домашних хозяйств– это личные потребительские расходы, то есть покупка товаров, оплата услуг, налоги и другие обязательные платежи, денежные накопления и сбережения.

На «Рисунке 2.1—зависимости расходов на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП от индекса человеческого развития» при увеличении значения переменной х₂ явных тенденций не выявлено.

Рисунок 2.1- зависимость расходов на конечное потребление в текущих ценах, % к ВВП от индекса человеческого развития.

На «Рисунке 2.2— зависимости расходов домашних хозяйств, % к ВВП от индекса человеческого развития» при увеличении значения переменной х₃ явных тенденций не выявлено.

Рисунок 2.2 – зависимость расходов домашних хозяйств % к ВВП от индекса человеческого развития.

В «Таблице 2.1 —расчетная таблица» приведены данные для расчёта параметров уравнения множественной регрессии.

Таблица 2.1- Расчетная таблица

Страна	у	х₂	х₃			x₃x₂	yx₂	yx₃	y²
Австрия	0,904	75,5	56,1	5700,25	3147,21	4235,55	68,252	50,7144	0,817216
Австралия	0,922	78,5	61,8	6162,25	3819,24	4851,3	72,377	56,9796	0,850084
Белоруссия	0,763	78,4	59,1	6146,56	3492,81	4633,44	59,8192	45,0933	0,582169
Бельгия	0,923	77,7	63,3	6037,29	4006,89	4918,41	71,7171	58,4259	0,851929
Великобритания	0,918	84,4	64,1	7123,36	4108,81	5410,04	77,4792	58,8438	0,842724
Германия	0,906	75,9	57,0	5760,81	3249	4326,3	68,7654	51,642	0,820836
Дания	0,905	76,0	50,7	5776	2570,49	3853,2	68,78	45,8835	0,819025
Индия	0,545	67,5	57,1	4556,25	3260,41	3854,25	36,7875	31,1195	0,297025
Испания	0,894	78,2	62,0	6115,24	3844	4848,4	69,9108	55,428	0,799236
Италия	0,900	78,1	61,8	6099,61	3819,24	4826,58	70,29	55,62	0,81
Канада	0,932	78,6	58,6	6177,96	3433,96	4605,96	73,2552	54,6152	0,868624
Казахстан	0,740	84,0	71,7	7056	5140,89	6022,8	62,16	53,058	0,5476
Китай	0,701	59,2	48,0	3504,64	2304	2841,6	41,4992	33,648	0,491401
Латвия	0,744	90,2	63,9	8136,04	4083,21	5763,78	67,1088	47,5416	0,553536
Нидерланды	0,921	72,8	59,1	5299,84	3492,81	4302,48	67,0488	54,4311	0,848241
Норвегия	0,927	67,7	47,5	4583,29	2256,25	3215,75	62,7579	44,0325	0,859329
Польша	0,802	82,6	65,3	6822,76	4264,09	5393,78	66,2452	52,3706	0,643204
Россия	0,747	74,4	53,2	5535,36	2830,24	3958,08	55,5768	39,7404	0,558009
США	0,927	83,3	67,9	6938,89	4610,41	5656,07	77,2191	62,9433	0,859329
Украина	0,721	83,7	61,7	7005,69	3806,89	5164,29	60,3477	44,4857	0,519841
Финляндия	0,913	73,8	52,9	5446,44	2798,41	3904,02	67,3794	48,2977	0,833569
Франция	0,918	79,2	59,9	6272,64	3588,01	4744,08	72,7056	54,9882	0,842724
Чехи	0,833	71,5	51,5	5112,25	2652,25	3682,25	59,5595	42,8995	0,693889
Швейцария	0,914	75,3	61,2	5670,09	3745,44	4608,36	68,8242	55,9368	0,835396
Швеция	0,923	79,0	53,1	6241	2819,61	4194,9	72,917	49,0113	0,851929
Итого	21,243	1925,5	1468,5	149280,5	87144,57	113815,7	1638,783	1247,75	18,29687
Среднее значение	0,8497	77,02	58,74	5971,22	3485,78	4552,63	65,551	49,91	0,7319

Построение двухфакторного уравнения регрессии.

Сначала найдем среднеквадратическое отклонение ( ), ( ) в ряду xиy, которое рассчитывается по формулам:

(2.1)

. (2.2)

где — среднее значение результативного признака,

—среднее значение факторного признака.

С помощью формул (2.1) и (2.2) рассчитываем среднеквадратические отклонения в ряду y, x₂и x₃.

= 2

Прежде чем найти параметры уравнения множественной регрессии, определяют и анализируют парные коэффициенты корреляции ( ), ( ) которые рассчитываются по формулам:

где среднее значение j-го факторного признака;

среднее значение результативного признака;

среднеквадратическое отклонение результативного признака;

среднеквадратическое отклонение j-го факторного признака.

Парные коэффициенты корреляции равны:

Связь между y и x₂прямая, слабая; связь между у и х₃ обратная, очень слабая;связь между х₂и х₃ прямая, тесная.

Наличие между двумя факторамих₂и х₃весьма тесной линейной связи (парный коэффициент корреляции превышает по абсолютной величине 0,7) свидетельствует о наличии мультиколлениарности между факторами.

Чтобы найти параметры уравнения множественной регрессии и использовать при этом ранее найденные парные коэффициенты корреляции, строится система нормальных уравнений в стандартизированном масштабе.

Система нормальных уравнений в стандартизированном масштабе имеет следующий вид:

, (2.3)

где стандартизированный коэффициент регрессии.

Подставляя в систему (2.3) ранее найденные парные коэффициенты корреляции получим:

Из системы (2.3) находим стандартизированные коэффициенты регрессии:

Коэффициент по абсолютному значению больше коэффициента .

Фактор x₂влияет на результативный признак сильнее, чем фактор x₃.

Уравнение регрессии в стандартизированном масштабе имеет следующий вид:

(2.4)

Подставив значения и в уравнение (2.4) получим:

Переход от стандартизированного уравнения регрессии к уравнению регрессии в натуральном масштабе осуществляется по формулам:

где коэффициент регрессии при j-м факторном признаке,

стандартизированный коэффициент регрессии при j-м факторном признаке.

Найдем параметры искомого уравнения:

Уравнение регрессии в натуральном масштабе находится по формуле:

(2.5)

Подставив найденные параметры уравнения регрессии в уравнение (2.5) получим:

С увеличением расходов на конечное потребление, в текущих ценах % к ВВП на 1% к ВВП при исключении влияния второго фактора (расходы домашних хозяйств), индекс человеческого развития увеличиться на 0,0067, а при неизменном показателе расходов на конечное потребление, с увеличением расходов домашних хозяйств на 1% к ВВП индекс человеческого развития уменьшится на 0,0054.

Коэффициент множественной корреляции ( ) рассчитывается по формуле:

.(2.6)

Подставив найденные ранее парные коэффициенты корреляции и стандартизированные коэффициенты регрессии в уравнение (2.6) получим:

Величина коэффициента множественной корреляции отражает слабую связь факторов и результата.

Коэффициент множественной детерминации ( ) рассчитывается по формуле:

Доля факторной дисперсии в общей дисперсии составляет приблизительно 7%. На неучтённые факторы в модели приходится около 93%.

Средний коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

Для факторов х₂и х₃ средние коэффициенты эластичности равны:

Общий коэффициент эластичности равен:

Эластичность по каждому фактору и в целом меньше единицы, следовательно, индекс человеческого развития увеличивается в меньшей степени, чем факторы. С увеличением расходов на конечное потребление на 1% от своего среднего уровня, индекс человеческого развития возрастает на 0,6073 % от своего среднего уровня, при увеличении расходов домашних хозяйств на 1 % от своего среднего уровня, индекс человеческого развития снижается на 0,3733 % от среднего уровня. Очевидно, что сила влияния расходов на конечное потребление на индекс человеческого развития больше, чем сила влияния расходов домашних хозяйств. С увеличением каждого фактора на 1% следует ожидать увеличения индекса человеческого развития на 0,234%.

F-критерий Фишера ( ) рассчитывается по формуле:

где коэффициент множественной детерминации;

n количество наблюдений;

m количество параметров в уравнении регрессии.

равно 3,44 при уровне значимости: равном 0,05 и степенях свободы: равной 2 и равной 22.

больше

Уравнение регрессии и показатель тесноты связи являются статистически незначимыми.

Частный F-критерий ( ) рассчитываются по формуле:

где - коэффициент множественной детерминации для модели с полным

набором факторов;

- тот же показатель, но без включения в модель фактора х_k.

Для факторов х₂и х₃ частные F- критерии равны:

равно 4,30 при уровне значимости равном 0,05 и степенях свободы: равной 1и равной 22.

меньше и меньше .

Так как частные F-критерии меньше табличных, то гипотезу о несущественности прироста показателя множественной детерминации за счет включения фактора x₂и x₃принимаем.