Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.
Приложения интегрального исчисления к решению физических задач
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести материальной кривой.
а) Пусть материальная точка A массы m отстоит от оси l на расстоянии d. Статистическим моментом этой точки относительно оси l называют число md. Статистическим моментом системы материальных точек 
расположенных по одну сторону от оси l, массы которых равны 
, а расстояния от оси l равны 
, называют число:
= 
.
Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси - отрицательными.
Поэтому если точки 
расположены на координатной плоскости, 
= ( 
), то 
= 
и 
= 
( - статистический момент относительно оси Ox; - относительно оси Oy).
б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой Г или по некоторой области 
. Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области - ее площади.
Начнем со случая кривой линии Г, задаваемой уравнением 
= 
, 
, причем предположим, что функция 
непрерывна и неотрицательна.
Как обычно, разобьем отрезок 
на части точками a= 
... 
=b и обозначим через 
и 
наименьшее и наибольшее значения функции = на отрезке [ 
. Этому разбиению соответствует разбиение дуги Г на части 
(рис. 60).
|
|
|
Из физических соображений ясно, что статистический момент 
части 
относительно оси абсцисс заключен между 
и 
, где 
- длина этой части, = 
(напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице).
Таким образом,:
.
Поэтому:
, т.е.:
.
Так как на отрезке [ 
; 
] выполняется неравенство: 
, то в тех же границах, что и , заключен интеграл 
.
Значит,:
= (1)
Этот интеграл обозначают также следующим образом:
или 
.
Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут "бесконечно малый участок дуги" dl. Его статистический момент равен ydl. А статистический момент всей дуги равен сумме элементарных статистических моментов, т.е. 
. Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое "бесконечно малый участок дуги", или как еще говорят, "элемент дуги". При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что:
= 
= 
. (2)
|
|
|
Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая Г пересекает оси координат.
в) Введем понятие центра тяжести.
Определение. Центром тяжести тела называется такая точка С, что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.
Обозначим через 
и 
расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.
Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:
=l = 
; = 
= 
.
Разрешая полученные равенства относительно и , найдем координаты центра тяжести плоской кривой Г:
= 
; = 
.
Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.
Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.
Пример 1. Найдем статический момент полуокружности относительно диаметра.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью Ox. Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой:
|
|
|
= , где dl= 
dx - дифференциал дуги кривой y= .
В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так:
y= 
.
Тогда:
y'=- 
, 1+ 
=1+ 
= 
,и потому dl= 
.
Следовательно,:
= 
=2R 
=2Rx| 
=2 
.
Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности 
+ 
=4, расположенной в первом квадранте.
Решение. Данная кривая расположена симметрично относительно биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому = .
Достаточно найти только , пользуясь формулой:
= 
Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:
.
Отсюда находим, что:
=-2 
, 
= 
,
dl= 
= 
=2dt.
Поскольку длина l четверти данной окружности равна 
= 
, то:
= 
= 
= 
.
Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур.
Найдем статический момент прямоугольника со сторонами k и l относительно стороны k. Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны k и dy (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади kdy (напоминаем, что по предложению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен ky dy, а статический момент всего прямоугольника равен:
|
|
|
= 
= 
. (1)
Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой = , где - непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], снизу осью абсцисс, а с боков прямыми x=a, x=b.
Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно dx и высота y. Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен 
. В случае когда не выполняется предположение о не отрицательности функции y= , эту формулу надо заменить такой:
= 
- (части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в ).
Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т.е. интегралу 
, а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой:
= 
.
Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно x. Поэтому его статический момент равен x|y|dx, а статический момент всей трапеции выражается формулой:
= 
.
Следовательно, абсцисса центра тяжести выражается так:
= 
.
Пример 3. Найдем статический момент (относительно оси Ox) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды: x= 
- 
, y= 
- 
.
Решение. Так как параметр t одной арки циклоиды изменяется от 0 до 2 , то:
= 
- 
- 
= 
- 
= 
-3 + 
+ 
-( - 
))| 
= 
+ 
= 
.
Пример 4. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью Ox и одной полуволной синусоиды y= 
.
Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой x= 
, то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, = . Ордината центра тяжести находится по формуле:
= 
.
Так как:
= 
=- 
=2, то = 
= 
.
Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке ( 
.
Пример 5. Найдем центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной циклоиды x= - , y= - .
Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой x= 
, следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому = . Найдем по формуле:
= 
.
Площадь S данной фигуры была вычислена раньше, она равна 3 
. Следовательно, = 
- 
= 
.
Центр тяжести данной фигуры находится в точке ( 
.
Теорема Гульдина-Паппа.
Выведем теоремы, связывающие площадь поверхности (соответственно, объем тела) вращения с центром тяжести вращающейся дуги (соответственно, криволинейной трапеции).
Пусть поверхность образована вращением дуги Г, имеющей длину l. Мы знаем, что ордината центра тяжести этой дуги выражается формулой:
= 
.
Так как площадь поверхности вращения выражается интегралом:
=2 
, из этого следует, что: =2 
.
Мы доказали следующее утверждение, называемое первой теорией Гульдина-Паппа.
Площадь поверхности, полученной от вращения кривой вокруг непересекающей ее оси, равна произведению длины l дуги этой кривой на длину окружности, описанной центром тяжести C этой кривой.
Аналогично, из формулы, выражающей ординату центра тяжести криволинейной трапеции:
= 
и формулы объема тела вращения: 
= 
- получаем = 
, т.е. следующее утверждение, называемое второй теоремой Гульдина-Паппа:
Объем тела, полученного от вращения плоской фигуры вокруг непересекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой фигуры.
Пользуясь этими двумя теоремами, можно в ряде случаев упростить процесс вычисления поверхности или объема тела вращения.
Пример 6. Пользуясь теоремой Гульдина-Паппа, вычислим площадь поверхности и объема тора (рис. 62), образованного вращением круга радиуса a вокруг оси, расположенной в его плоскости и отстоящей от центра его на расстоянии b (a 
b).
Решение. Так как длина данной окружности равна 2 , а длина окружности, описанной центром тяжести ее, равна 2 
, то поверхность тора по первой теореме Гульдина-Паппа равна:
= 
= 
.
Объем тора равен: = 
= 
.
Пример 7. Длина одной арки циклоиды 
= 
- ), = 
- равна 
, а площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ox, равна 
. Вычислим площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке (рис. 63).
Решение. Пусть - расстояние центра тяжести дуги от оси Ox, тогда по первой теореме Гульдина-Паппа: = 
, откуда: = 
.
наибольшая ордината кривой соответствует 
= и равна 2 
, причем касательная в этой точке параллельна оси Ox; следовательно, расстояние h центра тяжести этой касательной равно: 
- = 
.
Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением той же арки циклоиды вокруг касательной в верхней ее точке, равна: 
= 
= 
.
Пример 8. Найдем объем тела, полученного от вращения квадрата со стороной a вокруг оси Ox, если он расположен так, как показано на рисунке 64.
Решение. Центр тяжести C квадрата находится на пересечении его диагоналей. Обозначим через b расстояние центра тяжести Ox. Тогда по второй теореме Гульдина-Паппа искомый объем:
= =2 .
Вычисление моментов инерции.
Моментом инерции материальной точки A относительно оси l называется число 
, где 
- масса точки, а d - ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.
Пусть Г - материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине dl, а момент инерции 
такого участка относительно оси абсцисс равен 
. Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии: 
= 
.
Так же доказывается, что: = 
и 
= 
+ 
, где - момент инерции относительно начала координат.
Отсюда следует, в частности, что = + 
.
Есть линия Г задана параметрическими уравнениями: = 
, = 
, 0 
, то = 
.
Аналогичные формулы справедливы для и .
Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами k и l относительно стороны k. Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами k и dy (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна kdy. Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой: 
= 
= 
.
Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами |y| и dx. Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой: 
= 
. Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:
= 
.
Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой:
= 
- (момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен 
).
Полярный момент инерции (т.е. момент относительного начала координат) в этом случае выражается формулой: = 
+ 
.
Пример 9. Вычислим момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.
Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.
Пусть основание треугольника |AC|=b, высота |BO|=h. Прямая (BC) проходит через точки B (0;h) и C ( 
). Ее уравнение 
= 
, т.е. y= 
. Ясно, что момент инерции треугольника ABC относительно оси Ox равен удвоенному моменту инерции треугольника BOC относительно той же оси. Значит,: = 
= 
- 
= 
= 
.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 2400; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!