Изображение элементов симметрии на плоскости стереографической проекции



 

Для обозначения симметрических преобразований и соответствующих элементов симметрии в кристаллографии пользуются условными символами, в которых наиболее распространены две нижеприведенных системы обозначений.                                                            

                                                                                                            Таблица 2

Обозначение элементов симметрии

            

название

обозначение  

Изображение по отношению к плоскости

 

символ симметрия перпендикулярное параллельное
Плоскость симметрии M P
Центр симметрии -1 C

 

Поворотная ось симметрии n Ln  
двойная 2 L2    
тройная 3 L3    
четверная 4 L4    
шестерная 6 L6    
Инверсионная ось симметрии -n L-n=L ni
тройная -3 L-3=L3i  
четверная -4 L-4=L4i    
шестерная -6 L-6=L6i    

 

В табл. 2 показаны: Международная символика принятая международным союзом кристаллографов, а также здесь даны международные условные изображения элементов симметрии на плоскости стереографической проекции.

 

 

 

 


 

 

 

Рис.33. стереографические проекции некоторых осей симметрии куба

 

В случае стереографической проекции оси симметрии проектируются подобно нормалям к граням.

Вертикальные оси изображаются в центре круга проекций, а оси, наклонные к плоскости проекций, проектируются внутри круга проекций (рис. 33).

При проектировании плоскостей симметрии куба соблюдают следующие условия:

Вертикальная ось симметрии проектируется в виде прямой (двойной) линии, являющейся одним из диаметров круга проекций; горизонтальная плоскость, совпадает с плоскостью чертежа, представляется кругом проекций; проекция наклонной плоскости является дугой (рис34).

 


 

 

 

          а                                 б                                         в

 

Рис.34. некоторые плоскости симметрии куба и их стереографические проекции. а – плоскость симметрии расположена под углом к плоскости проекции; б- горизонтальная плоскость симметрии; в – вертикальная плоскость

 

Рис.35 Элементы симметрии прямоугольного параллелепипеда (а) и их  

стереографическая проекция (б)

 

Теоремы сложения элементов симметрии

Основные законы сочетаний элементов симметрии кристаллических многогранников (конечных фигур) обычно формируются в виде совокупности теорем сложения элементов симметрии. В этих теоремах даны два элемента симметрии. Необходимо найти какие новые элементы при этом возникают.

ТЕОРЕМА 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворота вокруг этой оси вдвое больше угла между плоскостями.

ТЕОРЕМА 2. Точка пересечения четной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии (центр инверсии)

Зная эту теорему, можно сделать некоторые важные практические выводы:

Если при исследовании кристаллического многогранника найдены два элемента симметрии из трех (ось симметрии четного порядка, перпендикулярная к ней плоскость, центр инверсий), то обязательно нужно найти недостающий элемент симметрии;

При наличии центра инверсии количество четных осей симметрии равно числу плоскостей симметрии.

ТЕОРЕМА 3. Если есть ось симметрии порядка «n» и перпендикулярно этой оси проходит ось второго порядка, то всего содержится «n» осей 2го порядка, перпендикулярных оси n-го порядка. Например, в гексагональной дипирамиде, (рис 36) шесть осей второго порядка проходят через вершины и середины сторон шестиугольника дипирамиды, а главная ось фигуры L6 перпендикулярна всем осям второго порядка, и всего есть 6L2 перпендикулярных L6.

 

L2
L22
L2
L2
L2
L22
L

 

 


                        

                         Рис.36. Положение осей L2 и L6 в дипирамиде

 

ТЕОРЕМА 4. Если есть ось симметрии n го порядка, и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то всего через эту ось будет проходить «n» таких плоскостей.

В самом деле, на данном рисунке видно, вдоль оси L6 пересекается шесть плоскостей симметрии.

ТЕОРЕМА 5. (выведена впервые русским математиком Леонардом Эйлером, и носит его имя).

Через точку пересечения двух осей симметрии проходит третья ось симметрии.

 

Категории и сингонии

Полное сочетание элементов симметрии кристаллического многогранника называется его классом симметрии или точечной группой симметрии. Существует 32 класса симметрии кристаллов. Учитывая особенности сочетаний элементов симметрии, 32 класса симметрии делятся на три категории. В кристаллических многогранниках встречаются единичные или симметрично – равные направления.

    Единичным направлением называется единственное, не повторяющееся в кристаллическом многограннике направление. Таковым является, например, направление, совпадающее с осью L6 в шестигранной пирамиде.

    Симметрично-равное направление, которое можно получить с помощью элементов симметрии, и которому есть равное в кристаллическом многограннике.

     В кубе нет единичных направлений, здесь для любого направления можно найти симметрично-равное.

    По симметрии и по числу единичных направлений кристаллы делятся на три категории: низшую, среднюю, высшую.

    К низшей категории относятся кристаллы, у которых нет осей симметрии выше второго порядка и есть несколько единичных направлений. Это кристаллы наименее симметричные, с ярко выраженной анизотропией свойств.

    К средней категории относятся кристаллы, у которых имеется главная ось (главной осью симметрии называется простая ось симметрии, или инверсионная ось, совпадающая с единственным единичным направлением) порядка выше второго (и она одна) и есть одно единичное направление, совпадающее с главной осью. В кристаллах средней категории заметно различие свойств вдоль и поперек оси симметрии. Характерные формы кристаллов, относящихся к средней категории-призмы, пирамиды и др.

    Кристаллы вышей категории имеют несколько осей симметрии порядка выше второго, и единичных направлений в них нет; все направления являются симметрично-равными, поэтому анизотропия свойств в кристаллах высшей категории выражена слабее всего. Примерами кристаллов, относящихся к высшей категории, являются куб, октаэдр, тетраэдр.

    Все 32 класса симметрии кристаллов разделяются по трем категориям, которые в свою очередь, разделяются на 7 сингоний.

 

                                                                                    Таблица 3


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 703;