ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ КОНЕЧНЫХ ФИГУР.



СИММЕТРИЯ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ

Понятие симметрии

 

Термин «симметрия» (от греч. огцретркх — соразмерность, синонимы: однородность, пропорциональность, гармония), как предполагают, ввел в обиход Пифагор (VI в. до н. э.), обозначив им пространственную закономерность в расположении одинаковых фигур или их частей. Он же определил отклонение от симметрии как асимметрию. Теоретической разработкой учения о симметрии до последнего времени занимались исключительно математики и кристаллографы. Крупнейший немецкий математик XX в. Г. Вейлъ (1885-1955) в своей последней книге «Симметрия» писал: «Симметрия есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Профессор Михайловской артиллерийской академии А. В. Гадолин в 1867 г. создал законченную систему классификации кристаллов, положив в ее основу принцип симметрии. Полученные 32 класса симметрии позволили ввести простое и однозначное описание любых кристаллов. В зависимости от имеющихся в кристалле элементов симметрии для его описания выбирают одну из семи координатных систем, где роль координатных направлений играют наиболее плотные атомные ряды естественные координатные направления, которые в кристалле совпадают с его ребрами и осями симметрии. Таким образом анализ симметрии кристалла является необходимым этапом его описания для отнесения к определенному классу симметрии и однозначного определения пространственного расположения важнейших атомных рядов и атомных плоскостей.

 Как отмечено выше, в кристаллах встречаются симметрично- равные атомные ряды — ряды атомов с одинаковыми периодами, различающиеся лишь своими направлениями в пространстве. Наличие одинаковых межатомных расстояний в таких атомных рядах позволяет мысленно совместить их один с другим либо путем поворота на соответствующий угол, либо путем отражения в зеркальной плоскости. Геометрические образы, указанных преобразований, приводящих к совмещению равных элементов огранки кристаллов или одинаковых атомных рядов или атомных плоскостей, называются элементами симметрии.

 

Элементы симметрии кристаллических многогранников

Рассмотрим группу элементов симметрии, которые встречаются при описании симметрии кристаллических многогранников.

Простые оси симметрии. Если поворот фигуры вокруг прямой линии, проходящей через фигуру, на угол 60, 90, 120 или 180° переводит эту фигуру в новое положение, совершенно эквивалентное исходному (когда каждая грань кристалла заменяет равную ей грань, когда каждое ребро кристалла заменяет равное ребро, когда каждая вершина кристалла заменяет равную ей вершину, при этом конечное положение фигуры неотличимо от ее исходного положения), то это является доказательством наличия в кристалле простой оси симметрии соответственно шестого, четвертого, третьего или второго порядков.

Порядок оси симметрии определяется по количеству совмещений фигуры со своим исходным положением за один полный поворот вокруг оси симметрии. Минимальный угол поворота фигуры вокруг оси симметрии, при котором фигура совмещается со своим исходным положением, носит название элементарного угла . Он связан с порядком оси симметрии n соотношением:

n =360°/

Разумеется, что в понятие фигуры могут входить не только кристаллические многогранники, ограненные вышеупомянутыми гранями, ребрами, вершинами, но и любая кристаллическая структура с ее атомными рядами и атомными плоскостями. Так, на рис. 25 приведен пример плоской атомной сетки, которая содержит простые оси симметрии второго порядка, располагающиеся перпендикулярно этой сетке. Поворот элементарного параллелограмма на 180° вокруг любой из осей второго порядка приводит этот параллелограмм к совмещению с исходным положением, либо меняет его местами с другим таким же равным ему параллелограммом. Очевидно, что каждый такой поворот будет приводить к совмещению с исходным положением не только один отдельно взятый элементарный параллелограмм, но вся атомная плоскость при таком повороте займет новое положение, совершенно эквивалентное ее исходному положению, каждый атомный ряд либо совместится со своим исходным положением (поменяв при повороте местами свои концы), либо поменяется местами с равным ему эквивалентным атомным рядом. Наконец, при таком повороте каждый атом займет на плоскости место идентичного атома (либо просто повернется на месте, если он лежит на самой оси симметрии).

 

 

 

 


Рис.25. Атомная плоскость с простыми осями симметрии второго порядка

 

 


Рис. 26. Атомная плоскость с                                 Рис.27. Атомная плоскость с простыми

 
простыми осями                                                  осями симметрии четвертого порядка

симметрии третьего порядка

 

 


Рис.28. Атомная плоскость с простыми осями симметрии шестого порядка

 

Примеры плоских атомных сеток с другими простыми поворотными осями симметрии приведены на рис, 26, где оси симметрии третьего порядка проходят перпендикулярно плоскости чертежа через вершины треугольников и их центры, на рис. 27, где оси симметрии четвертого порядка проходят перпендикулярно атомной плоскости через вершины и центры квадратов, и на рис. 28, где оси симметрии шестого порядка проходят через центр каждого правильного шестиугольника — гексагона.

Важной отличительной особенностью всех рассмотренных плоских атомных сеток является то. что они оказываются целиком заполненными одинаковыми правильными фигурами либо параллелограммами, либо правильными равносторонними треугольниками, либо квадратами, либо гексагонами, которые без просветов покрывают всю атомную плоскость. Очень важно отметить, что никакие другие одинаковые правильные многоугольники не могут заполнить плоскость без просветов: ни пятиугольники, ни семиугольники, ни восьмиугольники и т. д. Такое сопоставление доказывает, что в кристаллах могут присутствовать оси симметрии только указанных порядков: второго, третьего, четвертого и шестого.

В проведенном анализе не упоминалось об оси симметрии первого порядка, поскольку этот элемент симметрии имеет тривиальный смысл: любая фигура содержит бесчисленное множество таких осей.

Наличие осей симметрии в кристалле является важным доказательством равенства его свойств по некоторым направлениям.

Зеркальные плоскости симметрии. Если фигуру можно разделить плоскостью на две зеркально-равные части, связанные между собой как предмет и его зеркальное изображение, то эта плоскость является зеркальной плоскостью симметрии (или просто плоскостью симметрии). На рис. 29 показана горизонтальная плоскость симметрии в гексагональной кристаллической структуре, В этой же кристаллической структуре можно отметить три, проходящие через центры структурных треугольников и их вершины, вертикальные плоскости симметрии.

 

 


Рис. 29. Пример зеркальной плоскости симметрии в гексагональной

      Кристаллической структуре     

 

 Плоскость симметрии обозначают либо международным символом т, либо учебным символом. Например, наличие девяти различным образом ориентированных плоскостей симметрии в кубе записывают с помощью последнего символа весьма лаконично: 9Р

 

  

 

Рис. 30. Плоскости симметрии куба

 

Центр симметрии. Если в фигуре можно выбрать особую точку, которая будет делить пополам любую заключенную внутри этой фигуры прямую, то такую точку называют центром симметрии. Так, точка С пересечения объемных диагоналей параллелепипеда (рис. 31) является центром симметрии. Этот центр симметрии связывает равные элементы параллелепипеда: вершину 1 с вершиной 2, вершину 5 с вершиной 6, ребро 6 с равным ему ребром 2—5, переднюю грань с равной ей задней гранью параллелепипеда и т. д.

 


С

 

 

Рис. 31. Центр симметрии С в элементарном параллелепипеде

 

Центр симметрии обозначают либо международным символом 1 (читается: «один с чертой»; либо учебным символом С, причем, последнее обозначение совпадает с графическим обозначением центра симметрии на стереографических проекциях элементов симметрии (в центре круга проекции).

Инверсионные оси симметрии. Несмотря на существенные различия все описанные элементы симметрии характеризуются одним общим свойством: каждый из них позволяет доказать равенство тех или иных элементов фигуры с помощью однократного симметрического преобразования. Так, при наличии плоскости симметрии достаточно только отражения в плоскости симметрии, чтобы доказать равенство определенных элементов фигуры. Таким же образом при наличии простой оси симметрии для такого доказательства достаточно только поворота фигуры на элементарный угол. При наличии центра симметрии доказательство равенства определенных элементов фигуры производится с помощью только отражения фигуры в точке, т. е. в центре симметрии.

Однако в кристаллах встречаются также более сложные симметрические преобразования. Например, инверсионные оси симметрии, которые сочетают поворот фигуры вокруг оси симметрии на элементарный угол с отражением фигуры в центральной точке центре инверсии.

Следует отметить существенное различие между центром инверсии и центром симметрии, на которое довольно часто не обращают внимания. Если отражение в центре симметрии совмещает две эквивалентные точки фигуры и является законченным симметрическим преобразованием, то само по себе отражение в центре инверсии не приводит к такому совмещению, поскольку для завершения симметрического преобразования необходимо еще произвести поворот фигуры на элементарный угол. Действительно, в рассмотренных примерах инверсионных осей симметрии для совмещения эквивалентных точек фигур было недостаточно одного лишь отражения в центральной точке, поэтому в каждом случае к этому отражению  добавляли поворот на элементарный угол. Таким образом, отражение фигуры в центре симметрии, с одной стороны, и отражение ее в центре инверсии, с другой, приводят к совершенно различным результатам, представляют собой существенно различающиеся преобразования. Хотя и говорят, что отражение в центре инверсии происходит, как в центре симметрии, но из такого сравнения нельзя делать вывод об их полной тождественности; это сравнение подчеркивает лишь сходство в технике осуществления операции отражения. В обоих случаях производится отражение фигуры в точке. Этим и ограничивается сходство между двумя преобразованиями.

Единственная инверсионная ось симметрии, в которой центр инверсии одновременно служит центром симметрии, представляет собой инверсионную ось симметрии третьего порядка (международный символ 3, учебный символ L3), Ребро нижнего основания фигуры 3—1 (рис. 32) после поворота на 120° переходит в положение 1—5, а затем после отражения в центре инверсии 1 занимает положение равного ему ребра верхнего основания 4—2. В данном случае центр инверсии совпадает с центром симметрии фигуры: в промежуточном положении 1—5 указанное ребро нижнего основания 3—1 совмещается с равным ему ребром 1—5.

Поскольку в случае инверсионной оси симметрии третьего порядка центр инверсии совпадает с центром симметрии, инверсионную ось симметрии третьего порядка можно заменить двумя простыми элементами симметрии простой осью симметрии третьего порядка и центром симметрии, что символически запишется в виде: L3= L3С

1
3
5
2
4
L3

 

 


Рис.32. Инверсионная ось симметрии третьего порядка L3 в тригональной кристаллической структуре

 

Что касается инверсионных осей симметрии первого и второго порядков, присутствие которых формально возможно в кристаллах, то они не представляют самостоятельного интереса, поскольку дублируют простые элементы симметрии. Инверсионная ось симметрии первого порядка, содержащая поворот на 360° и отражение в центральной точке, является центром симметрии. На основании их тождества возникло международное обозначение центра симметрии 1. Инверсионная ось симметрии второго порядка, как в этом нетрудно убедиться, эквивалентна зеркальной плоскости симметрии, поэтому ее не используют для описания кристаллов.

Таким образом для описания кристаллов применяют три инверсионные оси симметрии: третьего, четвертого и шестого порядков.

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 455; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ