Решение кристаллографических задач по сетке Вульфа



 

В 1897 году знаменитым русским ученым Г.В.Вульфом (1863-1925) в кристаллографическую практику была введена сетка, образованная стереографическими проекциями меридианов и параллелей и имеющая цену деления 20 . Плоскостью проекций является плоскость одного из меридианов. Образно можно представить себе, что сетка Вульфа – это та картина, которую можно увидеть на плоскости одного из меридианов, если смотреть из какой – нибудь точки экватора на сетку меридианов и параллелей, нанесенную на поверхность шара.

Положение на сетке Вульфа любой точки определяется ее сферическими координатами ρ и φ (рис. 20.).

 

                                     

 

Рис. 20. Схема сетки Вульфа и отсчета углов на ней

Стандартная сетка Вульфа чертится на круге диаметром 20 см. линии параллелей и меридианов проводят через каждые 20 . разделив это расстояние на глаз еще на 4 части, можно работать с точностью до 0,50 .

 

Правила работы с сеткой Вульфа:

· Приготовляют наклеенную на картон сетку Вульфа, кальку, остро отточенный твердый карандаш;

· Сетку располагают так, чтобы ее экватор был горизонтальным. На сетку кладут кальку, крестиком отмечают центр проекции, а горизонтальной черточкой на правом конце экватора сетки – нулевую точку. По этим двум отметкам всегда можно привести чертеж в исходное положение;

· Вся работа выполняется на кальке. Не допускаются никакие отметки на самой сетке;

· Все построения проводят путем концентрических вращений сетки.

 

Задача 1

Построить стереографическую проекцию направления, заданного сферическими координатами ρ и φ. Пусть φ=1650 , ρ=680 . решение:

1. накладываем кальку на сетку Вульфа и ставим на ней нулевые отметки ρ и φ;

2. от нулевого значения для φ по кругу проекций по часовой стрелке отсчитываем первую сферическую координату долготу φ (1650 ) и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной точкой;

3.вращением кальки (центр кальки при этом всегда должен совпадать с центром сетки) совмещаем найденную вспомогательную точку с концом ближайшего диаметра сетки;

4. по этому диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной точки отсчитываем вторую сферическую координату – полярное расстояние ρ (680 ) и отмечаем найденную точку кружочком. Для углов 00 ≤ ρ≤900  проекции обозначают кружочками.

Если 900< ρ ≤180 0  , отсчет продолжается за плоскость чертежа. Такую точку, находящуюся как бы под плоскостью чертежа, то есть «невидимую» для наблюдателя обозначают крестиком;

5. возвращаем кальку в исходное положение и подписываем точку «а» (рис. 21). Эта точка является искомой стереографической проекцией направления «А».

Задание : изобразить стереографические проекции направлений: В (3090 , 550) , Д (510 , 370), Е (1220 , 900) и Н (2050,1240).

В кристаллографии удобнее решить задачи, если

1) даны сферические координаты нормали к грани кристалла и требуется найти стереографическую проекцию нормали к грани, что то же самое, гномостереографическую проекцию самой грани;

2)даны сферические координаты ребра кристалла или какого-нибудь его характерного направления и требуется построить стереографическую проекцию этого ребра.

 

 

                                 

b
b
           

a
h
a

 


                      Рис. 21                                                                      Рис. 22

 

Задача 2(обратная)

Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией.

Решение:

1)вращением кальки привести заданную точку, являющуюся стереографической проекцией, на ближайший диаметр сетки. По этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитать сферическую координату ρ и отметить вспомогательной точкой на круге проекции тот конец упомянутого диаметра, в направлении которого лежит точка;

2)вращением привести кальку в исходное положение и по кругу проекции отсчитать сфеерическую координату φ от нулевого значения φ по часовой стрелке до вспомогательной точки.

 

ЗАДАЧА 3

Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.

Пусть точка «а» и «в» являются стереографическими проекциями направлений А (φ=1680  и р=680 ) и В (φ=3090  и р=550), тогда для решения задач надо:

· Вращением кальки добиться чтобы обе заданные точки а и в оказались на одном из вспомогательных меридианов сетки Вульфа;

· Найденную дугу тщательно обвести карандашом и возвратить кальку в прежнее положение.

     В данной задаче точки «а» и «в» лежат в одной половине сферы и обе изображены кружочками. Если же точки лежат в разных полусферах (обозначаются кружочком и крестиком), то вращением кальки привести точки на симметричные меридианы и обвести их соответственно сплошной и пунктирной линиями.

Если заданные точки изображают гномостереометрические проекции граней, то найденная дуга большого круга представляет гномостереографическую проекцию ребра, лежащего на пересечении обеих граней.

Если заданные точки изображают стереографические проекции ребер, то найденная дуга большого круга является стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат упомянутые ребра.

 

ЗАДАЧА 4

Измерить угол между направлениями А и В, заданными их стереографическими проекциями «а» и «в» соответственно.

Для решения необходимо совместить заданные точки «а» и «в» с одним из меридианов сетки и отсчитать по этому меридиану количество градусов, заключенных между точками «а» и «в».

Если заданные точки лежат в разных полусферах, то их (подобно решению задачи 3) поворотом кальки совмещают с меридианами, симметричными относительно центра сетки. Угол отсчитывают по одному меридиану от точки до полюса и по другому от полюса до точки.

Если заданные точки представляют собой гномостереографические проекции граней, то измеренный угол является углом между нормалями к этой грани.

Если заданные углы являются стереографическими проекциями ребер, то измеренный угол есть угол между этими ребрами.

b
1130
b

 


                                         

a
d
Раb
a

 


Рис.23                                                Рис. 24

 

ЗАДАЧА 5

Найти полюс дуги большого круга, то есть точку отстоящую от всех точект дуги на 900 .

Для решения необходимо дугу совместить с одним из меридианов и от точки пересечения дуги с экватором отсчитать 900  в сторону центра проекции. Найденная точка отсчета и есть полюс.

Решение этой задачи дает возможность переходить от гномостереографической проекции к стереогрфической и обратно. Если заданная дуга является стереографической проекцией грани, то найденный полюс является стереографической проекцией нормали к грани, т.е. гномостереографичекой проекцией грани. Если заданная дуга есть гномостереографическая проекция ребер, то найденный полюс - гномостереографическая проекция граней, нормальной к этому ребру или стереографическая проекция этого ребра.

 

ЗАДАЧА 6(обратная)

По заданному полюсу найти соответствующую ему дугу большого круга (экватор к полюсу).

Вращением кальки надо вывести данную точку на экватор сетки, отсчитать по экватору 900  в направлении центра сетки и отметить меридиан, проходящий через точку отсчета. Эта меридиальная дуга будет искомой меридиальной дугой относительно заданного полюса.

Если заданный полюс представляет собой гномостереографическую проекцию грани, то найденная дуга соответствует стереографической проекции самой грани.

Если заданный полюс есть стереографическая проекция ребра, то найденная дуга отвечает гномостереографичесой проекции этого же ребра.

 

ЗАДАЧА 7

Найти угол между двумя дугами больших кругов.

Например, требуется измерить угол между дугами аb и bd. Для этого вращением кальки совмещается точка пересечения дуг «а» (вершина измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки. Приняв вершину измеряемого угла за полюс, надо обвести отвечающую ему экваториальную дугу (задача 6). Количество градусов, заключенное в этой дуге между точками пересечения с ней двух заданных дуг является величиной искомого угла.

 На гномостереографической проекции угол между дугами больших кругов – это угол между двумя ребрами, на стереографической - угол между двумя гранями.

 

ЗАДАЧА 8

Построить точку, диаметрально противоположную данной. Вращением кальки данную точку переводят на один из меридианов сетки. Отсчитав по этому меридиану 1800 , находят диаметрально противоположную точку.

 

ЗАДАЧА 9

Совместить путем поворота две заданные точки.

Заданные точки переводят на одну параллель вращением кальки. Угол поворота равен углу между точками, измеренному по параллели. Осью поворота является вертикальный диаметр.

Решение этой задачи важно для нахождения осей симметрии в кристалле.

 

 

ЗАДАЧА 10

Построить геометрическое место точек, отстоящих от данной точки на данный угол α. (задача на построение малого угла).

Сущность задачи сводится к следующему. Вокруг некоторого направления, стереографическая проекция которого отвечает заданной точке, есть множество направлений, отклоненных от первоначального на один и тот же угол α и образующих в совокупности конус с углом раствора 2α. Пересечение этого конуса с поверхностью сферы дает малый круг, в центре которого находится точка пересечения заданного направления со сферой.

Пусть заданная точка лежит внутри круга проекции, например, точка «в». Требуется построить вокруг нее, как вокруг стереографического центра малый круг - геометрическое место точек, отстоящих от точки «в» на 300.

Для решения задачи, заданную точку совмещают с какой – либо параллелью сетки Вульфа, затем по меридиану сетки, проходящему через исходную точку, вверх и вниз отсчитывают α=300  и отмечают полученные при этом две точки. Вращением кальки далее приводят заданную точку на какую либо другую параллель сетки и снова аналогичным путем получают пару новых точек. Такой прием повторяется до тех пор, пока полученные точки не будут совершенно отчетливо обрисовывать окружность.

Решение этой задачи упрощается при наличии циркуля. В этом случае поворотом кальки заданную точку переводят на горизонтальный диаметр сетки и вправо и влево от нее отсчитывают требуемый угол. Затем, взяв геометрическую середину найденного отрезка за центр, вычерчивают круг.

В частном случае, когда заданная точка лежит на внешнем круге проекции (ρ =900) , достаточно привести ее повороты кальки на один из полюсов, изображенных на сетке Вульфа, отсчитать в любую сторону по кругу ( или по любой вспомогательной меридиальной дуге сетки ) требуемый угол, и прочертить соответствующую параллель сетки.

Наконец, в случае совпадения заданной точки с центром проекции, условное расстояние отсчитывают по обоим диаметрам сетки и по четырем найденным точкам строят искомую окружность.

Построение малых углов широко используется при решении задач, когда по двум заданным точкам и углам между ними и третьей искомой точкой требуется определить эту искомую.

 

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте понятие прямого кристаллического комплекса.

2. Объясните, что такое обратный (полярный) кристаллический комплекс.

3. Запишите, какими сферическими координатами характеризуют положение точки на поверхности сферы и как их определяют.

4. Опишите положительные и отрицательные моменты при применении сферической проекции.

5. Объясните, какие комплексы изображения кристалла применяют в сферической проекции.

6. Покажите на рисунке, что является плоскостью стереографической проекции, точкой зрения.

7. Опишите и зарисуйте (на любом примере) принцип построения стереографической проекции направления.

8. Опишите и зарисуйте (на любом примере) принцип построения стереографической проекции плоскости.

9. Объясните, какой кристаллический комплекс используют для построения стереографической проекции.

10.Объясните, что является стереографической проекцией направления.

11.Объясните, что является стереографической проекцией плоскости.

12.Объясните, какой кристаллический комплекс используют в гномостереографической проекции.

13.Покажите на примере принцип построения гномостереографической проекции плоскости.

14.Покажите на примере принцип построения гномостереографической проекции направления.

15.Объясните, что является плоскостью гномостереографической проекции.

16.Покажите, как изображаются гномостереографические проекции граней, находящиеся в верхней и нижней частях сферы.

17.Покажите, как производят отсчет координат на сетке Вульфа.

18.Объясните, что такое сетка Вульфа и для чего ее применяют.

19.Укажите, что является плоскостью гномонической проекции.

20.Зарисуйте принцип построения гномонической проекции плоскости.

21.Объясните, какой кристаллический комплекс используют в гномонической проекции.

22.Запишите, что является гномонической проекцией плоскости.

23.Запишите, что является гномонической проекцией направления.

24.Укажите, в каких случаях для решения задач применяют сферическую проекцию.

25.Укажите при решении каких задач применяют стереографическую проекцию.

26.Укажите для решения каких задач применяют гномостереографическую проекцию.

27.Укажите для решения каких задач применяют гномоническую проекцию.

28.Укажите отличие при изображении прямой в стереографической и гномостереографической проекциях.

29.Укажите отличия при изображении плоскости в стереографической и гномостереографической проекциях.

30.Укажите, что является гномостереографической и гномонической проекцией плоскости.

 

 

Практическое занятие 3


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 598;