Лекція 28. Поздовжньо-поперечний згин.
Слід зазначити, що згин прямого бруса зветься поздовжньо-поперечним, якщо в його поперечних перерізах виникають згинаючі моменти як від поздовжніх, так і від поперечних навантажень (рис.15.3). При розрахунку згинаючі моменти М в поперечних перерізах обчислюють з урахуванням прогинів осі бруса:
, (1)
де МП – згинаючий момент від поперечного навантаження.
Диференціальне рівняння зігнутої осі має вигляд
. (2)
Рис. 15.3
При відсутності поздовжньої сили
. (3)
Тоді вираз (2) можна записати так:
. (4)
Нехай форма пружної лінії балки при наявності поздовжньої сили і без неї є синусоїда:
; 
. (5)
Підставивши значення у та уп з формул (5) у вираз (4), одержимо
,
звідки 
де 
. (6)
У випадку розтягу 
. (7)
Максимальний згинаючий момент 
. Найбільше нормальне напруження можна знайти
за формулою 
.
При поздовжньо-поперечному згині обчислення сумарного напруження ускладнюється тим, що в цьому разі принцип незалежності дії сил застосувати неможливо.
|
|
|
Розв’язання задач по темі “Стійкість стиснутих стержнів”.
Задача 15.1.Підібрати у вигляді двотавра поперечний переріз шарнірно опорного стержня завдовжки ℓ=4 м. Стержень стиснутий силами Р=300кН, [σ]=160 МПа.
Розв’язання.У першому наближенні вибираємо φ=0,6. Тоді
см2.
За таблицями для двотавра №20а маємо А=35,5 см2, іmin=2,12 см. Отже
.
За таблицею φ=0,21, тому
см2.
Виходячи із середнього значення Абр, для цих двох випадків приймаємо 
см2, тобто беремо двотавр №30а: Абр=61,2 см2, іmin=2,55 см. Тоді
.
За таблицею φ=0,30. Отже
МПа.
Оскільки перенапруженість складає всього близько 2%, то можна спинитися на двотаврі №30а.
Задача 15.2.Підібрати у вигляді чотирьох рівнобічних кутників (рис.15.4) поперечний переріз шарнірно обпертого стержня (колони) завдовжки 3,75 м, стиснутого силами Р=600 кН, якщо [σ]=160 МПа. Матеріал – ст.3.
Розв’язання.Нехай у першому наближенні φ1=0,5. Тоді
см2.
З таблиці сортаменту рівнобічних кутників вибираємо для чотирьох кутників необхідні дані: 
мм з А1=19,2 см2, Іх=179 см4 і z0=2,83 см. Для всього поперечного перерізу колони маємо
|
|
|
см2.
Тоді 
см4. Радіус інерції поперечного перерізу
см.
Гнучкість колони
.
За таблицею значень для ст.3 знаходимо φ=0,732. Допустиме напруження дорівнює 
МПа.
Дійсне напруження 
МПа значно менше допустимого, а тому вибраний переріз буде недонапруженим.
Далі вибираємо кутники 
мм із А1=13,9 см2, Іх=106 см4 і z0=2,51 см. Для всього поперечного перерізу колони тепер маємо
см2 і 
см4.
Радіус інерції поперечного перерізу:
см.
Гнучкість колони
.
За таблицею значень φ знаходимо φ=0,675. Тоді [σy]=0,675·160=108 МПа. Дійсне напруження
Мпа.
Можна спинитися на кутниках мм. Далі треба перевірити міцність колони, враховуючи отвори під заклепки. Площа поперечного перерізу дорівнює
см2.
Стискуюче напруження з урахуванням отворів буде таким:
МПа.
Міцність матеріалу колони забезпечена.
Задача 15.4.Стальна балка прямокутного поперечного перерізу навантажена силами Р=70 кН і Р1=500 Н (рис.15.5,а). Визначити найбільший прогин і максимальне нормальне напруження в балці. Як зміняться ці величини, якщо навантаження збільшити в 2,5 рази.
|
|
|
Розв’язання.Максимальний прогин обчислюємо за наближеною формулою 
, де 
- прогин від поперечного навантаження Р1:
мм.
- позначена так звана “ейлерова сила”, яка формально обчислюється як критична сила за Ейлером для стержня з шарнірними опорами:
кН;
мм.
Найбільший згинаючий момент, який виникає в середньому перерізі балки, обчислимо так:
Н·м.
Найбільше стискуюче напруження в цьому перерізі визначається за формулою
МПа.
Якщо навантаження збільшити в 2,5 рази, то найбільший прогин буде
мм.
Найбільше стискуюче нормальне напруження
МПа.
Це напруження, подібно до прогинів і згинаючих моментів, залежить нелінійно від стискуючої сили: зміна навантаження в 2,5 рази викликає збільшення напруження σ майже в 5 разів, а прогину – у 8 разів.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1045; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!