Тема 12. Статично невизначувані балки.



Лекція 21.Поняття про статично невизначувані балки. Розрахунок простих статично невизначуваних балок. Нерозрізні балки і рівняння трьох моментів.

 

1. Поняття про статично невизначувані балки. В цій лекції треба звернути увагу на те, що статично невизначувані балки мають так звані зайві зв‘язки, які наявні у системі понад ті, що потрібні для забезпечення геометричної незмінності і нерухомості балки при дії навантаження.

Зусилля, що виникають у зайвих зв‘язках, прийнято називати зайвими невідомими у статично невизначуваній системі. Кількість зайвих невідомих вказує ступінь статичної невизначуваності системи.

2. Розрахунок простих статично невизначуваних балок. При розрахунках простих статично невизначуваних балок спочатку встановлюємо ступінь статичної невизначуваності. Надалі утворюємо статично визначувану, так звану основну систему.

Основну систему навантажуємо заданим навантаженням, а замість відкинутих зайвих зв‘язків прикладаємо невідомі Xi.

Складаємо додаткові рівняння переміщень і визначаємо невідомі Xi.

3. Нерозрізні балки і рівняння трьох моментів. Розглядаємо нерозрізну балку з довільною кількістю прольотів. За основну систему для цієї балки приймаємо ряд простих балок, що утворюються після розміщення шарнірів на кожній проміжній опорі нерозрізної балки.

При такій основній системі невідомими у рівняннях переміщень будуть згинаючі моменти в опорних перерізах нерозрізної балки. Одержане рівняння переміщень для нерозрізної балки називається рівнянням трьох моментів і має вигляд

,

 

де Мл,Мср, Мп – опорні моменти;

lл – довжина лівого прольоту; lп – довжина правого прольоту;

Sл, Sп – статичні моменти епюр моментів заданих сил відносно крайніх точок прольотів відповідно.

 

Розв‘язавши систему рівнянь трьох моментів, написаних для кожного розрізу балки на опорах, дістанемо величини діючих тут опорних моментів.

 

Розв’язання задач по темі “Статично невизначувані балки”.

 

    Задача 12.1.Розкрити статичну невизначуваність балки (рис.12.1). Побудувати епюри М і Q.

    Розв’язання.Балка один раз статично невизначувана. Основну систему виберемо у вигляді консолі. В точці В відкидаємо “зайве” опорне закріплення балки (схема б). Тепер перетворюємо основну систему в систему, яка буде повністю збігатися із заданою статично невизначуваною балкою (схема в).

 

Для цього треба прикласти до основної системи розподілене навантаження інтенсивності q, а в точці В прикладаємо реакцію RB і додамо умову ув=0, що відповідає рівнянню сумісності деформацій.

 

    При розв’язанні задачі згідно інтегралу Мора зображуємо додаткову схему г, прикладаючи в точці силу Р0=1.

    Тоді будемо мати: , , а рівняння сумісності деформацій остаточно набуває вигляду:

              ,

Звідки .

Реакції визначаємо із рівняння статики:

              , ,

звідки , .

Тоді вираз для згинаючого моменту буде таким:

              .

    Вираз для поперечної сили набирає такого вигляду:

              .

Епюри для згинаючого моменту і поперечної сили показані на рис.12.2.

    Переріз із найбільшим згинаючим моментом відповідає абсцисі х0, яка визначається із рівності

              , тобто , .

Тоді відповідно ордината епюри згинаючого моменту буде дорівнювати

              .

 

 

    Задача 12.2.Для заданої балки (рис.12.3), навантаженої моментом М=40 кН∙м, силою Р=20 кН і розподіленим навантаженням інтенсивності q=100 кн/м, розкрити статичну невизначуваність.

Рис. 12.3

 

    Розв’язання.Задана балка один раз статично невизначувана. Використовуючи рівняння статики, виразимо МА і YA через невідому YB:

    ; ХА=0;

    ; ;

              ;

              ;

 

    ; ;

              ; .

    Розкриємо статичну невизначуваність балки (рис.12.3,б). Для цього скористаємось методом початкових параметрів. Універсальне рівняння пружної лінії для даної задачі запишемо так:

Виберемо початок координат в затисненні. В затисненні початкові параметри θ0=0 і у0=0. Тоді для ділянки ІІІ з урахуванням рівнянь статики будемо мати

.

Значення YB знайдемо, використовуючи умову, що при х=6м прогин дорівнює нулю, тобто

;

72YB-584=0; YB=81 кН.

Тоді кН·м;

    кН.

Отже, статична невизначуваність балки розкрита.

 

    Задача 12.3.Задана нерозрізна балка сталого перерізу, яка має три прольоти, до балки прикладено зосереджену силу Р і рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q (рис.12.4). Побудувати епюри М і Q.

Рис.12.4

Розв’язання.Ця балка двічі статично невизначувана. Розрізаючи в уяві балку на опорах 1 і 2, отримаємо основну систему у вигляді трьох двохопорних балок (рис.12.5).

Рис. 12.5

 

    Для визначення вільних членів рівнянь трьох моментів будуємо епюри моментів для цих балок (рис.12.5). Напишемо рівняння трьох моментів

.

Цю штучну схему нерозрізної балки компенсуємо, прикладаючи у місцях розрізів опорні моменти М1 і М2.

    Тоді для опори 1 при n=1 рівняння матиме вигляд:

              .

У даному випадку: , , , .

Після підрахунків , .

Остаточно рівняння приймає вигляд:

              .

Напишемо рівняння трьох моментів для опори 2; при n=2 будемо мати:

              .

Тоді , , , , .

Остаточно друге рівняння трьох моментів буде мати вигляд:

              .

У розрахунковому випадку, якщо прийняти  і  (рис.12.5,в), то , а .

Знайдені опорні моменти М1 і М2 дають змогу побудувати епюри моментів для нерозрізної балки без додаткових обчислень. Для цього зображуємо для основної системи епюри згинаючого моменту від заданого навантаження (рис12.5,б). Епюри згинаючого моменту від опорних моментів М1 і М2 покажемо на рис.12.5,в. Остаточна епюра з характерними ординатами показана на рис.12.5,г.

    Обчислення опорних реакцій можна виконувати для кожного прольоту окремо. Потім значення двох реакцій на кожній проміжній опорі, обчислені окремо, треба скласти. Можна обчислити опорні реакції інакше.

    Суму моментів всіх сил ліворуч від опори 1, відносно цієї опори, прирівнюємо значенню опорного моменту М1: ; знаходимо . Розглянемо тепер два лівих прольоти. Сума моментів всіх сил відносно опори 2 дорівнює величині опорного моменту М2:

              .

Підставивши сюди відоме значення А, знаходимо .

Потім розглянемо крайній лівий прольот

              ; .

Розглянувши, нарешті, два правих прольоти, будемо мати .

    Правильність визначення реакцій контролюємо з рівнянь проекцій на вертикальну вісь

              ; ,

              .

Реакції обчислені вірно.

    Знаючи всі реакції опор, будуємо епюри поперечних сил для всіх ділянок балок (рис.12.5,д).

 

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 399; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ