Сформулюйте другу теорему двоїстості та її економічне тлумачення.
Теорема (перша теорема двоїстості). Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто
.
Якщо цільова функція однієї із задач необмежена, то спряжена задача також не має розв’язку*1.
*1: {Зауважимо, що коли одна із задач не має допустимого розв’язку, то двоїста до неї задача також може не мати допустимого розв’язку, тобто зворотне твердження щодо другої частини теореми в загальному випадку не виконується.}
Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максимальний прибуток (Fmax) підприємство отримує за умови виробництва продукції згідно з оптимальним планом 
, однак таку саму суму грошей ( 
) воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами 
. За умов використання інших планів 
на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво.
Як за розв’язком прямої задачі знайти розв’язок двоїстої?
Кожна задача лінійного програмування пов’язана з іншою, так званою двоїстою задачею. Для побудови двоїстої задачі необхідно звести пряму задачу до стандартного виду. Вважають, що задача лінійного програмування подана у стандартному вигляді, якщо для відшукання максимального значення цільової функції всі нерівності її системи обмежень приведені до виду « 
», а для задачі на відшукання мінімального значення — до виду « 
».Зв’язок між оптимальними розв’язками прямої та двоїстої задач встановлюють леми та теореми двоїстості. Якщо стоїть завдання розв’язати пряму задачу і відповідно до відповіді знайти оптимальний розв’язок двоїстої – то можна скористатися наступним планом: спочатку, якщо пряма задача не у стандартному вигляді, зводимо її до такої; потім, знаходимо її оптимальний план за допомогою побудови симплекс-таблиці. Наступним кроком, згідно зі співвідношенням двоїстості за першою теоремою можна висновувати, що оптимальний план двоїстої задачі існує і min F = max Z. Компоненти вектора Y* (оптимальний план двоїстої задачі) визначимо за формулою:
|
|
|
,де Сбаз. та міститься в стовпчику «сбаз» останньої симплекс-таблиці;.Матриця D– 1 також міститься в останній симплекс-таблиці у стовпчиках змінних, які утворювали початковий базис.
51.Запишіть загальну математичну модель задачі лінійного програмування.
Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ— так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді:
за умов:
Отже, потрібно знайти значення змінних x1, x2, …, xn, які задовольняють умови , і цільова функція набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.
|
|
|
52. Які є форми запису задач лінійного-програмування.
Задачу лінійного програмування зручно записувати за допомогою знака суми «S». Справді, задачу можна подати так:
за умов:
(2.6)
Ще компактнішим є запис задачі лінійного програмування у векторно-матричному вигляді:
max(min) Z = CX
за умов:
АХ = А0;
Х ≥ 0,
де
є матрицею коефіцієнтів при змінних;
— вектор змінних; 
— вектор вільних членів;
С = (с1, с2, …, сп) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.
Часто задачу лінійного програмування зручно записувати у векторній формі:
max(min)Z = CX
за умов:
A1x1 + A2x2 + … + Anxn = A0;
X ≥0,
де
є векторами коефіцієнтів при змінних.
53. Чим відрізняється відкрита транспортна задача від закритої?
Транспортну задачу називають збалансованою, або закритою, якщо виконується умова 
. Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.
54. Який розв’язок задачі лінійного програмування називається допустимим?
Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ — так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді:
|
|
|
Отже, потрібно знайти значення змінних x1, x2, …, xn, які задовольняють умови і цільова функція набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.
Вектор Х = (х1, х2, …, хn), координати якого задовольняють систему обмежень та умови невід’ємності змінних, називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 996; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!