Задача аппроксимации в синтезе электрических цепей

 

Аппроксимация функций является одним из разделов мате­матики и широко используется в различных областях знаний. В § 10.2 мы сталкивались с аппроксимацией В АХ нелинейных эле­ментов. И в данном случае подход к решению задачи остается прежним. Прежде всего это касается критериев близости функций. Напомним, что наиболее распространенными являются два крите­рия. Во-первых, это среднеквадратический критерий, когда мини­мизируется интеграл от квадрата модуля разности функций. Дру­гим критерием является минимаксный критерий, когда минимизи­руется максимум модуля разности двух функций. Если достигается такой минимум, то говорят, что аппроксимация выполнена по Чебышеву или оптимально равномерно. Однако в решении задачи аппроксимации при синтезе цепей имеются и отличия. Во-первых, существуют ограничения на вид аппроксимирующих функций и, во-вторых, должны контролироваться УФР.

Действительно, если выполняется аппроксимация квадрата мо­дуля передаточной функции, то в качестве аппроксимирующей не­обходимо выбрать дробно-рациональную функцию, которая пред­ставляет собой отношение двух четных полиномов с веществен­ными коэффициентами. При этом степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя и свободный член полинома знаменателя не может равняться нулю. Таким вы­бором аппроксимирующей функции удовлетворяются первые два УФР квадрата модуля передаточной функции. Третье условие должно контролироваться в процессе решения аппроксимационной задачи.

Когда рассматриваются временные характеристики, то выбору аппроксимирующей функции осуществляется в соответствии с выражениями (16.7).

 

Различные аппроксимации (приближения одной функции к дру­гой) отличаются, прежде всего, понятиями «близости» двух функ­ций. Наиболее широкое распространение в радиотехнике и связи получили такие методы аппроксимации, как интерполяция, при­ближение по Тейлору, приближение по Чебышеву, среднеквадратическое приближение.

При приближении функции F(x) и ζ(х) методом интерполяции наилучшей «близостью» этих функций считается совпадение их значений в выбранных точках — узлах интерполяции — х₁, х₂, ..., х_N, т. е.

Решение этой системы уравнений позволяет найти искомые зна­чения коэффициентов ось α₁, α₂ ,…α_N.

Решение задачи аппроксимации данным методом (см. § 10.2) имеет следующие недостатки:

1. Отсутствует процедура выбора точек интерполяции и перво­начального порядка функции и поэтому время, необходимое для отыскания оптимального решения, зависит от квалификации и ин­туиции разработчика.

2. В процессе решения не контролируются УФР.

Несмотря на отмеченные недостатки, метод интерполяции при­меняется довольно широко на практике, например, при синтезе ам­плитудных корректоров.

Данный метод аппроксимации применяется довольно часто вви­ду его простоты, однако он не гарантирует получения физически реализуемой функции F(x).

Приближение функций по Тейлору предполагает, что наилуч­шая «близость» (Fx) и ζ(х) достигается при совпадении в выбран­ной точке x₀ значений самих функций и их (N— 1) производных. Таким образом,

В основе этой системы уравнений лежит разложение функций F(x) и ζ(х) в ряды Тейлора и приравнивание первых N коэффици­ентов соответствующих рядов. Приближение по Тейлору нашло применение, в частности, при синтезе электрических фильтров. По имени автора, впервые предложившего такой вид аппроксимации в теории фильтров, она называется аппроксимацией по Баттерворту (см. § 7.2).

Наилучшее приближение функции F(x) к ζ(х) при аппрокси­мации по Чебышеву определяется из условия

Этот критерий «близости» функций следует понимать так: ко­эффициенты α₁, α₂ ,…α_N функции F(x) должны быть выбраны такими, чтобы самое наибольшее отклонение F(x) от ζ(х) в любой точке х рассматриваемого диапазона сделать минимально возмож­ным.

Задача чебышевских приближений решена аналитически для электрических фильтров (см. § 17.2).

При использовании Чебышевского критерия близости полезной является теорема Чебышева, которая формулируется следующим образом.

Теорема Чебышева. Если рациональная функция F(x, α₁, α₂ ,…α_N) с п коэффициентами аппроксимирует вещественную функ­цию на данном интервале по Чебышеву, то все максимумы отклонения равны между собой, а также равны величинам откло­нений на границах интервала и достигаются не менее, чем в N + 1 точках, причем знаки отклонений чередуются.

Эта теорема отвечает на вопрос: данная аппроксимация выпол­нена оптимально или нет.

При среднеквадратическом приближении наилучшая «бли­зость» двух функций достигается при выполнении условиям

т.е. при таких значениях коэффициентов α₁, α₂ ,…α_N, при кото­рых сумма квадратов отклонений F(x) от ζ(х) в точках х₁, х₂, ..., х_M (M>N)является минимально возможной.

Минимизация достигается путем составления и решения систе­мы алгебраических уравнений:

Отметим, что заданная и аппроксимирующие функции могут быть не только вещественными, но и комплексными, что позволяет одновременно аппроксимировать как АЧХ, так и ФЧХ.

При решении задач среднеквадратических приближений разра­ботано большое количество численных методов, предназначенных для использования их на ЭВМ.

Заметим, что не существует четких рекомендаций по примене­нию того или иного метода аппроксимации. Зачастую выбор метода зависит от сложности решения задачи аппроксимации (аналитиче­ского или численного), от конкретного применения синтезирован­ной цепи и т. п.

44.(18) Фильтры Баттерворта. Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (17.4) и его рабочее ослабление (17.5), в ка­честве функции фильтрации используются полиномы Баттервор­та (по имени автора, предложившего ис­пользовать их для «конструирования» частотных характеристик фильтра), то такие фильтры называются фильтрами Баттер­ворта.

Из формул (17.4) и (17.5) следует, что для фильтров Баттер­ворта на частоте Ω = 0 значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабления — нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно большого значения. Таким образом, выражения (17.4) и (17.5) приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.

Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к фильтру требования (см. рис. 17.3), необходимо иметь рабочее ос­лабление (17.5) в полосе пропускания меньшее А_ртах, а в полосе непропускания большее А_{р min}. Первому условию можно удовле­творить, если потребовать на граничной частоте полосы пропуска­ния (Ω = 1) выполнения равенства Ap(Ω)_Ω=1⁼ А_ртах или Отсюда с учетом (17.5) или (17.4) имеем Вычисленный таким способом коэффициент Е:

называется коэффициентом неравномерности ослабления в поло­се пропускания фильтра.

В формуле (17.6) величина А_ртах имеет размерность непер. Ес­ли воспользоваться значениями А_ртах в децибелах, то

С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттер-ворта запишется в виде

Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных че­тырехполюсников, и поэтому ей можно сопоставить физически осуществимый электрический фильтр.

Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:

Половина полюсов функции Нр(р)Нр(—р) лежит в левой полу­плоскости комплексной переменной р и может быть отнесена к пе­редаточной функции реализуемого фильтра Нр(р). Другая поло­вина полюсов, являясь зеркальным отражением первой, располага­ется в правой полуплоскости и относится к Нр(—р).

Построенная из полюсов, лежащих в левой полуплоскости, пе­редаточная функция фильтра Баттерворта является полиномиаль­ной передаточной функцией типа (17.1):

Используя введенное ранее обозначение B_m(Ω) = Ω'" полинома Баттерворта, можно представить частотные характеристики (17.8) и (17.9) фильтра Баттерворта в следующей форме:

Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максималь­но плоским ослаблением в полосе пропускания (см. рис. 17.4, а).

44. Полиномиальные фильтры Чебышева.Если в качестве функ­ции фильтрации в (17.4) и (17.5) использовать полином Чебышева, обозначаемый то формулы (17.14) примут вид:

где T_m(Ω) — полином Чебышева степени (порядка) т; ε — коэффи­циент неравномерности, определяемый (17.6) или (17.7).

Фильтры с частотными характеристиками (17.15) называются фильтрами Чебышева. Проанализируем частотные характеристи­ки фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства по­линомов T_m(Ω). Ниже приведены шесть первых полиномов Чебы­шева:

Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интер­вале —1 ≤Ω≤1 угол Θ = arccosΩ изменяется от —π (приΩ = —1) до 0 (при Ω = 1), поэтому полином T_m(Ω) = cosmΘровнот раз принимает значения, равные нулю, и т +1 раз достигает значе­ний, равных +1 пли —1 и чередующихся друг с другом. Вне интер­вала —1 ≤Ω≤ 1 полином Тm(Ω) согласно формуле (17.16 в) монотонно возрастает.

В качестве примера на рис. 17.6, а изображен график полинома Чебышева T₄(Ω), т. е. полинома четвертого порядка.

В соответствии с (17.15) рабочее ослабление А_р(Ω.) фильтра Чебышева на тех частотах Ω, где полином Т_m(Ω) обращается в нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых T_m(Ω)равен ±1, рабочее ослабление достигает величины:

С ростом значений полинома Т_m(Ω) на частотах Ω > 1 рабочее ослабление А_Р(Ω) также монотон­но растет. На рис. 17.6, 6 приве­ден график рабочего ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка.

Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания.

На рис. 17.7 показаны частотные зависимости квадрата АЧХ фильтра Чебышева для различных значений т, полученные для |Hp(jΩ)|² из (17.15). Подобные зависимости могут быть построены для рабочего ослабления фильтра.

Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе непропускання, необходимо выбрать порядок фильтра т. из условия

Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются полипомами наилучшего прибли­жения. Это означает, что при одинаковом значении т из всех полиномиальных фильт­ров, ослабления которых в по­лосе пропускания не превыша­ют A_pmax, наибольшие зна­чения ослабления в полосе непропускання имеет фильтр Чебышева. В частности, рабо­чее ослабление фильтра Чебышева в полосе испропускания может превышать (п весьма значи­тельно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных зна­чениях т и А_pmax. Однако характеристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный ха­рактер и легче поддается корректированию для устранения иска­жений передаваемых сигналов.

Выбор типа полиномиальных фильтров определяется конкрет­ными условиями их применения в аппаратуре связи и радиотехни­ческих устройствах.

Для получения передаточной функции фильтра Чебышева по­ступим аналогично тому, как делали это для фильтров Баттервор­та. Заменим оператор jΩ на оператор р и перейдем от функции к функции:

В заключение отметим, что для полиномиальных фильтров в справочниках составлены весьма полные таблицы полюсов и ко­эффициентов передаточных функций для различных величииA_pmax и т. Порядок же фильтров т определяется по специальным графикам, исходя из заданных величин _{Ар max}, A_pmin и Ω₃₎.

 

 

1. http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/osnovi_teorii_cepey/osnov_6.htm

2. http://scask.ru/book_b_toe1.php?id=252 – по 10 вопросу!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты :

Теорема Котельникова

В 1933 году В.А. Котельниковым доказана теорема отсчетов [6, 32], имеющая важное значение в теории связи: непрерывный сигнал с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам , взятым через интервалы , где – верхняя частота спектра сигнала.

В соответствии с этой теоремой сигнал можно представить рядом Котельникова [6, 32]:

.

(1.21)

Таким образом, сигнал , можно абсолютно точно представить с помощью последовательности отсчетов , заданных в дискретных точках (рис.1.16).

Функции

(1.22)

образуют ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным спектром:

при .

(1.23)

Обычно для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот . Увеличение приводит к неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая сигналом, составляет около 6 МГц.

Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.

Функция вида называется функцией отсчетов (рис.1.17).

Она характеризуется следующими свойствами. Если , функция отсчетов имеет максимальное значение при , а в моменты времени ( ) она обращается в нуль; ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна , поэтому минимальная длительность импульса, который может существовать на выходе линейной системы с полосой пропускания , равна ; функции отсчетов ортогональны на бесконечном интервале времени.

На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:

Для передачи непрерывного сигнала по каналу связи с полосой пропускания определим мгновенные значения сигнала в дискретные моменты времени , ( ). После этого передадим эти значения по каналу связи каким - либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой .

Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле [6, 32]:

.

(1.24)

Для сигнала, ограниченного во времени, выражение (1.24) преобразуется к виду:

.

(1.25)

Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т.к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по частоте и времени.

Дискретизация и квантование

Дискретизация и квантование исходного сигнала, пропорционального передаваемому сообщению, являются первыми этапами кодирования. Для определения частоты дискретизации (тактовой частоты) используется теорема Котельникова, согласно которой

,

где - максимальная частота спектра. Для телефонной передачи достаточно иметь . Для перехода к кодированному импульсному сигналу передается не бесконечное, а конечное число разрешенных значений уровней дискретизированного сигнала, отстоящих друг от друга на конечный интервал. Действительное значение сигнала заменяется ближайшим разрешенным. Шкала разрешенных значений называется шкалой квантования, а интервал между ними – шагом квантования. Квантование по сути является округлением чисел. Естественно, чем меньше шаг квантования, тем ближе квантованные значения к истинным.

Пусть исходная функция подвержена дискретизации и квантованию. Ошибкой кавнтования называют разность между квантованным значением и истинным значением , т.е. передача квантованных значений сигнала вместо истинных равносильна наложению на истинные значения помехи :

.

Последовательность и называют помехой (или шумом) квантования.

Квантование позволяет производить дальнейшее кодирование сигнала (например, преобразовывать его в цифровой), и, кроме того, оно представляет собой мощное средство борьбы со случайными помехами, которые всегда возникают в системе связи. На приемном конце мы будем получать сигнал

где – мгновенное напряжение помехи в момент отсчета. Помеха имеет случайный характер, никак не контролируется, поэтому восстановить истинное значение нельзя.

Если мы знаем ,то можно применить квантование с шагом, большим . На приемной стороне сигнал можно еще раз проквантовать и, таким образом, избавиться от помехи. При округлении ближайшим уровнем окажется тот, который передавался. Таким образом, повторное квантование производит восстановление поврежденного помехой сигнала. Эту операцию можно производить несколько раз, что предотвращает накопление помех. Это используется в радиорелейных линиях связи.

 

---

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1363; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!