Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр)

Конспект лекций для подготовки к коллоквиуму (МП-16,17,17а,18,19)

Элементы математической логики.

Основное понятие – высказывание. Высказывание – предложение, сформулированное средствами некоторого языка, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

1) девять делится на три без остатка;

2) 5>4;

3) 8 – простое число;

4) ;

5) Да здравствует математика!

Высказываниями являются три первых предложения. Пятое предложение не является высказыванием. Четвертое предложение – предикат. Предикат – предложение, содержащее переменную величину, переходящее в высказывание при конкретном значении этой величины. Например, припишем слева к «квантор» всеобщности («для любого», «для каждого», «для всех» ) или квантор существования ( «найдется», «существует» ).

- ложь.

- истина.

Знак истинности у ложного высказывания «0», знак истинности у истинного высказывания «1».

Над высказываниями можно проводить логические операции, результатом которых является новое высказывание. Результаты операций представлены в таблице истинности:

A	B	А «и» В	А «или» В	«Не» А	Из А «следует» В	А «тождественно» В
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	0 1 1 1	1 1 0 0	1 1 0 1	1 0 0 1

Два высказывания, имеющие одинаковые переменные, называются тождественными, если их таблицы истинности совпадают.

Множества.

Множество – совокупность некоторых объектов определенной природы. Объекты, образующие множество, называются его элементами.

- элемент принадлежит множеству .

- элемент не принадлежит множеству .

Задать множество можно перечислением его элементов ; с помощью некоторой процедуры ; при помощи описания свойств элементов, входящих в множество, .

- множество является подмножеством , т. е. каждый элемент множества является элементом множества .

- пустое множество. Множество, состоящее из элементов, содержит с учетом пустого подмножества подмножеств.

- равные множества.

- множество, элементы которого являются элементами множества или множества или элементами обоих множеств (объединение множеств).

- множество, элементы которого являются элементами множества и одновременно элементами множества (пересечение множеств).

- множество, элементы которого являются элементами множества , не принадлежащие множеству (разность множеств).

Множества и называются эквивалентными, если между элементами множеств можно установить взаимно однозначное соответствие. Конечные множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое количество элементов.

В случае бесконечного множества эквивалентными могут быть все множество и его подмножество. Например, с помощью процедуры мы можем установить взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством четных натуральных чисел, т. е. установить их эквивалентность.

Счетное множество – множество, эквивалентное множеству натуральных чисел. Можно показать, что счетным множеством является множество рациональных чисел. Множество иррациональных чисел не является счетным.

Множество действительных чисел.

Понятия действительных чисел, их свойства формулировались в течение длительного времени. Аксиоматический подход к понятию действительных чисел заключается в том, что действительными числами называют множество, элементы которого обладают следующими свойствами (удовлетворяют следующим аксиомам).

I.Аксиомы сложения.

1. - переместительный.

2. - сочетательный.

3. - существует «0».

4. - существует противоположное число.

II. Аксиомы умножения.

1. - - переместительный.

2. - сочетательный.

3. - существует «1».

4. - существует обратное число.

5. - распределительный.

III. Аксиомы порядка.

1. Если , то или .

2. Если и , то .

3. Если , то .

4. Если и , то .

IV. Аксиома Архимеда.

1. Для любого существует , удовлетворяющее неравенству .

V. Аксиома непрерывности.

1. Для всякой системы вложенных числовых отрезков, стремящихся к нулю, существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы. (Непрерывность в смысле Кантора).

Определение. Система числовых отрезков , , …, называется системой вложенных отрезков, если .

Определение.Длина вложенных отрезков стремится к нулю, если .

Теперь будем рассматривать только множества, состоящие из действительных чисел.

Определение. ( - точная верхняя грань множества ).

Определение. (отрицание к предыдущему определению).

Определение.Множество ограничено сверху, если

Определение.Множество ограничено, если

Теорема. Всякое ограниченное сверху не пустое множество имеет точную верхнюю грань.

Доказательство.Внутри множества возьмем произвольную точку . Это можно сделать, т. к. наше множество не пустое. Возьмем произвольную точку правее нашего множества. Это можно сделать, т. к. наше множество ограничено сверху. Отрезок делим пополам и выбираем правый из половинок, содержащих точки множества , или левый, если правый не содержит точек из . Выбранный отрезок обозначаем . Разбиваем отрезок пополам и указанным способом выбираем отрезок . Продолжая разбиения получим систему вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю. Действительно,

Полученная система вложенных отрезков, стремящихся к нулю, в соответствие с аксиомой V, имеет общую точку . Покажем, что . Для этого надо показать, что выполняются два высказывания из определения супремума.

1). . Предположим обратное. Пусть . Тогда . Но при , т. е. . Учитывая, что , последнее неравенство можно представить в виде: . Мы пришли к противоречию т. к. . Значит наше предположение не верно, т.е. первое высказывание выполняется.

2). . Действительно, т.к. длина отрезков стремится к нулю, то Учитывая, что и , усилим последнее неравенство: . Мы получили: .

Таким образом . Теорема доказана.

Доказательство*.Заметим, что все отрезки содержат элементы множества, и правая точка отрезка лежит правее элементов множества или, по крайней мере, совпадает с правой точкой множества. Надо показать, что , т.е. все элементы множества лежат левее или является правой точкой множества, а также между точками множества и точкой отсутствует зазор.

Пусть какая-то точка множества лежит правее точки , тогда длина отрезка системы с номером меньше расстояния между точкой и точкой , т. е. точка лежит правее точки . Противоречие.

Предположим теперь наличие зазора между элементами множества и точкой , тогда все отрезки системы не могут по длине быть меньше этого зазора, т.к. они содержат и точку и хотя бы одну точку множества, что противоречит сходимости системы отрезков. Теорема доказана.

Числовая последовательность.

Определение.Числовая последовательность –бесконечное множество пронумерованных чисел. Каждый элемент последовательности характеризуется номером и своим значением.

Примеры последовательностей: ; ; ; ; .

Определение*.Числовая последовательность –функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Определение.Последовательность неубывающая, если

Определение.Последовательность ограничена сверху, если

Определение.Последовательность не ограничена сверху, если (отрицание к предыдущему определению)

Определение.Число называется пределом последовательности , если

Это записывается

Рассмотрим неравенство

- окрестность точки размера (интервал с центром в точке и длиной ).

Определение*. , если

Теорема. Если имеет предел, то он единственный.

Доказательство. Пусть имеет два предела и . Возьмем

Мы получили, что начиная с номера , который больше и , все члены последовательности лежат в окрестности тоски и в окрестности точки . Противоречие, т.к. окрестности точек и не пересекаются. Теорема доказана.

Теорема. Если имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть . Возьмем найдем Из последнего неравенства следует

Пусть наибольшее среди чисел … , Тогда превосходит модуль всех членов нашей последовательности, т.е. последовательность ограничена. Теорема доказана.

Определение. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся последовательностью или фундаментальной последовательностью.

Теорема. Если , , то

;

Доказательство.Докажем выражение для произведения. Так как имеет конечный предел, то она ограничена некоторым числом . Пусть

Для того чтобы доказать , надо показать, что для любого найдется номер , такой, что для всех выполняется неравенство

Начиная с любого номера , который больше и сумма в правой части неравенства меньше . Теорема доказана.

Пример. Показать, что , где - геометрическая прогрессия при .

Заметим, что . Так как , используя теорему о пределах суммы, произведения и частного, получаем требуемый результат.

Пример. Показать, что .

Если верное утверждение для числа , тогда принцип математической индукции заключается в следующем: .

По индукции доказываем, что . Делим числитель и знаменатель последовательности на и получаем нужный результат.

Определение. Число называется точной верхней гранью последовательности , если .

Теорема.Всякая ограниченная сверху последовательность имеет предел, причем .

Доказательство. Так как последовательность ограничена сверху она имеет точную верхнюю грань , значит . В силу неубывания последовательности имеем: ; ; ; . Таким образом, , т.е. Теорема доказана.

Число .

Покажем, что последовательность имеет предел. Для этого нодо показать, что она возрастающая и, что она ограничена сверху. Для преобразования -го члена последовательности воспользуемся Биномом Ньютона:

При увеличении число слагаемых увеличивается, и каждое слагаемое увеличивается, значит, наша последовательность возрастающая. Далее имеем

, т.е. наша последовательность ограничена сверху. В последнем выражении мы использовали неравенство , которое можно доказать методом математической индукции, а также формулу суммы геометрической прогрессии. Таким образом, наша последовательность имеет предел, который назвали числом .

Пусть задана последовательность . Выберем из нее бесконечное число элементов с номерами . Получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема.(Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как ограничена, то она принадлежит отрезку . Разделим его на две равные части. По крайней мере, один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его через . Выберем какой-то элемент . Разделим на две равные части, снова хотя бы один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его . Выберем какой-то элемент . Продолжим этот процесс. Получим систему вложенных отрезков и подпоследовательность . Система вложенных отрезков стремится к нулю, следовательно имеет общую точку , к которой и сходится полученная подпоследовательность. Действительно . Теорема доказана.

Теорема.(Критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась (имела конечный предел) необходимо и достаточно чтобы она удовлетворяла условию Коши: .

Доказательство. 1.(Необходимость). Пусть , тогда фундаментальна (удовлетворяет условию Коши).

Имеем Пусть , тогда .

2. (Достаточность). Фундаментальная последовательность сходится (имеет конечный предел).

Сначала покажем, что фундаментальная последовательность ограничена. Пусть , тогда, согласно условию Коши, , в частности . Так как , где , последовательность ограничена.

Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность .

Пусть . Имеем

В силу фундаментальности этой последовательности .

Если , то , то есть . Теорема доказана.

Пример.Покажем, что расходится.

Запишем отрицание к условию Коши: .

Пусть , тогда . Таким образом, , при котором выполняется отрицание условия Коши.

Функции.

Каждому элементу множества ставится в соответствие по некоторому закону единственный элемент множества . Функция задается аналитически или графически. Монотонная функция имеет обратную функцию. Различают четные, нечетные и функции общего вида.

Определение.(По Коши) , если определена в некоторой окрестности точки , быть может кроме самой этой точки, и если .

В определении предела удобно использовать вместо неравенств понятия окрестностей .

Введем обозначения:

- выколотая окрестность числа размера .

- окрестность числа размера .

- окрестность размера .

- правая половины окрестности числа размера .

- левая половины окрестности числа размера .

Определение. , если определена на правой половине окрестности точки , быть может кроме самой этой точки, и если

Определение*.(По Гейне) , если .

Теорема. Определения по Коши и по Гейне эквивалентны.

Пример. Доказать по определению .

Запишем определение: . Когда значения нашей функции принадлежат , аргумент принадлежит интервалу . Нам необходимо найти максимальный размер окрестности принадлежащий указанному интервалу. Окрестность - интервал симметричный относительно числа 2. Используя график функции и изображения окрестностей, находим, что .

Пример. Доказать, что .

Сформулируем отрицание к определению предела по Гейне: . Оно выполняется для последовательности , которая сходится к нулю, а последовательность не имеет конечного предела (можно показать при помощи Критерия Коши).

Теорема. Если , где - конечное число, то на некоторой окрестности -ограничена, то есть .

Доказательство. Пусть , тогда . Преобразуем последнее неравенство: . Отсюда имеем, что для любого , т.е. функция ограничена числом . Теорема доказана.

Теорема.(О сохранении знака). Если , где - конечное число, то на некоторой окрестности , если , и , если .

Доказательство. Пусть , тогда . Последнее неравенство запишем в виде: . Если , то из левого неравенства имеем . Если , то из правого неравенства имеем . Теорема доказана.

Теорема.(О зажатой функции). Если , и на некоторой окрестности , тогда .

Доказательство. Используя последнее неравенство и определения пределов функций и , запишем: . Из этого выражения следует, что для и выполняется неравенство . Таким образом, . Теорема доказана.

Теорема. Пусть и , тогда:

1) ;

2) ;

3) .

Теорема легко доказывается с использованием определения предела по Гейне и аналогичной теоремы для последовательностей.

Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы существовал конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы была определена в некоторой окрестности точки , быть может кроме самой этой точки, и .

(Без доказательства).

Непрерывность функции.

Определение. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой тоске , и если , т.е. .

Из определения следует, что для непрерывной функции справедливо равенство:

, то есть предел можно вносить в аргумент непрерывной функции.

Определение*. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой тоске , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при , т.е. .

Пример. Функция непрерывна для любого .

Действительно .

Пример. Функция непрерывна для любого .

. Здесь мы использовали неравенство . Таким образом, имеем , т.е. функция зажата между двумя функциями, стремящимися к нулю. Значит, и стремится к нулю.

Теорема. Если и непрерывны в точке , то непрерывны их сумма, разность, произведение и частное.

Доказательство. Доказательство вытекает из определения непрерывности и теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного.

Теорема. (О непрерывности сложной функции). Пусть задана функция , непрерывная в точке , и функция , непрерывная в точке , и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. .

Пример. Многочлен - непрерывная функция, т.к. является результатом конечного числа арифметических операций над непрерывной функцией

Пример. - сложная функция.

Пример. - непрерывная функция.

Действительно: ; .

Пример. Если непрерывна, то непрерывна и сложная функция .

Замечательные пределы.

- первый замечательный предел.

Используя тригонометрический круг, определение синуса и тангенса, а также неравенство , можно при записать выражение . Разделим его на и получим . По теореме о зажатой функции имеем .

- второй замечательный предел.

Для натуральной переменной следует из определения числа . Можно показать, что переменной может быть не только натуральное число, но и действительное число, стремящееся к . Кроме того, если сделать замену переменной , то получим эквивалентную запись этого предела .

Классификация точек разрывов.

Разрывы бывают устранимые и неустранимые. Отличают неустранимые разрывы первого и второго рода.

Функция в точке имеет устранимый разрыв, если предел слева равен пределу справа и не равен значению функции в точке . Такой разрыв можно устранить, изменив значение функции в одной точке. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв первого рода, если конечный предел слева не равен конечному пределу справа. Пример: .

Функция в точке имеет неустранимый разрыв второго рода, если хотя бы один из пределов не существует или равен . Примеры: ; .

Сравнение бесконечно малых.

Определение.Если , то говорят, что бесконечно малая при .

Определение.Если и - бесконечно малая при и , то говорят, что - о- малое от при , т.е. при .

Определение.Если , где - конечное число, то говорят, что и величины одного порядка малости при .

Определение.Если , эквивалентна при , т.е. при .

Примеры эквивалентных бесконечно малых при : ; ; ; ; ; .

Определение.Если , то говорят, что бесконечно большая величина при .

Функции, непрерывные на отрезке.

Определение.Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , а и .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена, т.е. .

Доказательство. Допустим, что функция не ограничена на отрезке . Тогда . Берем последовательно , получим: . Заметим, что . Последовательность ограничена, т.к. . По теореме Больцано-Вейерштрасса из можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , т.е. , где . В силу непрерывности имеем: , где конечное число, согласно нашему предположению. Но мы уже получили, что , а значит, . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема. (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то существует ее минимум и максимум на , т.е. существуют точки .

Доказательство. Докажем для максимума. По предыдущей теореме непрерывная на отрезке функция ограничена сверху некоторым числом , но тогда существует точная верхняя грань , т.е. . Полагая последовательно , получаем последовательность , такую, что . Так как последовательность ограничена, то существует подпоследовательность сходящаяся к . В силу непрерывности нашей функции . Если предел существует, то он единственный, т.е. .

Таким образом, точная верхняя грань достигается функцией в точке , т.е. в точке функция принимает свое максимальное значение. Теорема доказана.

Теорема. (О нулях непрерывной на отрезке функции). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на интервале имеется, по крайней мере, одна точка , такая, что .

Доказательство. Обозначим отрезок через . Разделим его пополам. Если в середине функция равна нулю, то теорема доказана. Если этого нет, то одна из половинок такая, что на концах функция имеет значения разных знаков. Обозначим именно эту половинку через . Продолжим эту процедуру. Мы либо наткнемся на точку , такую, что , либо получим систему вложенных стремящихся к нулю отрезков. Система таких отрезков по аксиоме непрерывности имеет общую точку . Покажем, что .

Пусть, например, . Но тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции . С другой стороны, для мы можем указать вложенный отрезок , где принимает разные знаки на концах отрезка. Противоречие.