Расчет теплоты и работы политропных процессов.
Кинетической энергией тела называется функция механического состояния, зависящая от массы тела и скорости его движения (энергия механического движения). Кинетическая энергия поступательного движения . Кинетическая энергия вращательного движения При сложном движении твёрдого тела его кинетическая энергия может быть представлена через энергию поступательного и вращательного движения: . Всякое движение твердого тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движения. 57) Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов). Тепловое излучение характеризуется переносом энергии от одного тела к другому электромагнитными волнами. Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент температуропроводности a является физическим параметром вещества. Из уравнения следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. 58) Процесс называют обратимым, если он протекает таким образом, что после окончания процесса он может быть проведен в обратном направлении через все те же промежуточные состояния, что и прямой процесс. После проведения кругового обратимого процесса никаких изменений в среде, окружающей систему, не произойдет. Процесс называется необратимым, если он протекает так, что после его окончания систему нельзя вернуть в начальное состояние через прежние промежуточные состояния. Нельзя осуществить необратимый круговой процесс, чтобы нигде в окружающей среде не осталось никаких изменений. Свойством обратимости обладают только равновесные процессы.Круговым процессом, или циклом, называется такой процесс, в результате которого термодинамическое тело возвращается в исходное состояние. В диаграммах состояния P, V и других круговые процессы изображается в виде замкнутых кривых (рис. 5.1). Это связано с тем, что в любой диаграмме два тождественных состояния (начало и конец кругового процесса) изображаются одной и той же точкой на плоскости. Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расширения (1 – 2) и сжатия (2 – 1) газа. Работа расширения (определяется площадью фигуры 1a2V2V11) положительна (), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2b1V1V22) отрицательна (dV < 0). Следовательно, работа, совершаемая за цикл, определяется площадью, охваченной замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым (рис. 5.1). Если за цикл совершается отрицательная работа (цикл протекает против часовой стрелки), то он называется обратным (рис. 5.2). Принцип действия теплового двигателя приведен на рис. 85. От термостата* с более высокой температурой Т1,называемогонагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q1,а термостату с более низкой температурой Т2, называемомухолодильником, за цикл передается количество теплоты Q2,при этом совершается работа А= Q1 – Q2. Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис. 86. Системой за цикл от термостата с более низкой температурой Т2 отнимается количество теплоты Q2 и отдается термостату с более высокой температурой Т1 количество теплоты Q1.Для кругового процесса, согласно (56.1), Q=A,но, по условию,Q= Q2–Q1< 0, поэтому А<0 и Q2 –Q1= –А,или Q1 = Q2 + A,т. е. количество теплоты Q1,отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре T1 больше количества теплоты Q2, полученного от источника теплоты при более низкой температуреT2, на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому
|
|
|
|
|
|
52.
|
|
|
Расчет теплоты и работы политропных процессов.
Изменение состояния газа, вызываемые подводом или отводом тепла, а также совершением работы и происходящее при постоянстве теплоемкости, называют политропными процессами. Уравнение 1ого закона термодинамики для идеального газа: dq=cvdT+pdv=cdT.
Из уравнения Клапейрона находим dT=d(pv)/R=(pdv+vdp)/R.
Cp=cv+R, _ [(cp-c)/(cv-c)](dv/v)+(dp/p)=0, (cp-c)/(cv-c)=n,_ уравнениеполитропного процесса pvn=const.Постоянную величину n называют показателем политропного процесса._ и Ур-ия Клапейрона pv=RT _
Tvn-1=const; Tnp1-n=const _ T2/T1=(v1/v2)n-1=(p2/p1)(n-1)/n.
Выражение для теплоемкости газа в политропном процессе: c = cv[(n-k)/(n-1)]= cv-R/(n-1), k =cp/cv.
Приращение внутренней энергии и энтальпии в политропных процессах идеальных газов: )u=u2-u1=cv(T2-T1); )i=i2-i1=cp(T2-T1).
Теплота политропного процесса: q=c(T2-T1)=cv(T2-T1)-[R/(n-1)](T2-T1)=)u-[R/(n-1)](T2-T1)=)u+l.
Изменение энтропии газа в политропном процессе :)s=c∫21dT/T=cln(T2/T1).
Удельная работа изменения объема: l =∫21pdv=-[R/(n-1)](T2-T1)=[(p1v1)/(n-1)](1-T2/T1)=[(p1v1)/(n-1)][1-(p2/p1)(n-1)/n].
Удельная техническая работа – работа 1 кг газа в непрерывном потоке
|
|
|
Dlтех=-vdp,связана с работой расширения зависимостью lтех = l+p1v1-p2v2 = l-R(T2-T1)=[n/n-1]R(T1-T2)=nl=[n/n-1]p1v1[1-(p2/p1)(n-1)/n].
Приведенные зависимости для политропных процессов идеального газа позволяют установитьследующие их свойства:)i/)T=const;
Изохорный процесс v=const.Теплоемкость процесса: )u/)T=const; l/)T=const; lтех/)T=const.c=cv=const.
Теплота процесса qv=cv(T2/T1). Показатель процесса: n=(cp-cv)/(cv-cv)=∞.Изменение внутренней энергии )u=cv(T2-T1)=qv.
Изменение энтропии газа)sv=ln(T2/T1);удельная работа изменения объемаdl=pdv=0, l=0;теоретическая работа : l=p1v1-p2v2=v(p1-p2);_p2/p1=T2/T1.
Теплоемкость cv- положительная, то при подводе тепла (dq>0), tÛ, pÛ (dTv>0,dpv>0), sÛ (ds>0).Чем < v, тем левее пойдет изохора, _<s .
Изобарный процесс p=const.
C=cp;qp=cp(T2-T1); )u=cv(T2-T1); )i=cp(T2-T1)=qp; )sp=cpln(T2/T1); l=p(v2-v1)=R(T2-T1);lтех=nl=0; dlтех=-vdp=0; v1/v2=T1/T2.
Изотермический процесс T=const._pv=const_p2/p1=v1/v2 , n=1; ct=∞; )ut=)it=0.
Dq=du+dl=di+dlтех; du=di=0; _dqt=dl=dlтех=pdv=-vdp; qt=l=lтех;)s=∫21dq/T = s2-s1=q/T; l=∫21pdv=pv∫21dv/v=pvln(v2/v1)=lтех=-∫21vdp=pvln(p1/p2)=
=RT ln(v2/v1)=RT ln(p1/p2).
Адиабатный процесс- изменения состояния тела (или системы) без подвода или отвода тепла. Для обратимых процессов, происходящих без трения:dq=0;q=0; ds=0; s=const. Поэтому обратимые адиабатные процессы называют изоэнтропными. Т. к. t¹0, dq=cdt _ cs=0. ns=cp/cv=k; pvk=const;
T2/T1=(v1/v2)k-1=(p2/p1)(k-1)/k;)u=cv(T2-T1); )i=cp(T2-T1); l=[(p1v1)/(k-1)][1-(p2/p1)(k-1)/k]=-)u=cv(T1-T2); lтех=[k/(k-1)]p1v1[1-(p2/p1)(k-1)/k]=--)i=cp(T1-T2)=kl.
53. Адиабатическим называют такой процесс, который происходит без теплообмена системы с окружающей средой. Для осуществления адиабатического процесса следует окружить систему такой оболочкой, которая не пропускает теплоты, но мешает тому, чтобы система выполняла работу или работа выполнялась над системой.
Такую оболочку называют адиабатическим. Примером оболочки, близкой к адиабатической, может быть оболочка из плохого проводника тепла. При адиабатическом процессе система обменивается энергией со средой только в результате работы, при этом она не получает и не отдает теплоты, т.е. AQ = 0. Первый принцип термодинамики для этого случая и бесконечно малых величин имеет вид
dU+bA=0.
где dU - полный дифференциал; 5А - неполный дифференциал. Пусть моль идеального газа находится под поршнем. Закрепив поршень, повысим температуру газа на dT. Поскольку объем газа остается постоянным, то количество теплоты, которая нужна для такого нагрева, равно CvdT. А поскольку при этом не выполняется работа, то оно теплоты равно увеличению внутренней энергии газа dU = CydT.
Если исходное состояние (7 \ V) будет таким же, что и в предыдущем опыте, но поршень не закреплен, а может свободно перемещаться при неизменном внешнем давлении р, то газ выполнять работу 5А = pdV. Поскольку внутренняя энергия газа зависит только от температуры, то она меняется так же, как и в предыдущем случае.
Следовательно, при адиабатическом процессе система выполняет работу за счет внутренней энергии, которая связана с температурой. Изменение внутренней энергии при адиабатическом процессе приводит к изменению температуры системы. При адиабатическом расширении газа, когда увеличивается объем (AF> 0), из формулы (7.11) видно, что температура снижается (AT <0), то есть газ охлаждается. Если AV <0, то AT> 0, т.е. газ нагревается. Кстати, свойство газов охлаждаться при расширении их в адиабатических условиях положен в основу принципа действия холодильников. Следовательно, при адиабатическом процессе температура системы может варьироваться, хотя системе теплота не передается. Отсюда следует, что теплоемкость системы при адиабатическом процессе равна нулю. Однако ноль - это постоянное число, а процесс, при котором теплоемкость остается постоянной, называют политпропним. Поэтому адиабатический процесс является частным случаем политропный процесса, а именно таким политропный процессом, при котором теплоемкость равна нулю.
22. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.
Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.
Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника.
Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно - закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно быть относительным - неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что "расстояния" также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе - за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда непосредственно следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.
Преобразования Лоренца
Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта 
и 
параллельны друг другу, 
— время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы , а 
— время и координаты того же события относительно системы .
Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде [13], когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление:
где 
— фактор Лоренца, 
и 
— радиус-векторы события относительно систем S и S'.
Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить 
) и выбрать это направление в качестве оси 
(то есть так, чтобы система S' двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью 
относительно S вдоль оси ), то преобразования Лоренца примут следующий вид:
где 
— скорость света. При скоростях много меньше скорости света ( 
) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:
Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).
21. Классический принцип относительности. Преобразования Галилея
Принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы. Отсюда следует, что никакими механическими опытами, проводящимися в какой-либо инерциальной системе, нельзя определить, покоится ли данная система или движется равномерно и прямолинейно. Это положение было впервые установлено Г. Галилеем в 1636.
Движение материальной точки относительно: её положение, скорость, вид траектории зависят от того, по отношению к какой системе отсчёта (телу отсчёта) это движение рассматривается. В то же время законы классической механики , т. е. соотношения, которые связывают величины, описывающие движение материальных точек и взаимодействие между ними, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Относительность механического движения и одинаковость законов механики в разных инерциальных системах отсчёта и составляют содержание Г. п. о.
Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, Σ, условимся считать покоящейся; вторая система, Σ', движется по отношению к Σ с постоянной скоростью u так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах Σ и Σ' будут иметь вид:
x' = x - ut, у' = у, z' = z, t' = t (1)
Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:
v' = v - u, (2)
a' = a.
В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона:
F = ma, (3)
где m — масса точки, a F — равнодействующая всех приложенных к ней сил. При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой. Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется..
Г. п. о. справедлив лишь в классической механике, в которой рассматриваются движения со скоростями, много меньшими скорости света. Инерциальная система отсчёта Σ' (с координатными осями x', y', z') движется относительно другой инерциальной системы Σ (с осями х, у, z) в направлении оси х с постоянной скоростью u.
37 Турбулентное течение течение жидкости или газа, характеризующееся беспорядочным, нерегулярным перемещением его объёмов и их интенсивным перемешиванием, но в целом имеющее плавный, регулярный характер. Образование Т. т. связано с неустойчивостью ламинарного течения при больших Рейнольдса числах . При исследовании Т. т. различают пристенные течения и свободные течения.
Следуя Рейнольдсу, мгновенные значения газодинамических переменных в Т. т. разбивают на 2 слагаемых — осреднённую величину и её пульсацию. В этом случае Т. т. определяется, с одной стороны, полем осреднённых газодинамических переменных и, с другой стороны, статистическими параметрами пульсаций — кинетической энергией пульсаций E = 3<(u(?))2>/2 или связанной с ней интенсивностью турбулентности (?) = <(u(?))2>?/, интегральным масштабом турбулентности L, характеризующим размер вихрей, содержащих основную долю энергии Е или, в общем случае, всевозможными моментами пульсирующих величин, являющихся осреднёнными значениями их произведений и т. д. — и относящихся к всевозможным точкам пространства и моментам времени, или функциям плотности вероятности — Р(u1), Р(u1, u2) и т. д. Параметры пульсаций могут меняться в широких пределах. Например, в рабочих частях аэродинамических труб в зависимости от их типа (?) = 0,01—2%; на оси длинных трубопроводов (?) = 4—5%, L = (0,03—0,04)d (d — диаметр трубы); в трактах ВРД значения в могут достигать 10—20%, а L — (0,1—0,3)d.
В свободных Т. т. для струйных автомодельных движений наблюдаются одинаковые распределения средней скорости и статистических параметров турбулентности поперёк потока, которые практически не зависят от (?). Для Т. т. около стенки, параллельной направлению потока, также существуют универсальные распределения параметров, определяющиеся напряжением трения на стенке и значением (?) («универсальный закон стенки», Л. Прандтль, 1932). При этом непосредственно вблизи стенки, где молекулярные напряжения много больше напряжений Рейнольдса, имеет место линейная зависимость скорости потока от расстояния до стенки, а в пристеночной области в каналах и в свободных течениях, где преобладают турбулентные напряжения, наблюдается логарифмическая зависимость (логарифмический пограничный слой). Распределение максимальной и текущей скоростей в канале в ядре потока также носит универсальный характер («закон дефекта скорости», Т. Карман, 1930). Аналогичное распределение наблюдается и во внешней части пограничного слоя, однако в отличие от канала, где логарифмический профиль существует почти до его центра, во внешней части пограничного слоя главным образом из-за явления перемежаемости имеет место отклонение от универсального закона стенки, пропорциональное распределению скорости для турбулентного следа — «закон следа» (Д. Коулс, 1956).
38 Молекулярная физика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяют два качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.
Молекулярная физика — раздел физики, изучающий строение и свойства вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.
Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокупного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода. Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т. д.). Например, температура тела определяется скоростью хаотического движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения молекул. Нельзя говорить о температуре одной молекулы. Таким образом, макроскопические характеристики тел имеют физический смысл лишь в случае большого числа молекул.
Термодинамика — раздел физики, изучающий общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этимтермодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных законах, установленных в результате обобщения опытных данных.
Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод несколько ограничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными методами исследования.
28. Основной закон релятивистской динамики материальной точки.
Масса движущихся релятивистских частиц зависит от их скорости: 
(39.1)
где m0 — масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с — скорость света в вакууме; т — масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v. Следовательно, масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона 
оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.
Основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид 
(39.2)
или 
(39.3),где 
(39.4)— релятивистский импульс материальной точки.
В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняетсязакон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивистское выражение для импульса.
29. Закон взаимосвязи массы и энергии.
Определим Е(кин.) через работу. Чтобы разогнать частицу массы m из состояния покоя до скорости v под действием постоянной силы F,эта сила должна совершить работу
.Поскольку adt=dv, окончательно можно записать 
Вычисление этого интеграла приводит к следующему выражению для Е(кин.)
Эйнштейн интерпретировал первый член в правой части этого выражения 
как полную энергию движущийся частицы, а второй член, как энергию покоя
E(k)=E(полн)-Е0
Чрезвычайно важным выводом релят.-ой мех. был вывод о том, что находящаяся в покое масса m содержит огромный запас энергии. Т.е. массу можно считать «замороженной» энергией. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на Δ m, то при этом должна энергия!
36,Вязкость - свойство жидкостей, обусловленное движением частиц жидкости относительно друг друга, что обуславливает возникновение сопротивления течению жидкости в целом. Вязкость возникает из-за внутреннего трения между молекулами жидкости. Такое трение обуславливает возникновение различия скоростей движения частиц в потоке жидкости.
Обратной величиной вязкости является текучесть. Различные жидкости отличаются по вязкости. Например, вязкость нефти больше, чем вязкость воды.
Вязкость является основным показателем в определении сил, которые преодолевают жидкости при перемещении в трубках и сосудах. Вязкость крови существенно влияет на ток крови в сердечно-сосудистой системе.
Понятие вязкости было предложено Ньютоном. Представим простой эксперимент, показанный на Рис. 1. Между двумя плоскими металлическими пластинами поместили тонкий слой жидкости. Нижняя пластина установлена неподвижно, а верхняя пластина под действием определенной силы перемещается с постоянной скоростью. Эта сила необходима для преодоления вязких свойств жидкости. Она должна иметь большие значения для более вязкой жидкости, чем для менее вязкой жидкости.
Если верхняя пластина перемещается, жидкость приходит в так называемое ламинарное движение. Каждый слой жидкости движется с некоторой скоростью ν. Каждый слой оказывает силовое действие на нижние пластины и испытывает действие равной силы в обратном направлении. В результате, скорости разных слоев жидкости оказываются не одинаковыми. Профиль векторов скоростей разных слоев жидкости показан на Рис. 1. Так формируется градиент скорости dν/dx.
Ньютон доказал, что сила внутреннего трения F пропорциональна площади соприкасающихся слоев жидкости S и градиенту скорости dν/dx:
|
Закон Пуазейля представляет собой формулу для объемной скорости течения жидкости. Он был открыт экспериментально французским физиологом Пуазейлем, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Закон Пуазейля часто называют главным законом гидродинамики.
Закон Пуазейля связывает объемную скорость течения жидкости с разностью давления в начале и конце трубки как движущей силой потока, вязкостью жидкости, радиусом и длиной трубки. Закон Пуазейля используют в случае, если течение жидкости ламинарное. Формула закона Пуазейля:
|
где Q - объемная скорость жидкости (м3/с), (P1 - P2) - различие давления через концы трубки (Па), r - внутренний радиус трубки (м),l - длина трубки (м), η - вязкость жидкости (Па с).
Закон Пуазейля показывает, что величина Q пропорциональна разнице давления P1 - P2 в начале и конце трубки. Если P1равняется P2, поток жидкости прекращается. Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к снижению объемной скорости течения жидкости. Оно также показывает, что объемная скорость жидкости чрезвычайно зависима от радиуса трубки. Это подразумевает, что умеренные изменения радиуса кровеносных сосудов могут обеспечивать большие различия объемной скорости жидкости, протекающей через сосуд.
Формула закона Пуазейля упрощается и становится более универсальной при введении вспомогательной величины -гидродинамического сопротивления R, которое для цилиндрической трубки может быть определено по формуле:
|
Закон Пуазейля, таким образом, показывает, что объемная скорость жидкости прямо пропорциональна разнице давления в начале и конце трубки и обратно пропорциональна гидродинамическому сопротивлению:
|
36 )Для анализа течения вязкой жидкости в гидро динамике используется уравнение Навье-Стокса:
где 
— оператор Гамильтона, Δ — оператор Лапласа, — вектор скорости, t — время, ν — коэффициент кинематической вязкости, ρ — плотность, P — давление, — вектор плотности массовых сил. Уравнение Навье-Стокса является основным при расчете движения вязкой несжимаемой жидкости. Однако в общем случае оно не решается методами современной математики, и на практике приходится ограничиваться решением лишь частных задач. Одной из таких задач является течение невязкой несжимаемой жидкости, подчиняющееся уравнению Бернулли. Ранее мы получили условие, при котором сжимаемостью жидкости или газа можно пренебречь. Теперь мы выясним, в каких случаях можно пренебречь действием сил вязкости.
Течение вязкой жидкости по трубам в зависимости от ряда условий может быть ламинарным (или слоистым) и турбулентным (или вихревым). В случае ламинарного течения все молекулы жидкости движутся параллельно оси трубы и, находясь на одинаковом расстоянии от осевого центра трубы, имеют равные скорости
Для турбулентного движения характерно наличие нормальной (перпендикулярной направлению течения жидкости) составляющей скорости движения молекул и резкий спад скорости течения при приближении к границам. Траектория движения молекул представляет собой сложную кривую линию.
Характер течения можно установить, пользуясь безразмерной величиной - числом Рейнольдса:
Re = ρ·vср·r/μ,
где ρ - плотность жидкости;
vср - средняя (по сечению трубы) скорость потока; μ - коэффициент вязкости жидкости; r - характерный геометрический размер, в частности, радиус сечения цилиндрической трубы
Число Рейнольдса характеризующет отношение сил инерции и сил вязкости. Таким образом, текущую жидкость можно рассматривать как невязкую, если число Рейнольдса для такого течения Re>1. Однако и в этом случае вязкость играет вспомогательную роль. При не очень высоких скоростях течения силы вязкости "гасят" компоненты скорости жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым, возникновению неустойчивого течения (см. ниже).
Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе радиуса R. Число Рейнольдса в этом случае Re = ρ·vср·R/μ. Если принять радиус трубыR = 1 см и скорость течения v = 1 см/с, то для воды (ρ=103 кг/м3, при t > = 15) число Re=86. Это означает, что силы вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую жидкость. Однако это приближение становится несправедливым, если радиус трубки уменьшить на два порядка, иRe=0,86 < 1. При таком течении распределение давлений и скоростей в потоке уже не подчиняется уравнению Бернулли. Еще в большей степени это относится к вязкому глицерину (ρ=1,4 кг/(м·с)). При течении воздуха по трубе (ρ=1,3 кг/м3, ρ=1,8·10-5 кг/(м*с)) число Рейнольдса приблизительно на порядок меньше, чем при аналогичном течении воды. Это указывает на то, что силы вязкости при течении воздуха и других газов играют большую роль, чем при аналогичном течении воды.
33. 1) Ламинарное течение жидкости наблюдается при небольших скоростях ее движения. Внешний слой жидкости, примыкающий к поверхности трубы, к которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние по поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оч. трубы.
2) Трубка тока - трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением. Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой.
3) Классический вид уравнения непрерывности выглядит так:
∂ρ/∂t + div (ρv) = 0 ( 2 ) или
div (ρv) = − ∂ρ/∂t , . ( 3 )
где объемная плотность жидкости (текучей среды) ρ определяется уравнением (1), а v − скорость потока среды.
Анализ размерностей уравнения (3) показывает, что в обеих частях уравнения размерность объемной плотности ρ одинакова, ибо применение дивергенции равносильно внесению размерности длины в минус первой степени в формулу размерности. Поэтому установить размерность ρ по уравнению (2) нет возможности. Следовательно, в общем случае невозможно понять, что скрывается под величиной Q в обобщенном уравнении (1) для объемной плотности среды.
34. 1) Закон (уравнение) Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Pv^2/2 + Pgh + p = const, где
P — плотность жидкости,
v — скорость потока,
h — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
p — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
g — ускорение свободного падения.
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической ипотенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии
2) В закрытых системах отопления общее давление состоит из двух частей:
· статического давления,
· динамического давления.
Динамическое давление соответствует той части общего давления, которая возникает вследствие скорости движения теплоносителя в трубах.
Для расчета динамического давления используется следующая формула:
pd = 0,5 × ρ × v²
где
ρ (ро) = плотность среды,
v = средняя скорость в трубе.
Динамическое давление используется для расчета потери давления в трубопроводных системах.
29) Поскольку масса тела растет со скоростью, следовательно, можно предполагать связь массы с кинетической энергией. Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы.
Известно, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:
dT = dA или dT = F·dr. (6)
Учитывая, что dr = Vdt, и подставив в (6) выражение (2), получим
dT = (d/dt)( m0VЇ/v1 - V2/C2) Vdt = ЇVd(m0VЇ/v1 - V2/C2).
Преобразовав данное выражение, получим
dT = d(m0 C2 /v1 - V2/C2) = C2dm, (7)
т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.
Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m0, то, проинтегрировав (7), получим
T = (m - m0 )C2, (8)
Или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид
T = m0C2[1/(v1 - V2/C2) -1]. (9)
А. Эйнштейн обобщил положение (7), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии частицы,
ДЕ = С2Дm, (10)
т.е. если инертная масса увеличивается на некоторую величину Дm, то это означает увеличение энергии на С2Дm, и, наоборот, увеличение энергии на ДЕ какого-либо физического объекта означает увеличение его инертной массы на ДЕ/С2.
Отсюда Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой m:
Е = mC2 = m0C2/(v1 - V2/C2). (11)
Уравнения (10) и (11) выражают фундаментальный закон природы - закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.
Величину m0C2 = Е0 называют энергией покоящегося тела. Тогда равенство (9) можно представить так:
Е = Е0 + Т, (12)
т.е. полная энергия равна сумме кинетической энергии Т и энергии покоя Е0. В полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле. В классической механике энергия покоя не учитывается, считают, что при V=0 энергия покоящегося тела равна нулю.
Выражение (9) при скоростях V<<С переходит в классическое:T = m0V2/2. Отметим, что уравнение (11) имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем видам энергии, например кинетической, потенциальной, электромагнитной и др., т.е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса
m = Е/С2(13)
и, наоборот, со всякой массой связана энергия. Еще в 1905 г. Эйнштейн на простом примере показал, что количество энергии электромагнитного излучения Е обладает инертной массой Е/С2. Иногда это называют эквивалентностью массы и энергии.
Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного чдра как системы протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро - на протоны и нейтроны). Энергия связи системы
Есв = ?m0iC2 - M0C2, (14)
где m0i - масса покоя I -й частицы в свободном состоянии, M0 - масса покоя системы, состоящей из n частиц.
закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц. Особенно показательно в этом отношении явление «аннигиляции» частиц (или «рождения» пары частиц), когда две частицы одинаковой массы, но с противоположными зарядами (например, электрон и позитрон) сталкиваются и их масса «превращается» в энергию электромагнитного излучения. Или лучше сказать так: в соответствии с законом сохранения энергии взаимодействующих частиц энергия перешла в такое количество энергии электромагнитного излучения, которое имеет массу, равную массе сталкивающихся частиц. Опыты атомной и ядерной физики не только подтвердили выводы теории относительности, но многие из них были поставлены на основе выводов этой теории.
Вернемся еще к энергии покоя Е0, о которой дорелятивистская физика не имела представления. Нагретое тело должно иметь большую массу, чем то же тело, но холодное; сжатая пружина имеет большую массу; вещества, химически прореагировавшие с выделением энергии, будут иметь меньшую массу, и т.п. Но практически такие изменения массы никогда не наблюдались вследствие очень малых относительных изменений массы - величина ДЕ/С2 (где ДЕ - приращение энергии) обычно ничтожно мала относительно массы m тел. Точность измерений недостаточна для определения таких изменений.
30.Законы сохранения релятивистской массы, энергии, импульса.
Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону
где m0 - масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной закон динамики Ньютона
оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса: 
или
где
Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие v << c. Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая v << c. Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.
Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и энергии – установил А. Эйнштейн:
следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся m0) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя
Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.
В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:
(5.13)
Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.
Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.
Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:
В релятивистской динамике значение кинетической энергии Ek определяется как разность энергий движущегося E и покоящегося E0 тела:
При v << c уравнение (5.15) переходит в классическое выражение
Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:
(5.15)
Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 3187; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!