Лопиталь ережесі. Функцияны зерттеу

Дәріс. Дифференциалдау теориясы және оның кейбір қолданулары. Элементар функцияларды дифференциалдау. Туынды, туындысы бар болатын функцияның үзіліссіздігі. Дифференциалдау ережелері. Функция туындысы және дифференциалы. Күрделі, кері және параметрлік түрде, айқындалмаған түрде берілген функцияларды дифференциалдау. Локальды экстремум. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері. Функцияны туындының көмегімен зерттеу. Функцияның экстремумдары. Дөңес функциялар. Асимптоталар. Ойыс-дөңестік. Функцияны туындының көмегімен толық зерттеп, графигін тұрғызу. Функцияның туындысы маңайында, нүктесін қоса алғанда, функциясы берілсін. нүктесінде аргументіне өсімшесін береміз. (оң немесе теріс). Онда . Анықтама 1. Егер шегі табылса, онда оны нүктесіндегі функциясының туындысы деп айтамыз, немесе функциясы нүктесінде дифференциалданады деп айтамыз және былай белгілейміз: яғни, (1) Егер (1)-де және болса, онда (1)-ді нүктесіндегі оң жақ туындысы [ сол жақ туындысы] деп атаймыз. Егер және , онда . Анықтама 2. функциясын кесіндісінде дифференциалданады деп айтамыз, егер оның аралығындағы әрбір нүктеде туындысы бар болса, ал және ұштарында сәйкесінше және табылса. облысында дифференциалданатын функциялардың класын деп белгілейміз. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы а) Механикалық. - нүктесінің қозғалу заңы болсын. нүктесінің -дан -ға дейінгі аралығындағы қозғалысын қарастыралық. Онда ал - орташа жылдамдық. Егер , шегі табылса, онда жолдың уақыт бойынша туындысы нүктесінің уақыт аралығындағы қозғалысының жылдамдығына тең. 12-сурет б) Геометриялық. қисығында және нүктелерін қарастыралық. және екендігі анық. нүктесін қисықтың бойымен нүктесіне қарай жылжытамыз. нүктесінің орналасу аралығын белгілей отырып, қимасын аламыз. Онда болған жағдайда болатыны анық. Анықтама 3. нүктесі қисықтың бойымен нүктесіне кез келген жағынан шексіз жақындағанда қимасының шектелген орны табылса, онда қисығына нүктесінде жүргізілген жанама деп аталады. Егер қисықтың жанамасы бар болса, онда . Бұдан, нүктесінде дифференциалданатын функцияның осы нүктеде бұрыштық коэффициенті болатын жанамасы бар болады. Мысал 1. функциясының нүктесіндегі жанамасының теңдеуін жаз. а) . болғандықтан, жанаманың теңдеуі . -ті табалық: б) . болғандықтан, және жанаманың теңдеуі . в) 13-сурет 14-сурет Оң жақ жанамасы болады, яғни , ал сол жағынан жанамасы , яғни . Бұдан, нүктесінде берілген функцияның туындысы табылмайды, бұл функция нүктесінде үзіліссіз болғанның өзінде. болатын нүктелер бұрыштық деп аталады.

Теоремалар.

1. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функция осы нүктеде үзіліссіз.

Шынымен де, мұндағы , егер . Бұдан,

, егер .

2. Күрделі функциялардың туындылары.Егер функциясы нүктесінде диф-ференциалданатын, ал функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функциясы нүктесінде дифференциалданады және

, немесе

3. Кері функцияның туындысы.Егер функциясы үшін нүктесінде туындысы бар және ол нөлден өзгеше болатындай кері функциясы табылса, онда

4. және табылсын, ал - const. Онда

1. а)

. Шынында да, 2.

. б)

3. в)

. г)

Туындының кестесі

- айнымалысына тәуелді функциялар, ал - тұрақты сандар болсын. Онда

3-формуланың дәлелдеуін келтірелік.

Мысал 2. Берілген функциялардың туындыларын тап:

а) . 2-ші формуладан .

б) . . 2-ші формуладан .

в) . . 2-ші формуладан .

г) . 11-ші формуладан .

айқын емес функциясын дифференциалдау

Берілген функцияның туындысын табу үшін -тің айнымалысына тәуелді функция екенін ескере отырып, теңдіктің екі жағын да дифференциалдаймыз.

Мысал 3. функциясының туындысын тап.

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

айнымалысына тәуелді функциясы параметрлік түрде берілсін

функциясының кері функциясы бар болып, және функциялары дифференциалданатын функциялар, сонымен қатар, болсын. Онда .

Мысал 4. тап.

Функцияның дифференциалы

болсын. Онда мұндағы , егер . Бұдан .

болсын. Онда теңдіктерден төмендегі теңдікті аламыз:

немесе

болсын. Онда

- бірінші дифферен-циалдың формасының инварианттылық қасиеті. 5.

болса.

теңдігі орынды болғандық- тан, жуықтап есептеуде

деп алуға болады, немесе

(5)

Мысал 5. есепте.

функциясын қарастыралық және деп алайық. ретінде санын аламыз. Онда .

. Онда (5)-тен .

Туынды және жоғарғы дифференциалдар

болсын. Егер болса, онда функциясының екінші ретті туындысы деп аталады және былай белгіленеді: . Яғни

немесе

Анықтама 5. функциясының -ші ретті туындысы деп -ші ретті туындыдан алынған туындыны айтамыз, яғни,

Мысал 6.

болсын. Онда функциясының екінші ретті диф-ференциалы деп аталады. Бұдан

Анықтама 6. функциясының -ші ретті дифференциалы деп -ші ретті дифференциалды тағы бір рет дифференциалдауды айтамыз және

(6)

(6)-дан

(7)

шығады. (6) және (7) теңдіктер айнымалысы тәуелсіз айнымалы болған жағдайда ғана ақиқат.

болсын. Онда .

яғни, дифференциалдың формасының инварианттылығы сақталмайды.

Лопиталь ережесі. Функцияны зерттеу

Анықтама. Егер деген сан табылып, нүктенiң маңайындағы барлық үшiн мына теңсiздiк орындалса

онда нүктесi функцияның төңiректiк максимум (минимум) нүктесi деп аталады, Функцияның төңiректiк максимумы немесе минимумы функцияның төңiректiк экстремумы деп аталады.

Мысалы 57-суреттегi - төңiректiк минимум нүктелерi, ал - төңiрек-тiк максимум нүктелерi, ал және - бiржақты төңiректiк экстремум нүкте-лерi.

1. Ферма теоремасы. интервалында анықталған функция-ның нүктеде төңiректiк экстремум болсын. Егер бұл функцияның нүктеде шенелген туындысы бар болса, онда болады.

2. Ролль теоремасы. функциясы 1) кесiндiсiнде үзiлiссiз; 2) интервалдың әрбiр нүктесiнде дифференциалданатын; 3) болса, онда интервалынан болатын ең кем дегенде бiр нүктесi табылады.

3. Коши теоремасы. және функциялары 1) кесiндiсiнде үзiлiссiз; 2) интервалдың әрбiр нүктесiнде туындылары бар; 3) интервалдың барлық нүктелерiнде болса, онда нүктесi табылып

теңдiк орындалады.

4. Лагранж теоремасы.(Орта мән туралы теорема). функциясы кесiндiсiнде үзiлiссiз және интервалдың әрбiр нүктесiнде туын-дысы болса, онда осы интервалдан ең кемiнде бiр нүктесi табылып, мына теңдiк орындалады

Лопиталь ережесi

түрiндегi анықталмағандықтарды есептеуге Лопиталь ережесi жиi қолданылады.

1-теорема. және функциялары нүктенiң кейбiр аймағында, мүм-кiн нүктеден басқа барлық нүктелерiнде, үзiлiссiз және олардың туынды-лары бар болсын. Осы көрсетiлген аймақта және болып,

теңдiктерi орындалсын, Егер бар болса, онда бар болады және мына теңдiк орындалады

Мысал.

2-теорема. және функциялары кейбiр аймағында үзiлiссiз және туындылары бар болсын және

Осы аймақта және нөлге тең болмасын, яғни Егер бар болса, онда бар болады және мына теңдiк орында-лады

Дифференциалданатын функциялардың тұрақтылығы,өсуі және кемуі

1-теорема. (функцияның тұрақтылығының критериi) функциясы

1) берілген кейбір ақырлы немесе ақырсыз аралықта анықталсын;

2) осы аралықтың барлық ішкі нүктелерiндегi туындысы нөл болсын;

3) осы аралықтың соңғы нүктелерiнде үзіліссіз болсын.

Онда функциясы осы аралықта тұрақты.

2-теорема. (Функцияның өсуiнiң критериi).

кесіндіде функциясы үзілiссiз және аралығында туындылары теріс емес (оң) болсын, онда функция бұл кесiндiде кемімейді (өседi).

3-теорема.(Функцияның кемуiнiң критериi).

Егер кесiндiде функциясы үзілiссiз және -да болса, онда функциясы кесiндiде өспейді (кемидi).

Анықтама. Егер оң саны табылып, функцияның өсімшесі мына теңсiздiкті (немесе ) қанағаттандырса, онда функцияның төңiректiк максимум (минимум) нүктесі дейді.

Төңiректiк максимум және минимум нүктелері төңiректiк экстремум нүктелері деп аталынады.

1. Экстремумның қажетті шарты.

Егер нүктесі функцияның төңiректiк экстремум нүктесі болса, онда Ферма теоремасы бойынша оның осы нүктедегі туындысы нөлге тең, яғни Функцияның туындысы нөл болатын нүктелерді стационар нүктелер деп атайды.

2. Төңiректiк экстремумның жеткілікті критерилерi.

1-теорема. нүктесі функцияның стационар нүктесi болсын (яғни ) және функцияның нүктенiң кейбір маңайында үзiлiссiз екінші ретті туындысы болсын

1) егер болса, онда нүктесі төңiректiк максимум нүктесi болады;

2) егер болса, онда нүктесі төңiректiк минимум нүктесi болады.

Мысал. функцияның төңiректiң экстремум нүктесiн табу

керек.

3. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері

кесiндiде үзiлiссiз функцияның максимум (минимум) болатын нүктелерін табу керек. Бұл функция нүктеде өзiнiң максимумына (минимумына) мына үш жағдайда ғана жетеді:

1) 2) 3)

Егер болса, онда төңiректiк экстремум нүктесi болады, оны стационар нүктелердiң ішінен немесе туындысы болмайтын нүктелердің ішінен іздеу керек. Бұл нүктелер ақырлы жиын құрсын, онда

[pr] Мысал. функцияның кесiндiдегi ең үлкен және ең кiшi мәндерiн табу керек.

Шешімі.

Егер нүктеде кесiндiде жатады, ал қалған нүктелер бұл кесiндiде жатпайды. Сонымен

Функцияның дөңестігі және ойыстығы. Иілу нүктелері.

1-анықтама. нүктеде қисықты дөңес (ойыс) дейміз, егер нүктенiң қайсiбiр төңiрегі табылып, осы төңiректiң барлық нүктелерiнде нүктеден қисыққа жүргізілген жанама осы қисықтан жоғары (төмен) орналасқан болса.

2-анықтама. нүктесi қисықтың иілу нүктесі деп аталады, егер арқылы өткенде қисықтың нүктелері нүкте-сiнде жүргізілген жанаманың бір жағынан екінші жағына өтсе.

1-теорема. (Функцияның дөңестiгiнiң критериi).

Егер функцияның нүктедегiекінші ретті үзiлiссiзтуындысы болса және болса, онда бұл қисық нүктеде ойыс(дөңес) болады.

Салдар. Егер    нүктесi қисықтың иілу нүктесi болса және нүктеде функцияның екінші ретті туындысы болса, онда ол туынды нөлге тең, яғни

2-теорема. Егер функцияның нүктедегі үшінші ретті туындысы үзiлiссiз болса, ал және болмаса, онда нүктесі функциясының иілу нүктесі болады.

Функцияның графигiнiң асимптоталары

Кейбiр жағдайда функцияның графигi, және ұмтылған-да немесе екiншi типтi үзiлiс нүктелердiң маңында, қайсiбiр түзуге ақырсыз жақындай түседi. Осындай түзулердi қисықтың асимптоталары деп атайды.

Асимптоталардың үш түрi болады: тiк асимптота, горизонталь асимп-тота және көлбеу асимптота.

1-анықтама. Егер ұмтылғанда функцияның бiржақты шектерiнiң кем дегенде бiреуi шексiздiкке ұмтылса, яғни   болса, онда түзуi қисығының тiк асимптотасы деп аталады.

2-анықтама. Егер немесе ұмтылғанда функцияның ақырлы шегi бар болса, яғни

болса, онда түзуiн функциясының горизонталь асимптотасы деп атайды.

3-анықтама. Егерде функциясын мына түрде жазуға болатын болса

онда ұмтылғанда түзуi функцияның көлбеу асимптотасы деп аталады.

Теорема. ұмтылғанда түзуi функциясының графигiнiң көлбеу асимптотасы болу үшiн, мына шектердiң болуы қажеттi және жеткiлiктi

Қажеттiлiгi. ұмтылғанда түзуi функциясының көлбеу асимптотасы болсын, онда теңдiк орындалады, содан

Жеткiлiктiлiгi. шектер бар болсын. Онда шектердiң қасиеттерi бойынша мына шектен осыдан яғни 3-анықтама бойынша түзуi функциясының көлбеу асимптотасы.

[pr] Мысал. қисықтың асимптоталарын табу керек.

Шешiмi. 1) Қисықтың горизонталь асимптотасы жоқ, себебi

2) нүктесi қисықтың екiншi тектi үзiлiс нүктесi, яғни

Демек нүктесi қисықтың тiк асимпто-

тасы болады.

3) Ендi функцияның көлбеу асимптотасын формулалар арқылы iздеймiз.

Сонымен түзуi берiлген қисықтың көлбеу асимптотасы.

Функцияның графигiн салудың жалпы жобасы

Ендi функциясын зерттеп графигiн тұрғызудың жолын көрсетейiк. Берiлген функцияны келесi ретпен зерттеу керек:

1) функцияның анықталу облысын табу керек;

2) функцияның координат өстерiмен қиылысу нүктелерiн табу керек;

3) функцияның тақтылығын, жұптылығын және периодтылығын анықтау керек;

4) функцияны бiрсарындылыққа және экстремумдыққа зерттеу керек;

5) функцияның дөңес, ойыс аралықтарын және иiлу нүктелерiн табу керек;

6) функцияның асимптоталарын табу керек;

7) осы мәлiметтердiң кестесiн құру керек;

8) алынған мәлiметтер арқылы функцияның графигiн тұрғызу керек.

Бақылау сұрақтары

[q][+] :1 Егер – иілу нүктесі болса,онда

[a]    [a]   [a]   [a] [a]

[q][+]:2 функцияның аралығындағы ең үлкен мәнін табу керек

[a] 0 [a] 8 [a]16 [a] 2 [a] 1,5

[q][+] :3 Лопитальережесібойыншатабыңыз

[a] 0 [a] 1 [a]    [a]– [a]

[q][+] 2:1:Функцияныңэкстремумнүктелерінтабыныз

[a]   [a]   [a]   [a] [a]

[q]1:1: Егер болса, функциясыбұларалықта

[a]өспелі

[a]кемімелі

[a]тұрақты

[a]нөлгетең

[a]үзілістіболады

[q]1:1: Егер болса, онда функциясы бұл аралықта

[a]үзілісті

[a]кемімелі

[a]тұрақты

[a]нөлгетең

[a]өспелі

[q]1:1: Функциясының функциясының нүктесінделокальдімаксимумыбарболады ,егер

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]дұрысжауабыжоқ

[q]1:1: Функциясының функциясының нүктесінделокальдіминимумыбарболады ,егер

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]дұрысжауапжоқ

[q]1:1: Егер иілунүктесіболса,онда

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

[q]2:1: қисығына нүктесіндежүргізілгенжанаманыңтеңдеуі

[a]

[a] ]

[a]

[a]

[a]

[q]2:1: қисығына нүутесіндежүргізілгеннормальдыңтеңдеуі

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]

[q]1:1: функция дифференциалымынағантең

[a]

[a]

[a]

[a]

[a]дұрысжауапжоқ

Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 2779; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!