Применение теории массового обслуживания к решению эксплуатационных задач



Прогрессивная организация технического сервиса основана на создании такой службы, в которой одна часть исполнителей выполняет плановые работы, а другая — оперативное обслуживание, т. е. быстро устраняет отказы электрооборудования. Процесс обслуживания оперативной службой состоит в следующем. Электрохозяйство сельскохозяйственного предприятия имеет определенное количество электрооборудования, которое учитывают числом условных электроустановок [1]. Отдельные электроустановки время от времени выходят из строя и оперативная служба обслуживает их, восстанавливая или заменяя.

Каждый отказ происходит в случайный момент времени. Количество отказов за сутки и за год — тоже случайная величина. Это затрудняет правильный выбор числа исполнителей оперативной бригады. Если выбрать по наибольшему количеству отказов, то в отдельные периоды, когда отказов мало, исполнители будут простаивать. Если выбрать по наименьшему количеству отказов, то исполнители не всегда будут успевать устранять отказы. Расчет по среднему количеству отказов также не гарантирует полную занятость исполнителей и полное устранение отказов. Успешное решение такой задачи дают методы ТМО.

Предположим, что парк электрооборудования сельскохозяйственного предприятия состоит из  условных электроустановок. Они создают поток отказов с интенсивностью . Оперативная служба устраняет эти отказы с интенсивностью . Промежутки времени между отказами, а также продолжительности восстановления распределены по показательному закону. Этими исходными данными описывают простейшую СМО. Требуется определить количество каналов обслуживания — электромонтеров, обеспечивающих наибольшую эффективность оперативного обслуживания.

В данном случае эффективность следует оценить экономическим критерием. Необходимо создать такую службу, чтобы затраты, связанные с простоем производственных процессов и содержанием оперативной службы, были бы наименьшими. Производительность устранения отказов зависит от числа исполнителей в оперативной службе. Если исполнителей много, то отказы устраняют быстро и просто. При этом ущерб производственных процессов не велик, но на оплату труда этих исполнителей придется выделить большие средства, и они могут быть загружены не полностью. Если же электромонтеров мало, то простои из-за отказов увеличиваются и возрастает ущерб производству, хотя затраты на оперативную службу снижаются.

Такое изменение экономического критерия системы оперативного обслуживания электроустановок или другой техники описывают следующим уравнением:

,                                (6.12)

где  — среднее число простаиваемых из-за отказа электроустановок (обслуживаемых и ожидающих обслуживания);  — потери в единицу времени от простоя одной условной электроустановки;  — число электромонтеров оперативной службы;  — заработная плата одного электромонтера в единицу времени.

 

Среднее число простаиваемых электроустановок численно равно длине очереди системы, его определяют суммированием произведений состояний  на их вероятности . По уравнениям (6.8) находим

.                                (6.13)

Сопоставляя (6.8), (6.12) и (6.13), находим, что суммарные затраты зависят не только от числа электромонтеров, но и от нагрузки системы массового обслуживания , количества электроустановок  и удельных стоимостных показателей  и . Для использования выражения (6.12) в практических расчетах используют табличные данные основных характеристик оперативного обслуживания, приведенных в таблице 6.1 [1].

 

Таблица 6.1 - Характеристики службы оперативного обслуживания при М= 600 у.е.

тг/ч

, тг/ч

, тг/ч

1 0,060 12,50 0,94 3,0 12,5 37,5 15,5 40,5
2 0,352 1,24 0,48 6,0 1,2 3,7 7,2 9,7
3 0,379 0,99 0,32 9,0 0,9 2,9 9,9 11,9
4 0,383 0,96 0,24 12,0 0,9 2,8 12,9 14,9

1 0,091 5,22 0,83 3,0 5,2 15,6 8,2 18,6
2 0,171 2,05 0,56 6,0 2,0 6,0 8,0 12,0
3 0,184 1,75 0,42 9,0 1,7 5,1 10,7 14,1
4 0,196 1,00 0,30 12,0 1,0 3,0 13,0 15,0

 

Кроме абсолютных показателей системы ( ) в таблице 6.1 приведены затраты на заработную плату  и на покрытие ущерба от простоев  для частного случая  тг/ч,  тг/ч. Минимальное значение суммарных затрат соответствует оптимальной численности электромонтеров оперативной службы.

Анализ общих характеристик (6.12), (6.13), данных таблицы 6.1 и рисунка 6.3, построенного по данным таблицы 6.1, позволяет сделать выводы о тех построения службы сервиса. Зависимость суммарных затрат от числа исполнителей имеет ярко выраженный минимум, который определяет оптимальное количество электромонтеров.

Отступление от этого числа в меньшую сторону сильнее увеличивает суммарные затраты, чем в большую. С ростом удельного ущерба от простоя техники оптимум смещается в сторону большего числа исполнителей, а абсолютный минимум суммарных затрат возрастает.

С ростом коэффициента нагрузки СМО  кривая зависимости суммарных затрат становится более пологой, т.е. отступления от оптимального числа исполнителей увеличивают эти затраты в меньшей степени.

Рис. 6.3. Характеристики оперативного обслуживания

 

 

Оптимальное число электромонтеров оперативной службы обеспечивают, как правило, при относительно небольшой их занятости (20...50%). Поэтому для повышения загрузки следует совмещать выполнение плановых и оперативных работ этими электромонтерами.

Другие эксплуатационные задачи рассмотрим на примерах их решения.

Задача 1. На вход одноканальной СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Время обслуживания имеет показательное распределение с параметром . В начальный момент времени  канал свободен. Построить размеченный граф состояний СМО. Написать и решить дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний СМО. Найти финальные вероятности состояний и (для установившегося режима) характеристики эффективности СМО:

Решение. Состояния СМО:  — свободна;  — канал занят. Граф состояний СМО показан на рисунке 6.4.

 

Рис. 6.4. Граф состояний СМО к задаче 1

 

 

Уравнения Колмогорова:

 .                                      (6.14)

Так как  для любого , можно выразить  через  ( ) и получить одно уравнение для :

.                                     (6.15)

Решая это уравнение, получаем  как функцию :

.

Отсюда

.

При  финальные вероятности

 ,                                             (6.16)

которые можно было бы найти и гораздо проще, решая линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний:

.

Формулы (6.16) можно записать компактнее, если ввести обозначение :

 .

Характеристики эффективности СМО:

.     (6.17)

Задача 2. Одноканальная СМО с отказами представляет собой группу дежурного обслуживания, в которой дежурит один электромонтер, на вход которой поступает простейший поток вызовов с интенсивностью . Средняя продолжительность устранения неисправности  мин; время устранения имеет показательное распределение. Необходимо найти финальные вероятности состояний СМО:  и  а также

 — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени (абсолютную пропускную способность);

 — вероятность обслуживания поступившей заявки (относительную пропускную способность);

 — вероятность отказа, т. е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена;

 — среднее число занятых каналов.

Сравнить пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы устранение неисправности длилось точно 45 мин, а заявки шли одна за другой регулярно без перерывов.

Решение. ; .

По формулам (6.16)

.

Таким образом, электромонтер в среднем будет обслуживать  поступающих к нему заявок, т. е. 0,4 вызова в час или 3 вызова в смену. Номинальная пропускная способность канала была бы (при регулярно приходящих и регулярно обслуживаемых заявках  заявки в час, что в три раза больше, чем действительная пропускная способность .

Задача 3. Имеется одноканальная СМО с отказами. Поток заявок — простейший с интенсивностью . Время обслуживания — не случайная величина и точно равно . Найти относительную и абсолютную пропускную способность СМО в предельном стационарном режиме.

Решение. Рассмотрим на оси 0t простейший поток заявок с интенсивностью  (рис. 6.5). Будем отмечать кружками все заявки, которые приняты к обслуживанию. Пусть какая-то заявка, пришедшая в момент  принята к обслуживанию. Тогда все заявки, пришедшие после нее за время , получат отказ; следующей будет принята к обслуживанию заявка, пришедшая в момент  такой, что . Рассмотрим интервал  между концом обслуживания первой заявки и моментом  прихода ближайшей следующей, которая будет принята к обслуживанию. Из-за отсутствия последействия в простейшем потоке распределение интервала такое же, как и интервала между заявками, т. е. показательное с параметром . Средняя длина интервала  равна .

 

Рис. 6.5. Простейший поток заявок с интенсивностью

 

 

Итак, на оси  будут чередоваться неслучайные интервалы занятости канала длины  и случайные свободные интервалы со средней длиной . На первые попадает доля всех заявок, равная

 ,

а на вторые — доля, равная

,   .

Эта величина и есть относительная пропускная способность СМО:

,                                            (6.18)

Откуда

.                               (6.19)

Отметим, что формулы (6.18), (6.19) совпадают с формулами (6.16), соответствующими показательному распределению времени обслуживания. Это естественно, так как формулы Эрланга остаются справедливыми при любом распределении времени обслуживания со средним значением, равным .

Задача 4. В сельском поселке имеется группа дежурных электромонтеров, которые дежурят по сменам. Такую СМО можно представить как одноканальную с неограниченной очередью. В СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью  заявки/ч. Время обслуживания в СМО представляет собой показательное распределение со средним значением  мин. Необходимо найти финальные вероятности состояний СМО, среднее число заявок, связанных со СМО,— , среднее число заявок в очереди — , среднее время пребывания заявки в СМО — , среднее время пребывания заявки в очереди —

Решение.  заявки/ч;  ч;

;

 заявки;

заявки;  ч;

мин.

Задача 5. Условия предыдущей задачи усложняются тем, что электромонтер обслуживает за один вызов не более трех заявок (включая обслуживаемую). Если заявка прибывает в момент, когда электромонтер уже получил 3 заявки, то она вынуждена ожидать своей очереди. Один час простоя электрооборудования приносит хозяйству ущерб в размере  тенге. Определить суточный ущерб, который понесет хозяйство при ожидании момента устранения неисправности.

Решение. Вычислим среднее число заявок , находящихся в ожидании:

;

;

.

По формуле Литта среднее время, проводимое одной заявкой в ожидании,  ч. За сутки (24 ч) в группу дежурного обслуживания приходит в среднем  заявок. Средний суточный ущерб составляет

.

Задача 6. На складе электротехнической службы хозяйства имеется два электродвигателя одного типоразмера ( ); выйти из строя могут одновременно не более четырех ( ) электродвигателей этого же типоразмера. Поток электродвигателей, выходящих из строя, — простейший с интенсивностью  электродвигатель в сутки. Время замены вышедшего из строя электродвигателя имеет показательное распределение со средним значением  ч. Найти финальные вероятности состояний резервного фонда и его характеристики:

 — среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени;

 — вероятность обслуживания поступившей заявки (относительная пропускная способность);

 — вероятность отказа, т. е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена и получит отказ, ;

— среднее число занятых каналов;

 — среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди);

 — среднее число заявок в очереди;

 — среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием);

 — среднее время пребывания заявки в очереди.

Решение.  электродвигатель в сутки,

.

По известным формулам имеем:

;

 

 

 

 

.

 

;

 

заявка в сутки;

 

электродвигателя;

 

 электродвигателя;

 

 электродвигателя;

 

 сут;

 

 сут, или приблизительно 1 ч.

Из полученных данных видно, что время пребывания заявки в СМО ( ) составляет около 7 ч, а среднее время пребывания заявки в очереди ( ) — 1 ч. Если принять время пребывания заявки в СМО равным допустимому времени простоя оборудования, то можно определить оптимальное число электрооборудования, находящегося в резерве.

 

 

Контрольные вопросы и задания

1. Что называют системой массового обслуживания? 2. Что называют каналом обслуживания? 3. Какую СМО называют СМО с отказами? 4. Что понимают под потоком обслуживания? 5. Как определяют среднее время пребывания заявки в системе? 6. Как определяют среднее время пребывания заявки в очереди? 7. Как определяют среднее число занятых каналов? 8. Перечислите характеристики эффективности СМО.


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 1232; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!