Произведение классов Фиттинга.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Определение 55. Пусть и произвольные классы групп. Гашюцевым произведением классов и называется класс всех групп, являющихся расширением некоторой группы с помощью группы.

Обозначается: или .

Определение 56. Пусть класс групп, формация. Корадикальным (формационным) произведением классов групп и называется класс групп

Определение 57. Пусть класс Фиттинга и класс групп. Радикальным произведением и называется класс .

Теорема 10. Если и классы Фиттинга, то класс Фиттинга и .

Доказательство.

Покажем, что класс Фиттинга.

1) Пусть и . Покажем, что . Поскольку , то . Из по лемме 9 получаем:

. Так как , то по теореме о соответствии получаем:

. По условию , класс Фиттинга, значит, . Тогда . Следовательно, .

2) Пусть . Покажем, что . Из следует: . Так как , то . Значит, . Аналогичным образом получается, что и .

Рассмотрим . Следовательно, .

Из 1) и 2) получаем, что класс Фиттинга.

Покажем, что .

Пусть . Покажем, что . Так как , то . Следовательно, . Значит, и .

Теорема 11. Пусть 𝔛, 𝔉 и классы Фиттинга. Тогда

1) ;

2) .

Доказательство.

1) По теореме 10 класс Фиттинга, . Значит,

. Так как , то . Следовательно, по теореме о соответствии получим: и

Покажем обратное включение. Пусть . Так как , то . Но в силу того, что , , а значит, . Из обоих включений получаем, что .

Так как , то . Следовательно, . Поэтому . Тогда по теореме о соответствии , откуда следует, что .

Таким образом, .

2) Пусть . Тогда . Значит,

Следовательно, и .

Тогда . Покажем обратное включение.

Пусть . Тогда . Так как

и по первому пункту теоремы получаем: Значит, .

Теорема 12. Если класс Фиттинга и гомоморф, то

Доказательство.

Из определения радикального произведения следует, что

, то есть радикальное произведение состоит из таких групп , что и . Следовательно, . Покажем обратное. Пусть . Рассмотрим факторгруппу . Так как гомоморф, то . Откуда следует, что .

Глава 3. Произведение 𝛀 - расслоенных классов Фиттинга.

3.1. 𝛀 - расслоенные классы Фиттинга и их основные свойства.

Лемма 10. Пусть группа минимального порядка из , где и классы Фиттинга. Следовательно, комонолитична с комонолитом .

Доказательство.

Пусть две различные максимальные нормальные подгруппы группы из . Так как и , класс Фиттинга, то . Аналогично получается, что . Значит, .

Так как , то . Поскольку , имеем: . Аналогично получается, что . Из этого можно сделать вывод о том, что .

Допустим, что . Из следует, что . А это значит, что . Поэтому имеем: . Аналогично: из следует, что . В связи с чем получаем: . Таким образом, имеем: . Противоречие. Значит, и . Снова имеем противоречие. Следовательно, содержит единственную максимальную нормальную подгруппу.

Пусть комонолит группы . Покажем, что

Пусть все нормальные подгруппы группы . Из того, что максимальная нормальная подгруппа, получаем: . И из имеем: .

Допустим, что . Тогда из получаем: . Противоречие. Значит, .

Через обозначают множество всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы .

Если , то называется -группой.

множество всех -групп.

Лемма 11. Пусть и – формации, - классы Фиттинга, – группа и . Тогда

1) если , то ;

2) ;

3) ;

4) , то ;

5) ;

Определение 54. Пусть множество всех простых групп.

Функцию , принимающую одинаковые значения на изоморфных группах из Ω, называют Ω- радикальной функцией или -функцией.

Функцию , принимающую одинаковые значения на изоморфных группах из , называют радикальной функцией или -функцией.

Функцию , принимающую одинаковые значения на изоморфных группах из , называют формационно-радикальной функцией или -функцией.

Лемма 12. Пусть - -функция, φ - -функция,

. Тогда является классом Фиттинга.

Определение 58. Класс Фиттинга назовем -расслоенным, если , где - некоторые -функция и -функция соответственно. Функцию будем называть -спутником, а функцию -направлением -расслоенного класса Фиттинга .

Пусть - -функция. Класс Фиттинга назовем расслоенным, а будем называть -спутником расслоенного класса Фиттинга .

Лемма 13. Пусть - класс Фиттинга и . Тогда

где - -функция такая, что , для всех , и - произвольная -функция. В частности, классы Фиттинга и (1) являются -расслоенными для любого непустого класса .

Доказательство.

Пусть , где - -функция такая, что , для всех , и - произвольная -функция. Покажем, что .

Пусть . Тогда , и из следует, что . Таким образом, , и, значит, .

Предположим, что и группа наименьшего порядка из . Тогда . Следовательно, и .

Пусть и собственные нормальные подгруппы группы такие, что . Так как , то в силу выбора , получим, что

, и значит, . Получили противоречие. Следовательно, комонолитическая группа с комонолитом . Тогда и простая группа. Если , то , что невозможно. Поэтому . Тогда . Противоречие. Таким образом, .

Лемма 14. Пусть , где произвольная -функция. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) , где для любого ;

2) ,где и для всех ;

3) если и , то

Доказательство.

1) Пусть , где -функция из пункта 1) леммы. Так

как для любого , то .

Пусть . Тогда для любого

. Поскольку класс является нормально наследственным, то , и значит, и

для любого . Следовательно, и . Таким образом, мы получаем, что .

2) Пусть -функция, описанная в пункте 2) леммы и ℌ= . Покажем, что . Пусть . Это означает, что и для всех имеем: . Следовательно, и .

Допустим, что и группа наименьшего порядка из . Тогда по лемме 10 группа комонолитична с комонолитом . Так как , то . Следовательно, . Откуда получаем, что .

Из следует, что и . Так как , то . Отсюда в силу нормальной наследственности класса получаем: . Далее из следует, что для любого . Значит, . Получили противоречие. Следовательно, допущение неверно и .

3) Пусть , и . Если , то

по определению класса .

Пусть . Так как , то найдется такая группа , что . Откуда следует, что , и значит, . Поскольку , то , и поэтому

Таким образом, .

Лемма 15. Пусть произвольная -функция, , где , . Тогда , где .

Доказательство.

Пусть ℌ= . Покажем, что .

Пусть . Это означает, что и . Следовательно, . Так как

, то Значит, и .

Пусть . Следовательно, и

. Отсюда получаем, что

и . Следовательно, и . Таким образом, имеем: , и значит, .

3.2. Произведение Ω -расслоенных классов Фиттинга.

Пусть . Тогда , .

Определение 59. Направление Ω-расслоенного класса Фиттинга называют:

1. -направлением, если для любой абелевой группы ;

2. -направлением, если для любой абелевой группы ;

3. -направлением, если для некоторой простой группы ;

4. -направлением, если для любой неабелевой группы ;

5. -направлением, если для любого .

-функцию называют -направлением Ω-расслоенного класса Фиттинга 𝔉, если является -направлением для любого .

Лемма 16. Пусть простая группа и 𝔉 – непустая формация Фиттинга такая, что 𝔉 = 𝔉. Если является -группой, то .

Доказательство.

Так как то по свойству корадикала Из по теореме 9 (о соответствии) имеем: . Поскольку нормально наследственный класс групп и , то . Тогда, по свойству корадикала, .

С другой стороны, , а по определению 55 Следовательно, .

Таким образом, .

Лемма 17. Пусть с -направлением . Тогда

1) если и , то ;

2) если и , то .

Доказательство.

1) . Пусть . По условию . Покажем, что

. Так как , то по лемме 11 (4) . Тогда , так как .

По условию . Пусть ). Покажем, что . Из следует, что .

По условию -направление. Значит, . Так как , то и тогда по лемме 16

. Следовательно, по определению расслоенного класса Фиттинга имеем: .

2) Из условия известно, что . Пусть , . Так как -группа и , то по лемме 16 . Из следует, что . Откуда: . Значит, по определению расслоенного класса Фиттинга .

Лемма 17. Пусть 𝔐 и ℌ - -классы Фиттинга с направлением внутренние спутники классов Фиттинга 𝔐 и ℌ соответственно. Если с спутником таким, что , для всех и для всех , то и является внутренним спутником класса Фиттинга .

Доказательство.

Пусть с спутником таким, что , для всех и для всех

. Покажем, что внутренний спутник класса Фиттинга .

Пусть . Допустим, что . Пусть и группа минимального порядка с таким свойством. Тогда по лемме 10 комонолитична с комонолитом . Пусть . Так как , то Значит, и . Если , то и . Тогда и Таким образом, по лемме 17 2) . Имеем противоречие. Поэтому . Из того, что , следует, по определению 57 радикального произведения, что . Пусть . Тогда (

и, значит, .

Пусть . Тогда и . В любом случае имеем: , . Значит, по лемме 17 1) . Противоречие. Значит, .

По теореме 10 . Так как внутренний спутник , то и .

Таким образом, мы показали, что внутренний спутник класса Фиттинга

Определение 60. Класс Фиттинга называется каноническим или, коротко, классом Фиттинга, если для любого , и обозначается и для всех .

Лемма 18. Пусть внутренние спутники классов Фиттинга соответственно. Тогда является классом Фиттинга с внутренним спутником таким, что . для всех и для всех .

Доказательство.

Пусть . Тогда по лемме 17 . Допустим, что . Пусть и группа наименьшего порядка с таким свойством. Тогда по лемме 10 комонолитическая группа с комонолитом .

Пусть . Тогда Так как

, то и, значит, . Из следует, что . Допустим, что . Тогда

и по лемме 17 имеем: . Получили противоречие. Следовательно, . Тогда и, значит, Из и , следует, что и Тогда и комонолитическая группа с комонолитом , причем Из следует, что и, значит, .

Так как , то по лемме 17 . Тогда = . Снова получили противоречие.

Следовательно, .

Определение 61. Класс Фиттинга называется биканоническим или, коротко, классом Фиттинга, если для любой неабелевой группы и для любой абелевой группы , и обозначается и

для всех и для всех .

Лемма 19. Пусть внутренние спутники классов Фиттинга соответственно. Тогда является классом Фиттинга с внутренним спутником таким, что для всех , для всех и для всех .