Элементы теории классов групп.
Определение 49. Классом групп называется всякое множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит и все группы, изоморфные ей.
Если группа (подгруппа) принадлежит классу групп , то называют - группой (подгруппой).
Определение 50. Операцией на классах групп называется отображение множества классов групп в себя.
Произведение операций определяется следующим образом:
. И вообще: .
Рассмотрим следующие операции на классах групп:
когда является подгруппой некоторой группы, то есть отображение, которое ставит в соответствие классу групп класс групп, состоящий из всех подгрупп всех групп;
когда является нормальной подгруппой группы;
когда является гомоморфным образом некоторой группы;
когда является произведением конечного числа своих нормальных подгрупп;
когда является прямым произведением своих нормальных подгрупп;
Определение 51. Класс групп называется замкнутым относительно операции или замкнутым, если .
Определение 52. Класс групп называется:
1) замкнутым или наследственным, если , то есть всегда ;
2) замкнутым или нормально наследственным, если , то есть всегда ;
3) замкнутым или гомоморфом, если , то есть всегда ;
4) замкнутым, если , то есть если , то ;
5) замкнутым, если , то есть если
то .
Лемма 5. Для произвольного класса групп справедливо:
1) , то есть ;
2) , то есть ;
3) , то есть ;
|
|
4) ;
5) .
Теорема 9. Если класс замкнут относительно произведений нормальных подгрупп, то каждая субнормальная подгруппа группы содержится в некоторой нормальной подгруппе группы .
Следствие 1. Пусть класс замкнут относительно произведений нормальных подгрупп. Если и субнормальные подгруппы группы , то субнормальная .
Глава 2. Классы Фиттинга конечных групп.
Классы Фиттинга и их основные свойства.
Определение 53. Класс групп называется классом Фиттинга, если выполняются следующие условия:
3) из всегда следует, что (1)
4) из всегда следует, что
. (2)
Пример.Класс нильпотентных групп является классом Фиттинга.
1) Действительно, из по лемме 4 1) следует, что .
2) По лемме 4 2) из в силу выполнимости условий определения внутреннего произведения подгрупп группы следует, что .
Лемма 6. Пусть непустой класс Фиттинга. Тогда для любой группы :
1) ;
2) тогда и только тогда, когда ;
3) наибольшая нормальная подгруппа группы .
Лемма 7. Пересечение любой совокупности классов Фиттинга является классом Фиттинга.
Доказательство.
|
|
Пусть классы Фиттинга, . Покажем, что класс Фиттинга.
1) Пусть . Покажем, что . Поскольку , а , то по определению операции пересечения получаем: . Тогда из определения класса Фиттинга следует, что . Поэтому .
2) Пусть . Покажем, что . Так как , то . Поскольку классы Фиттинга, то
. А это означает, что
.
Определение 54. Пусть непустой класс Фиттинга. радикалом группы называется произведение всех ее нормальных подгрупп.
Лемма 8. Пусть класс Фиттинга, группа и . Тогда и только тогда , когда .
Доказательство.
Пусть и . По следствию 1 получаем, что и
.
Обратно, пусть и . Так как и выполняется требование (1), то .
Лемма 9. Если класс Фиттинга и , то .
Доказательство.
Так как и , то . Поскольку , то . Обратно, , поэтому и по лемме 8 подгруппа . Итак, .
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 759; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!