Элементы теории классов групп.



Определение 49. Классом групп называется всякое множество групп, которое вместе с каждой своей группой  содержит и все группы, изоморфные ей.

Если группа (подгруппа)  принадлежит классу групп , то  называют - группой (подгруппой).

Определение 50. Операцией на классах групп называется отображение  множества классов групп в себя.

Произведение операций определяется следующим образом:

. И вообще: .

Рассмотрим следующие операции на классах групп:

когда  является подгруппой некоторой группы, то есть отображение, которое ставит в соответствие классу групп  класс групп, состоящий из всех подгрупп всех групп;

когда  является нормальной подгруппой группы;

когда  является гомоморфным образом некоторой группы;

когда  является произведением конечного числа своих нормальных подгрупп;

когда  является прямым произведением своих нормальных подгрупп;

Определение 51. Класс групп  называется замкнутым относительно операции  или замкнутым, если .

Определение 52. Класс групп  называется:

1) замкнутым или наследственным, если , то есть  всегда ;

2) замкнутым или нормально наследственным, если , то есть  всегда ;

3) замкнутым или гомоморфом, если , то есть  всегда ;

4) замкнутым, если , то есть если , то ;

5) замкнутым, если , то есть если

 то .

Лемма 5. Для произвольного класса групп  справедливо:

1) , то есть ;

2) , то есть ;

3) , то есть ;

4) ;

5) .

Теорема 9. Если класс  замкнут относительно произведений нормальных подгрупп, то каждая субнормальная подгруппа группы  содержится в некоторой нормальной подгруппе группы .

Следствие 1. Пусть класс  замкнут относительно произведений нормальных подгрупп. Если  и субнормальные подгруппы группы , то субнормальная .

 

Глава 2. Классы Фиттинга конечных групп.

Классы Фиттинга и их основные свойства.

Определение 53. Класс групп  называется классом Фиттинга, если выполняются следующие условия:

3) из  всегда следует, что         (1)

4) из  всегда следует, что

.                                                                                                  (2)

Пример.Класс нильпотентных групп  является классом Фиттинга.

1) Действительно, из  по лемме 4 1) следует, что .

2) По лемме 4 2) из  в силу выполнимости условий  определения внутреннего произведения подгрупп группы следует, что .

Лемма 6. Пусть непустой класс Фиттинга. Тогда для любой группы :

1) ;

2)   тогда и только тогда, когда ;

3) наибольшая нормальная подгруппа группы .

Лемма 7. Пересечение любой совокупности классов Фиттинга является классом Фиттинга.

Доказательство.

Пусть классы Фиттинга, . Покажем, что класс Фиттинга.

1) Пусть . Покажем, что . Поскольку , а , то по определению операции пересечения получаем: . Тогда из определения класса Фиттинга следует, что . Поэтому .

2) Пусть . Покажем, что      . Так как , то . Поскольку классы Фиттинга, то

. А это означает, что            

.

Определение 54. Пусть непустой класс Фиттинга. радикалом группы называется произведение всех ее нормальных подгрупп.

Лемма 8. Пусть класс Фиттинга, группа и . Тогда и только тогда , когда .

Доказательство.

Пусть  и . По следствию 1 получаем, что  и    

.

Обратно, пусть  и . Так как  и выполняется требование (1), то .

Лемма 9. Если класс Фиттинга и , то .

Доказательство.

Так как  и , то . Поскольку , то . Обратно, , поэтому  и по лемме 8 подгруппа . Итак, .

 


Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 248; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ