Простейшие методы решения задачи Коши.
Возьмем уравнение y’(x)=f(x,y) с начальным условием y(x0) = y0 и попытаемся найти y(x) для x = x0+n h , n=1,2, ...
Взяв разложение в ряд Тейлора и ограничившись двумя членами разложения, имеем
y(x+h)=y(xn)+h y’(xn)+O(h2).
Введя для краткости записи обозначения xn = x0+n h , yn= y(xn), получаем отсюда
yn+1= yn+h×f(xn,yn) , n=0,1,2,.... (7)
Приведенная формула определяет т.н. метод Эйлера, имеющий простую геометрическую интерпретацию (рис.1): из точки (xn , yn) проводится касательная к искомой кривой y=y(x) до уровня x = xn+h. Очевидно, что в процессе последовательных переходов по (7) погрешность O(h) существенно возрастает. Поэтому метод Эйлера (7) в чистом виде применяется лишь для грубых оценок при небольшом количестве точек (узлов).
yn+1 yn+2
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 443; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!