Привести к каноническому виду

Решение

29Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону . Определить скорость точки тела на расстоянии  от оси вращения в момент времени, когда угол поворота .

Дано:Решение:

ОА=r=0,5м          

j=t²

 

V_A-?

Ответ:V_A=5м/с

 

Билет 30

Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Остроградского. Формула Стокса.

Т-ма (формула Стокса):   Пусть Ф – это поверхность, заданная x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), где (u,v)Îплоской области Д, ограниченной кусочно-гладким контуром L. Предполагается, что Ф – это гладкая, т.е. функции x, y, z – непрерывно дифференцируемы и отображение из Д в Ф взаимнооднозначно и взаимнонепрерывно, при этом контур L отображается в L. Ф без особых точек. На поверхности выбрана сторона , а на контуре L положительное направление.

Формула Стокса в развернутом виде:

Т-ма (формула Гаусса-Остроградского)Пусть V – тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью Ф (замкнутой). Пусть - векторное поле (P,Q,R), определенное и непрерывное на замыкании Vвместе со своими частными производными , тогда поток векторного поля через поверхность Ф равен тройному интегралу от дивергенции по телу, ограниченному этой поверхностью.

Поток векторного поля .

Покоординатный вид формулы Г.-О.:

 

.

Левую часть можно записать в виде поверхностного интеграла 2-го рода:

.

 

 

Кольцо мног-нов от одной переменной (теорема о делении с остатком, алгоритм Евклида и нахождение наибольшего общего делителя двух мног-нов с его помощью; корни мног-ов; т-ма Безу; осн-ная т-ма алгебры комп-ных чисел (т-ма Гаусса) и её следствия; комп-ные корни мног-нов с действительными коэф-тами).

Пусть А некоторое кольцо с единицей, построим новое кольцо В элементами которого будут является упорядоченная последовательность, элементы которого принадлежат А.

Т-ма: (О кольцах многочленов)Множество В с операцией * (сложения) и ** (умножения) образует кольцо с единицей.

Т-ма: (о делении с остатком)Пусть Р- поле и g(x) ненулевой многочлен из кольца Р[х], тогда каждому многочлену f(x) Р[х] cоответствует единственная пара многочленов q(x),r(x)  Р[х] такая что f(x)=q(x)g(x)+r(x), причем degr(x)<degg(x), где q – неполное частное, r – остатком.

О: Если многочлены f(x) и g(x) делятся на многочлен d(x), то многочлен d(x)- называется их общим делителем. Если многочлен d(x)- яв-ся общим делителем f(x) и g(x) и делится на другой делитель этих многочленов, то он называется НОД этих многочленов. НОД(f(x),g(x))=d(x)

Алгоритм Евклида и его приложения.

Пусть f(x) и g(x)  Р[х], где Р- поле. Пусть многочлен g(x) – ненулевой. Если g(x)|f(x)? То НОД(f(x),g(x))=g(x).

Пусть g(x) не делит f(x), то по теореме о делении с остатком f(x)=g(x)q (x)+r (x), deg r (x)<degg(x),

g(x)= r (x)q (x)+r (x), deg r (x)<deg r (x) ,

 r (x)= r (x) q (x)+ r (x), deg r (x)<deg r (x),

…………………………………………………..

r (x)= r (x) q (x)+ r (x), deg r (x)<deg r (x) (1)

r (x)= r (x) q (x)

deg g(x)> deg r (x)>….> deg r (x)

Цепочка равенств (1) называется алгоритмом Евклида.

Т-ма: Если f(x) и g(x)  Р[х], где Р- поле и g(x) – ненулевой, то НОД этих двух многочленов всегда существует. Если g(x)|f(x) то НОД(f(x),g(x))=g(x), если же g(x) не | f(x), то НОД(f(x),g(x))=

последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида.

 О: Если многочлен f(x) над полем Р степень которого  1, не имеет других делителей, кроме многочленов а и а f(x), где а , то f(x) – называется неприводимым многочленом над полем Р.

Т-ма: всякий многочлен f(x ) степень которого  1 над полем Р – можно представить в виде произведения неприводимых над полем Р многочленов.

Пусть Р- поле, f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+ a₀ ÎP[x], cÎP. Тогда f(с) = a_nсⁿ+ a_n-1с^n-1+…+ a₀ называют значением многочлена f(x) для с.

Если f(с) = 0, то с – корень f(x).

Т-ма (Безу):cÎP является корнем f(x) ÎP[x] Ûf(x) = (х – с)q(x), q(x) ÎP[x]. 

Док-во:f(x) = (х – с)q(x) + r(x), degr(x) <deg(x – c)=1, т.к degr(x) может быть либо 0,

 либо -¥, то r(x) = rÎP. f(с) = (с – с)q(x) + r(x) = 0q(x) + r = r.Следовательно f(х) = (х – с)q(x) + f(с) (#)

1) Если cÎP является корнем f(x), то f(с) = 0 Þ из (#)f(х) = (х – с)q(x).

2) Если f(х) = (х – с)q(x), то f(с) = (с – с)q(с) = 0 Þc является корнем f(x).

Т-ма (Гаусса):В поле C многочлен из C[x] имеет хотя бы один корень, если deg многочлена ³1.

Следствие 1:В поле комплексных чисел f(x) Î С[x] имеет ровноn корней, если degf(x) = n³1.

Следствие 2:Неприводимыми над С являются только многочлены 1-ой степени.

Т-ма (корни многочленов с действительными коэффициентами):

Док-во:Пусть f(x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+…+ a₁х + a₀, т.к. z – корень, то f(z) = 0, т.е.

a_n z ⁿ+ a_n-1 z ^n-1+…+ a₁ z + a₀ = 0.

Пусть f(x)ÎR[x], z = a + b×i – корень f(x), тогда тоже корень f(x).

Следствие 1:Многочлен над R нечетной степени имеет хотя бы 1действительный корень.

Следствие 2:Неприводимыми над R являются многочлены первой степени и второй степени с отрицательным дискриминантом.

30Исследовать характер изолированных особых точек ф-ции , включая и точку . Найти вычеты ф-ции f в этих точках.

Решение:z₁=0, z₂=1, z₃=-1, z₄=¥. Используем критерий полюса для исследования 1-х трех изолированных особых точек: Точка z явл-ся полюсом m-го порядка f(z) Û для ф-ции   – z₀ явл-ся нулем m-го порядка. =z(1-z)(1+z)=z-j(z) j(0)¹0 и j(z) явл-ся аналитической в окрестности точки 0. След-но z₁=0 явл-ся нулем 1-го порядка для ф-ции Þz₁ – полюс 1-го порядка для f(z).

Аналогично z₂ и z₃ явл-ся полюсами 1-го порядка.

Найдем вычеты в этих точках.

;

. В силу т-мы: сумма вычетов во всех изолированных особых точках включая ¥ =0. След-но .

Осталось классифицировать особую изолированную точку z=¥.  .

Разложим по степеням z: . Т.о.  т.к. в ряде Лорана отсутствует главная часть, то точка z=¥ явл-ся устранимой особой точкой.

 

30. Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки имеет вид . Определить период затухающих колебаний.

Решение:

Частота: ; период:

Ответ: .

 

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 619; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!