Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Доказательство: Основной закон динамики .Умножим левую и правую части уравнения скалярно на  справа, получаем  .                - элементарная работа.

 - дифференциал от кинетической энергии.  

,                     что и требовалось доказать.

Теорема. Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.

Теорема. Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на этом же перемещении.

Написать ряд Фурье функции

на отрезке

Т.к. f(x) – периодичная функция, то

 воспользуемся тригонометрическим рядом Фурье.

,

, , .

Получаем:

.

, т.к. для нечёт.

.

При n = 1:

При n = 3:

След-но, 27Пусть m – мера Лебега на R. Найти , где D(x) – функция Дирихле,

- характеристическая функция множества А.

Решение:

Þ

Т.о. на [0,4] f(x) простая измеримая. Зн.,

Т.к. m(QÇ[0,4])=m(Q)+m([0,4])-m(QÈ[0,4])=m(Q)+m([0,4])- m([0,4])=m(Q)=0

m([0,4]\Q)=m([0,4])-m([0,4] ÇQ)==m([0,4])=m([0,4))_=4-0 + m({4})₌₀ =4-0+0=4

m({4})=0, т.к. {4}= Þm({4})= Ответ: 8

 

Билет 28

28Определители (ф-ла определителя квадратной матрицы; вычисление опр-лей малых порядков; вычисление опр-ля разложением по строке (столбцу); теорема об опр-ле произведения матриц; обратимые матрицы; вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений).

О: Пусть k,l N, - матрицей над полем P, будем называть совокупность элементов поля P, записанную в виде прямоугольной таблицы. А= .

Будем рассматривать только квадратные матрицы.

Пусть А={a }- квадратная матрица.

О: Определителем или детерменантом матрицы А называется число, которое обозначается |A| или detA и вычисляется по формуле detA= .

О: Пусть А- квад-я матрица порядка n . Матрица А называется обратимой, если существует матрица В квад-я матрица порядка n, т.что АВ=ВА=Е – в этом случае матрица В наз-ся обратной для матрицы А и обозначается А .

Вычисление обратной матрицы.

Теорема 1: Обратную матрицу А с помощью элементарных преобразований можно превратить в единичную, применяя те же элементарные преобразования в том же порядке из единичной матрицы получим обратную для матрицы А. (А|Е)=(Е| А ).

 Теорема 2: Квадратная матрица А обратима т.т.т., когда она невырождена причем если матрица А невырождена, то

А = , где =(-1) - алгебраическое дополнение, -минор для элемента -называется определитель матрицы полученной из матрицы А вычеркиванием i-строки, j- столбца.

 

Уравнение Лагранжа второго порядка для с-мы материальных точек

Общее уравнение динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq1 (δ/ δt *( δT/ δq1) – δT/ δq1 -Q1) + δq2(δ/ δt - δT/ δq2 – δT/ δq2 – Q2) + … + δqS(δ/ δt - δT/ δqS – δT/ δqS - QS) = 0

Где q1, q2,…, qS – обобщённые координаты, q1, q2,…, qS - обобщённые скорости, δq1, δq2,…, δqS - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q1, Q2,…, QS - обобщ. силы системы, Т – кин. энергия системы. Т.к. δq1, δq2,…, δqS в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *( δT/ δq1) – δT/ δq1 = Q1 } – уравнение Лагранжа 2 рода.

δ/ δt *(δT/ δq2) – δT/ δq2 = Q2 }28Проверить, является ли последовательность точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.

Решение:

Последовательность будет функциональной. Если она будет сходится.

Докажем сходимость:

Последовательность {x_n} метрич. пр-ва Х сх-ся в Х, если $х₀ÎХ : "e$N_eÎN : "n³N_e

g(x_n,x₀)<e.

{x_n}= g(x,y)= пусть х₀(t)=1, тогда

Þ {x_n}-сх-ся.

Þфундаментальна Ответ:явл-ся.

28Приведите уравнения к каноническому виду:

Решение:

Билет 29

29Непрерывные функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Опр. Пусть f определена в некоторой окрестности точки x₀, f наз непр в т. x₀, если . По Гейне: какую бы ни взять (x_n) x₀, соответствующая посл-ть значений f(x_n) f(x₀). По Коши: >0 >0  удовлетворяющих неравенству  имеем

Пусть f задана на отрезке [a;b], f наз непр на отрезке, если f непрерывна во всех точках из интервала (a;b), непр справа в точке a и непр слева в точке b.

Т(Вейерштрасса): Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то f(x) ограничена на отрезке [a;b] и достигает на нем своей точной верхней и нижней грани.

Доказательство: (от противного) Пусть f не ограничена на [a;b], пусть например f неограничена сверху, тогда можно говорить, что supf(x)=+ (sup всех чисел которые могут быть получены при x [a;b]) x₁ [a;b]: f(x₁)>1, x₂ [a;b]: f(x₂)>2, , x_n [a;b]: f(x_n)>n, Имеем последовательность (x_n) точек отрезка, то  сходящящаяся последовательность  с другой стороны f непрерывна в x₀, x₀ и следовательно . Доказана ограниченность f на отрезке [a;b]. Докажем, что f достигает своей точной верхней грани; обозначим . x₁ [a;b]: f(x₁)>M-1, x₂ [a;b]: f(x₂)>M- , , x_n [a;b]: f(x_n)>M- , (x_n) последовательность точек отрезка  сходящаяся подпоследовательность ; ; M- < при

Т(Больцано-Коши)Если f непр на [a;b] и на концах его принимает знач равных знаков, то

Т(Больцано-Коши. О промежуточном значении)

Если f непрерывна на отрезке [a;b], то для любого с лежащего между f(a) и f(b), то c [a;b]: f(c)=c; т.е.f принимает все промежуточные значения от f(a) до f(b).

Доказательство. Пусть f(a)<f(b, рассмотрим ф-wb. , , , по пред теореме  т. с [a;b]: ,т.е. f(c)=с.

 

 

С-мы л-ных у-ний (совместные, несовместные и равносильные системы; критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли); крамеровская система; правило Крамера и матричный метод решения крамеровских систем; однородная система линейных уравнений; условия существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений).

Опр. Сис-мой k линейных у-ий c m неиз-ными  наз-ся совокупность у-ний вида   Числа a_ij наз-ся коэф-тами системы, числа b_i – свободные члены системы, числа a_ij и b_i выбираются из некоторого фиксированного поля P.Решением системы наз-ся совокупность элементов  из поля P при подстановке к-рых в у-ния с-мы вместо  каждое из у-ний обращается в верное равенство. Решить систему у-ний значит найти все её решения или док-ть, что их нет. Опр. Сис-ма линейных у-ний имеющая хотя бы одно решение наз-ся совместной. Сис-ма, не имеющая ни одного решения наз-ся несовместной.

Матрица  составленная из коэф-тов ур-ий системы называется матрицей системы линейных ур-ний. Если к матрице A добавить столбец свободных членов , то получим :  , если обозначить через  матрицу из неизвестных эл-ов, а через - матрицу из свободных членов, то систему линейных ур-ний можно записать в виде матричного ур-ния: A*X=C. Эта запись наз-ся матричной записью системы линейных у-ний.

Опр Элементарными преобразованиями сис-мы линейных ур-ний системы будем наз-ть следующие преобразования:

1. Умножение какого – либо ур-ния на ненулевое число

2. Прибавление к одному уравнению второго у-ния системы, умноженного на некоторое число.

Опр Две системы линейных уравнений от одних и тех же переменных наз-ся равносильными, если каждое решению первой системы яв-ся решением второй системы и наоборот, или же если обе системы несовместны.

Имеют место следующие теоремы

Т-ма 1.При элементарных преобразованиях система переходит в равносильную ей систему.

Опр. Сис-ма линейных у-ний наз-ся ступенчатой если её расширенная матрица яв-ся ступенчатой.

Т-ма 2. Всякую систему линейных у-ний можно привести к ступенчатой сис-ме с помощью элементарных преобразований

Опр. Пусть дана сис-ма линейных у-ий        (1)

Эту систему (1) можно записать в виде матричного у-ния AX=B, где  , ,   

Система линейных у-ний наз-ся крамеровской сис-мой если выполняется два условия:

1. Число у-ний равно числу неизвестных

2. Det (определитель) матрицы системы ¹ 0

Т-ма 3 . Крамеровская система имеет единственное решение   _{, i=1,2,3,…..,k}

где d –определитель матрицы системы, d_i опр-ль матрицы, у которой в i-ом столбце стоят свободные члены b₁ ,b₂ ,b₃ , … ,b_к , все остальные столбцы как у матрицы системы.

Док – во Пусть система (1) крамеровская. Тогда k = m и detA¹0, тогда сущ-ет матрица обратная A – A^-1. Заметим, что система (1) и матричное у-ние AX=B (2) равносильны.

Покажем, что матричное у-ние (2) имеет еди-ное реш-ие.

Умножим обе части (2) слева на A^-1 . Получим A^-1(AX)=A^-1B,  X=A^-1B. Таким образом система (1) имеет решение Тогда X_i= (A_1ib₁+ A_2ib₂+…+ A_kib_k)= , i=1,….,k Теперь докажем что решение крамеровской сис-мы единственное

Пусть X₁ и X₂ два решения крамеровской сис-мы. Тогда AX₁=B и AX₂=B Отсюда X₁=X₂

Т-ма 4 (Кронекера-Капелли) Для того чтобы сис-ма линейных у-ий была совместна необх-мо и дос-но чтобы ранг матрицы сис-мы был равен рангу расширенной матрицы.

Док – во. 1 НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть сис-ма       (1)

совместна и  решение сис-мы. Тогда

…………………………. 

(2)

 Выпишем расширенную матрицу системы Матрица системы это матрица Преобразуем матрицу B с помощью элементарных преобразований следующим образом. От последнего столбца отнимем i-й столбец умноженный на c_i (для всех i от 1 до m). Получим:

Учитывая (2) получаем Матрица T получена из матрицы B с помощью элементарных преоб-ний. Так как элементарные преоб-ния не меняют ранг матрицы, то ранг матрицы В равен рангу матрицы T.Очевидно, что ранг матрицы T =rang(A)Þ rang(A) =rang(B)

2 ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть ранг матрицы си-мы равен рангу расширенной матрицы.

Докажем, что сис-ма (1) совместна. Пусть rang(A)= rang(B)=r. Тогда матрице A есть ненулевой минор r-го порядка, а все миноры r+1-го порядка равны 0. Не нарушая общности рассуждения можно считать, что ненулевой минор r-го порядка расположен в верхнем левом углу матрицы A т.е.

 В системе (1) выделим 1-ые r уравнений   (3)

Покажем, что система (1) и (3) равносильны. Так как система (3) является частью системы (1), то любое решение системы (3) всегда яв-ся решением сис-мы (1).

Пусть a₁,a₂,…., a_m – решение сис-мы (3). Тогда при подстановке в сис-му (1) чисел a₁,a₂,…., a_m вместо x₁,x₂,…., x_m . Первые R у-ний обратятся в верные рав-ва. Покажем, что остальные

k-r у-ний системы (1)обратятся в верное рав-тво, т.е.

a_t1a₁+ a_t2a₂+…+ a_tma_m=b_t , " t=r+1,r+2,…,k

Выпишем расширенную матрицу сис-мы (1)

. Преобразуем эту матрицу следующим образом. Умножим 1-й столбец на -a₁, 2-й столбец на -a₂ и т.д. m-й столбец на -a_m и прибавим все к последнему столбцу. Получим матрицу T¢

Т.к. a₁,a₂,…., a_m решение сис-мы(3), то верхние r эл-ов посл-его столбца матрицы T равны 0. Обозначим b_t-a_t1a₁-a_t2a₂-…..--a_tma_m=g_t, t=r+1,r+2,…,k. Таким образом матрица T примет вид

. Мат-ца T получена из мат-цы B с помощью элем-рных преобр-ний Þ rang(T)=rang(B)=r Þ В матрице T любой минор (r+1)- го порядка =0

В частности равен 0 минор

Т.к. по условию минор D¹0, то g_r+1=0. Аналогично можно показать, что числа g_r+2,… ,g_k=0 Þ a_t1a₁₊a_t2a₂₊…..+a_tma_m= b_t, где t=r+1,r+2,…,k. Это означает, что последние k-r у-ний в сис-ме (1) обращаются в верные рав-тва. Þ любое решение сис-мы (3) яв-я решением сис-мы (1). Мы док-ли, что сист-ы (1) и (3) равносильны.

Опр. Лин-ное у-ние наз-ся однородным если свободный член в нем =0.Система линейных у-й состоящая из однородн. у-й наз-ся однородной. Эта сис-ма всегда совместна т.к. имеет решение x₁= x₂=….= x_n=0. Это решение будем наз-ть нулевым реш-ем.

Теорема 5 Однородная сис-ма лин-ных у-ний имеет ненулевое решение тогда и только тогда когда ранг мат-цы сис-мы меньше числа неизвестных

Док-во. 1. Пусть однородная сис-ма имеет ненулевой ранг. Допустим, что rang(A)=n (числу неизвестных). Тогда система (1)Ûследующей крамеровской системе

(2). Тогда (2) а значит и исходная система имеет единственное решение. И т.к. (2) однородная то это решение нулевое. Получили противоречие Þ rang(A)<n

2. Пусть rang(A)<n тогда следуя алгоритму, мы заключаем, что система имеет бесконечно много решений, среди них будут и ненулевые.  

 

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 774; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!