Показники якості перехідних процесів



 

Показником якості систем керування є різниця між вихідною величиною та вхідною. Оцінкою якості керування є величина похибки впродовж усього часу роботи САК. Оскільки в різних режимах роботи похибка різна, то розрізняють величину похибки керування в установлених статичному, динамічному та в перехідних режимах роботи. Похибку керування в установлених режимах прийнято вважати оцінкою точності системи керування. Похибки, які виникають в перехідних режимах роботи, змінюються з часом і швидко зменшуються. Вони, як правило, не завжди є вирішальними, проте характеризують якість роботи САК.

Похибка керування - це величина, яка в повній мірі характеризує роботу САК. Але похибка керування змінюється з часом і вживати її як критерій якості роботи САК незручно. Тому для характеристики якості роботи САК використовують узагальнені показники. Ці показники відображають різні властивості систем керування. Прийнято розрізняти такі групи показників якості роботи САК:

· показники запасу стійкості систем керування,

· показники точності регулювання,

· показники швидкодії систем керування,

· комплексні показники, що дають певні узагальнені характеристики системи.

Деякі з цих показників ми вже розглянули, а саме показники точності регулювання та запасу стійкості систем.

Показники якості систем керування прийнято визначати різними способами:

· за перехідними характеристиками,

· за частотними характеристиками

· за коренями характеристичного рівняння.

Показники якості в кожному конкретному випадку можуть бути різними, таких показників існує велика кількість. Це обумовлено різноманіттям систем керування та різними завданнями, які вони виконують. Швидкодію систем керування, як правило, визначають за часовими або частотними характеристиками. Визначення показників швидкодії САК за часовими характеристиками зводиться до визначення постійних часу і характеристик затухання перехідних процесів системи. Згідно з частотними характеристиками швидкодію визначають за смугою пропускання системи, за відносною величиною резонансного піка та за іншими параметрами..

Комплексні показники визначають також за часовими й частотними характеристиками. Вони характеризують певні властивості систем, не зводячи показник до тієї чи іншої характеристики. Так, ступінь загасання коливань є показником швидкодії системи і в певній мірі показником запасу стійкості. Адже при зменшенні запасу стійкості система наближається до коливальної межі стійкості і коливання в ній загасають значно повільніше.

Розглянемо показники, які визначаються характером перехідного процесу в САК. Перехідний процес в САК може проходити по різному. Розрізняють такі типи перехідних процесів:

· монотонний;

· аперіодичний;

· коливальний.

Вказані типи перехідних процесів показані на рис.7.14.

 

 

 

Рис.7.14 – Типи перехідних процесів САК:

1 – монотонний, 2 – аперіодичний, 3 – коливальний.

 

При монотонному перехідному процесі похибка керування не змінює свій знак і вихідна величина поступово наближається до встановленого значення. Для характеристики вказаного перехідного процесу достатньо вказати один параметр, а саме постійну часу перехідного процесу. Постійна часу визначає проміжок часу, за який значення похибки зменшиться в е разів (е ≈ 2,72).

При аперіодичному перехідному процесі похибка керування змінює свій знак тільки один раз (або два – три рази з різним періодом).

При коливальному перехідному процесі зміна знаку похибки відбувається періодично декілька разів. Кількість разів зміни знаку похибки визначає коливаьність системи.

Вказані типи перехідних процесів можна спостерігати на прикладі вимірювальних приладів: ваг, вольтметрів, амперметрів. Ці вимірювальні прилади є також САК, положення індикатора яких встановлюється автоматично у відповідності з величиною, яка подається на прилад. Хороші, якісні прилади відзначаються тим, що перехідні процеси в них закінчуються досить швидко і через невеликий проміжок часу встановлюється певне положення індикатора. Прилади неякісні навпаки, характерні тим, що перехідні процеси в них більш тривалі, мають коливальний характер з малим затуханням.

За перехідною характеристикою визначають ряд показників якості перехідного процесу. Першим показником якості САК є тривалість перехідного процесуабочас перехідного процесу. Він визначається проміжком часу, за який значення похибки керування стане досить малою величиною. Кінцеве значення беруть, як правило, 5%. У деяких випадках в якості тривалості перехідного процесу визначають постійну загасання – час, за який значення похибки зменшиться в е разів.

Наступним показником є величина перерегулювання. Ця величина встановлюється як відношення різниці максимального значення вихідної величини за час перехідного процесу і встановленого значення до величини встановленого значення:

.                                             (7.25)

Величину перерегулювання визначають для аперіодичного та коливального перехідних процесів.

Кількість коливань перехідного процесу - ця характеристика визначається кількістю коливань рівних кількості мінімумів перехідного процесу за час його встановлення .

Коливальність перехідного процесу визначають як відношення сусідніх максимумів перехідного процесу.

Ступінь загасання перехідного процесу визначають за формулою:

                                         (7.26)

Тут u1, u2 – амплітуди відхилень одного знака двох послідовних періодів коливального перехідного процесу.

Логарифмічний декремент загасання визначається логарифмом відношення сусідніх максимумів перехідного процесу, а саме

                                                (7.27)

Ще одним показником якості перехідного процесу є частота коливань. Вона визначається величиною, зворотною до періоду коливань. Період коливань визначається як проміжок часу між двома сусідніми максимумами величини похибки керування. або їх період.

Крім вказаних характеристик використовують також інтегральні показники якості перехідних процесів.

Квадратичну інтегральну оцінку перехідного процесу визначають при одиничній імпульсній дії на систему згідно з формулою:

.                              (7.28)

Тут ω(t) – вагова функція системи;

x(t) – похибка регулювання.

 

Кореневі критерії якості

 

Це група критеріїв, заснована на оцінці якості перехідних процесів за розміщенням коренів передаточної функції. Передатна функція системи має вигляд

.                            (7.30)

Знаменник передаточної функції – це характеристичний поліном системи. Корені характеристичного полінома визначають стійкість системи. Розглянемо розміщення коренів характеристичного полінома на комплексній площині і вплив на якість перехідних процесів системи. Якість перехідних процесів визначається розміщенням коренів характеристичного полінома відносно уявної осі. Коли хоч один корінь розміщений на уявній осі, то система знаходиться на межі стійкості, в ній виникають незатухаючі коливання. Якість такої системи керування незадовільна. Система не придатна для експлуатації.

Розглянемо значення коренів стійкої системи. У разі стійкої системи всі корені розміщені в лівій частині комплексної площини, їх дійсна частина має від’ємне значення. Характер перехідних процесів визначається тими коренями, які розміщені найближче до уявної осі. Щоб переконатись у цьому, розглянемо випадок можливі значення коренів.

Нехай найменший корінь має дійсне значення. Найменшим будемо вважати корінь, розміщений найближче до уявної осі, тобто корінь, в якого значення дійсної частини найменше за абсолютною величиною. Розміщення його показано на рис. 7.15.

Рис. 7.15 – Розміщення коренів характеристичного полінома на комплексній площині

 

Розв’язання характеристичного рівняння для даного кореня таке:

.                                               (7.31)

Віддаль від дійсної осі дорівнює h1 = α1

Даному кореню відповідає аперіодичний перехідний процес. Постійна часу перехідного процесу дорівнює

                                                     (7.32)

Ця постійна часу визначає тривалість перехідного процесу.

Якщо система має ряд дійсних коренів, то найповільніше затухає перехідний процес, в якого значення кореня мінімальне (тут і далі розглядається значення за абсолютною величиною, не враховуючи його знака). Для будь-якого іншого кореня, розміщеного далі від уявної осі, тривалість перехідного процесу буде меншою. Згідно з принципом суперпозиції весь перехідний процес можна розглядати як суму окремих перехідних процесів. Отже якість перехідного процесу слід визначати за постійною часу найбільш повільного процесу, тобто за величиною, оберненою до h1. Цю величину прийнято називати аперіодичною ступеню стійкості перехідного процесу.

Нехай найменший корінь є комплексною величиною. До уявної осі найближче розміщена пара комплексних коренів, в яких значення дійсної частини найменше за абсолютною величиною. Корені характеристичного полінома такі:

.                                                    (7.33)

Цим кореням відповідає коливальний перехідний процес:

.                                      (7.34)

Тривалість одного повного коливання дорівнює: β t = 2π, або період коливань:

.                                                    (7.35)

Амплітуда коливань за період змінюється від величини С (С ) до величини .

Відношення амплітуд дорівнює

,                                                    (7.36)

Логарифмічний декремент загасання

                                         (7.38)

Тривалість коливального процесу можна характеризувати коливальністю системи, рівною

.                                                    (7.39)

Якщо кінцеве значення перехідного процесу вважати при умові, що похибка керування досягне 5%. від початкового значення, то тривалість коливального процесу буде приблизно рівна

.                                                             (7.40)

Отже показником загасання коливань може служити величина коливальності системи μ. Чим менше коливальність системи, тим довше затухають коливання. На комплексній площині певному значенню μ відповідає пряма, проведена під кутом ψ:

                                                     (7.41)

з початку координат (див. рис.7.15). Всі перехідні процеси, які відповідають кореням, що знаходяться в зоні, розміщеній всередині кута ψ (див. рис.7.15), затухають швидше від розглянутого процесу.

Отже розміщення коренів характеристичного полінома системи відносно дійсної осі комплексної площини характеризує якість перехідного процесу, його тривалість і швидкість загасання.

До кореневих методів оцінки якості перехідних процесів відноситься метод діаграм зон параметрів. Згідно з цим методом якість перехідних процесів визначається за розміщенням двох коефіцієнтів Вишеградського на діаграмі параметрів. Коефіцієнти розраховують для систем, характеристичне рівняння яких має третій порядок. Для інших систем існує цілий ряд критеріїв, кожен з яких має свою область використання.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1118;