Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца



 

Завдання знаходження критерію стійкості для систем, динаміка яких описуються диференційними рівняннями будь-якого порядку, було сформульоване Максвелом в 1868 році. Вперше його вирішив Раус в 1873 р. для рівнянь четвертої і п’ятої степені, а в 1877 р. повністю. Критерій був незручний в користуванні. У 1895 р. математиком А.Гурвіцем за проханням словацького професора Стодоли, який займався процесами регулювання турбін, був сформульований критерій у більш зручній формі, в якій він використовується і в даний час. Цей критерій часто називають критерієм Рауса-Гурвіца.

Критерій Гурвіца (Рауса-Гурвіца) формулюється наступним чином. Система є стійкою, якщо при а0 > 0 всі n визначників Гурвіца більше нуля.

Визначники Гурвіца одержують з квадратної матриці Гурвіца. Матрицю Гурвіца будують таким чином.

1. Характеристичний поліном системи записують у вигляді

.                (7.1)

У разі, якщо а0 < 0, потрібно помножити всі члени полінома на -1 так, щоб коефіцієнт а0 був додатнім а0 > 0

2. Записують по діагоналі квадратної матриці розміром n*n, (де n – степінь полінома), коефіцієнти, починаючи з а1 до an

3. Доповнюють клітку матриці коефіцієнтами із зростаючими індексом вверх і зі спадаючим індексом вниз. Матриця Гурвіца показана нижче:

 

                                        (7.2)

 

4. Вільні місця матриці заповнюють нулями. Заповнена матриця показана нижче.

5. Визначники Гурвіца складають з матриці як квадратні діагональні матриці послідовно, як показано нижче:

                                                     (7.3)

                                             (7.4)

 

                                      (7.5)

.............................

Останній визначник включає всю матрицю.

6. Обраховують значення усіх n визначників Гурвіца.

7. Якщо всі визначники мають додатні значення, то система стійка. Якщо хоча б один з визначників має від’ємне значення, то система не стійка, коли хоча б один з визначників дорівнює нулю, а решта додатні, то система знаходиться на межі стійкості.

Критерій Гурвіца дозволяє визначити стійкість системи ,яка описується диференційним рівнянням будь-якого порядку. Проте цей критерій використовують, як правило, тільки для систем, рівняння яких має не вище ніж п’ятий порядок. Причина в тому, що для обрахунку матриць більш високих порядків потрібні значні зусилля та затрати часу.

 

Критерій стійкості Михайлова

 

Цей критерій був запропонований в 1938 р. Він дозволяє визначити стійкість системи за годографом Михайлова. Він зручний для дослідження стійкості складних систем, порядок диференційного рівняння яких більше ніж 5. Формулюється критерій таким чином.

Для стійкості системи потрібно, щоб годограф Михайлова, починаючись при ω = 0 на додатній частині дійсної осі, при зростанні ω проходив послідовно через n квадрантів комплексної площини де n – порядок полінома. Квадрантами називають області комплексної площини, що знаходяться обмежені півосями.

Годограф Михайлова будують як годограф характеристичного комплексу. Характеристичний комплекс одержують заміною оператора р в характеристичному поліномі на уявну величину j ω ( :

               (7.6)

Після вказаної заміни можна виділити дійсну і уявну частини:

.                                        (7.7)

Обраховують значення А(ω) та В(ω) при збільшенні ω від нуля ω = 0 до достатньо великої величини , і будують годограф в комплексній площині, відкладаючи послідовно обраховані значення. На рис. 7.1 наведено приклади годографа Михайлова для стійких і нестійких систем.

Рис. 7.1 – Приклади годографа Михайлова: а - для стійких систем, б - для нестійких систем

Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа через початок координат комплексної площини.

Запас стійкості системи можна визначити за величиною віддалі від точки перетину дійсної осі до початку координат. Варіантом цього критерію є визначення точок перетину годографом осей комплексної площини. Якщо годограф перетинає перемінно то дійсну, то комплексну площини, то система стійка, якщо в деякому діапазоні частот годограф двічі перетинає комплексну чи дійсну вісь, то система нестійка. У вірності такого правила можна переконатись, розглядаючи діаграми на рис. 7.1 б). Дане формулювання зручне тим, що просте за результатами розрахунку - не будуючи графіка, можна визначити стійкість системи.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 247;