Сингулярное разложение матрицы
|
|
Nbsp; § 4.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного линейного преобразования
Общие свойства
Пусть – евклидово пространство и
- самосопряженное преобразование в
.
Теорема 4.6. Характеристическое уравнение самосопряженного отобра-жения имеет только действительные корни.
Доказательство. Пусть – корень характеристического уравнения
и
– решение системы линейных алгебраических уравнений
, где матрица
является вещественной симметри-ческой матрицей:
,
(«
» - значек комплексного сопряжения). Умножим равенство
слева на комплексно-сопряженный вектор-строку
:
. Отсюда
. Знаменатель получившей-ся дроби – действительное число:
. Числитель также действительное число, поскольку
, и, ввиду
и
,
=
=
. Теорема доказана.
Следствие 1. Самосопряженное преобразование имеет n собственных значений с учетом их кратности.
Следствие 2. Вещественная симметрическая матрица имеет n собственных значений с учетом их кратности.
Теорема 4.7. Собственные векторы самосопряженного преобразования , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть ,
– собственные векторы преобразования A, соответствующие собственным значениям
:
,
. Умножим первое равенство скалярно справа на
:
, а второе равенство скалярно слева на
:
. Отсюда и из условия
следует, что
. Поскольку
, то
, т.е.
для
.
|
|
Следствие. Собственные вектор-столбцы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Теорема 4.8. Если самосопряженное преобразование имеет различные собственные значения
, то в
существует ортонорми-рованный базис из n собственных векторов этого преобразования. В этом базисе матрица преобразования диагональна:
.
Доказательство. Утверждение теоремы получаем на основании следствия из теоремы 4.2 и теоремы 4.7.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.9. Геометрическая кратность любого собственного значения самосопряженного преобразования равна его алгебраической кратности.(Без доказательства).
Следствие. Любая симметрическая матрица простая.
Простая матрица приводится к диагональному виду с собственными значениями на главной диагонали с учетом их кратности. Это дает возможность, в частности, очевидным образом решать вопрос о положительной определен-ности матрицы.
Теорема 4.10. Вещественная симметрическая матрица A размера ранга
неотрицательно определена в том и только в том случае, когда A имеет r положительных собственных значений и
собственных значений, равных нулю. В частности, вещественная симметрическая матрица A определена положительно в том и в том случае, когда все ее собственные значения положительны.
|
|
4.3.2. Свойства преобразования
Пусть задано линейное отображение и его сопряженное отображение
.
10. Преобразование является самосопряженным и имеет неотрицательные собственные значения.
Самосопряженность следует из равенств . Пусть теперь
– собственное значение преобразования
. Умножим равенство
скалярно на x:
. Но
=
. Отсюда, в силу
, следует неотрицательность
. Причем
тогда и только тогда, когда
.
Аналогично доказывается самосопряженность преобразования .
20. Ядро преобразования совпадает с ядром преобразования A:
.
Из следует, что
. Поэтому
. Обратно, если
, то
. Отсюда
и
. Утверждение доказано.
Следствие. Квадратичная форма неотрицательно определена. Она положительно определена тогда и только тогда, когда
.
30. Преобразования и
имеют одинаковые ненулевые собственные значения с учетом их кратности.
Пусть - собственное значение самосопряженного преобразования
кратности
. По теореме 4.9 ему соответствует
линейно независимых собственных векторов
. Подействуем отображением
на левую и правую части равенства
,
. В результате получаем равенство
, где
. Так как по условию
, то из
следует, что
. Таким образом,
- собственное значение, а
– собственные векторы преобразования
.
|
|
Покажем, что векторы линейно независимы. Для этого рассмотрим равенство
. Действуя на это равенство преобразованием
и учитывая
, получаем:
=
=
= 0. Ввиду
последнее равенство может выполняться только при
. Следовательно, векторы
линейно независимы. Поскольку преобразование
, также как и
является самосопряженным, то по теореме 4.9 геометрическая и алгебраическая кратности каждого его собственного значения совпадают. Отсюда следует сформулированное выше свойство.
Сингулярные числа и базисы
Сингулярные базисы
Первым сингулярным базисом отображения A называется базис в пространстве
, состоящий из собственных ортонормированных векторов преобразования
, если векторы
упорядочены в порядке убывания соответствующих собственных значений:
.
Если , то
при
и
при
. Первый сингулярный базис получается следующим образом: 1) отыскиваются собственные векторы
преобразования
; 2) эти векторы нормируются; 3) полученная система векторов дополняется до ортонорми-рованного базиса в пространстве
векторами
из
. Последнее указывает на то, что первый сингулярный базис
задан неоднозначно.
|
|
Имеем . Отсюда следует, что
,
. (4.9)
Числа называются сингулярными числами отображения A.
Вторым сингулярным базисом отображения A называется ортонормированный базис в пространстве
, первые r векторов которого определяются как
, а остальные векторы
взяты из
. Линейные оболочки систем векторов
и
изоморфны друг другу.
К определению сингулярных базисов можно подойти также следующим образом. Пусть . Имеем
. Соотноше-ния
и
для
взаимно обратны. Если положить
и
приходим к симметричным формулам
и
, из которых следуют соотношения, определяющие сингулярные базисы:
(4.10)
Сингулярное разложение матрицы
Теорема 4.9. Вещественная матрица A размера ранга
может быть представлена в виде
, (4.11)
где U - ортогональная матрица размера , V - ортогональная матрица размера
,
- матрица размера
,
.
Доказательство. Пусть матрица A представляет отображение в паре ортогональных базисов
,
. Существование искомого разложения (4.11) следует из теоремы 2.1. Укажем явный вид матриц U, V и D. В качестве U и V возьмем матрицы, столбцы которых выражают соответственно второй сингулярный базис
в базисе
пространства
и первый сингулярный базис
в базисе
пространства
. Матрица D – это представление отображения
в сингулярных базисах.
Осталось учесть, что для ортогональных матриц справедливо соотношение . Теорема доказана.
Представление (4.11) называется сингулярным разложением матрицы.
Упражнения
1. Показать справедливость формулы (4.4).
2. Установить справедливость формул , где
– собственные значения матрицы A.
3. Доказать, что всякая простая матрица подобна диагональной матрице.
4. Доказать теорему 4.7.
4. Доказать самосопряженность преобразования .
5. В сингулярном разложении матрицы рассмотреть случаи различных соотно-шений между n, m и r.
6. Нарисовать схему, аналогичную схеме преобразования подобия, применительно к сингулярному разложению матрицы.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1427; Мы поможем в написании вашей работы!

Мы поможем в написании ваших работ!