Сингулярное разложение матрицы

Nbsp; § 4.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного линейного преобразования    

Общие свойства

Пусть  – евклидово пространство и  - самосопряженное преобразование в .

Теорема 4.6. Характеристическое уравнение самосопряженного отобра-жения имеет только действительные корни.

Доказательство. Пусть  – корень характеристического уравнения  и  – решение системы линейных алгебраических уравнений , где матрица  является вещественной симметри-ческой матрицей: ,  (« » - значек комплексного сопряжения). Умножим равенство  слева на комплексно-сопряженный вектор-строку : . Отсюда . Знаменатель получившей-ся дроби – действительное число: . Числитель также действительное число, поскольку , и, ввиду  и ,  = =  . Теорема доказана.

Следствие 1. Самосопряженное преобразование  имеет n собственных значений с учетом их кратности.

Следствие 2. Вещественная симметрическая матрица  имеет n собственных значений с учетом их кратности.

Теорема 4.7. Собственные векторы самосопряженного преобразования , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть ,  – собственные векторы преобразования A, соответствующие собственным значениям : , . Умножим первое равенство скалярно справа на : , а второе равенство скалярно слева на : . Отсюда и из условия  следует, что . Поскольку , то , т.е.  для .

Следствие. Собственные вектор-столбцы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.         

Теорема 4.8. Если самосопряженное преобразование  имеет различные собственные значения , то в  существует ортонорми-рованный базис из n собственных векторов этого преобразования. В этом базисе матрица преобразования диагональна: .

Доказательство. Утверждение теоремы получаем на основании следствия из теоремы 4.2 и теоремы 4.7.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.9. Геометрическая кратность любого собственного значения самосопряженного преобразования равна его алгебраической кратности.(Без доказательства).

Следствие. Любая симметрическая матрица простая.

Простая матрица приводится к диагональному виду с собственными значениями на главной диагонали с учетом их кратности. Это дает возможность, в частности, очевидным образом решать вопрос о положительной определен-ности матрицы.

 Теорема 4.10. Вещественная симметрическая матрица A размера  ранга  неотрицательно определена в том и только в том случае, когда A имеет r положительных собственных значений и  собственных значений, равных нулю. В частности, вещественная симметрическая матрица A определена положительно в том и в том случае, когда все ее собственные значения положительны.

 

 

4.3.2. Свойства преобразования

 

Пусть задано линейное отображение  и его сопряженное отображение .

 

1⁰. Преобразование  является самосопряженным и имеет неотрицательные собственные значения.

Самосопряженность следует из равенств . Пусть теперь  – собственное значение преобразования . Умножим равенство  скалярно на x: . Но  = . Отсюда, в силу , следует неотрицательность . Причем  тогда и только тогда, когда .

Аналогично доказывается самосопряженность преобразования .

2⁰. Ядро преобразования  совпадает с ядром преобразования A: .

Из  следует, что . Поэтому . Обратно, если , то . Отсюда  и . Утверждение доказано.

 

Следствие. Квадратичная форма  неотрицательно определена. Она положительно определена тогда и только тогда, когда .

3⁰. Преобразования  и  имеют одинаковые ненулевые собственные значения с учетом их кратности.

Пусть  - собственное значение самосопряженного преобразования  кратности . По теореме 4.9 ему соответствует  линейно независимых собственных векторов . Подействуем отображением  на левую и правую части равенства , . В результате получаем равенство , где .  Так как по условию , то из  следует, что . Таким образом,  - собственное значение, а  – собственные векторы преобразования .

Покажем, что векторы  линейно независимы. Для этого рассмотрим равенство . Действуя на это равенство преобразованием  и учитывая , получаем:  =  =  = 0. Ввиду  последнее равенство может выполняться только при . Следовательно, векторы  линейно независимы. Поскольку преобразование , также как и  является самосопряженным, то по теореме 4.9 геометрическая и алгебраическая кратности каждого его собственного значения совпадают. Отсюда следует сформулированное выше свойство.

Сингулярные числа и базисы

Сингулярные базисы

Первым сингулярным базисом  отображения A называется базис в пространстве , состоящий из собственных ортонормированных векторов преобразования , если векторы  упорядочены в порядке убывания соответствующих собственных значений: .

Если , то  при  и  при . Первый сингулярный базис получается следующим образом: 1) отыскиваются собственные векторы  преобразования ; 2) эти векторы нормируются; 3) полученная система векторов дополняется до ортонорми-рованного базиса в пространстве  векторами  из . Последнее указывает на то, что первый сингулярный базис  задан неоднозначно.

Имеем . Отсюда следует, что

 

, .                         (4.9)

 

Числа называются сингулярными числами отображения A.

 

Вторым сингулярным базисом  отображения A называется ортонормированный базис в пространстве , первые r векторов которого определяются как , а остальные векторы  взяты из . Линейные оболочки систем векторов  и  изоморфны друг другу.

К определению сингулярных базисов можно подойти также следующим образом. Пусть . Имеем . Соотноше-ния  и  для  взаимно обратны. Если положить  и  приходим к симметричным формулам  и , из которых следуют соотношения, определяющие сингулярные базисы:

 

          (4.10)

 

 

Сингулярное разложение матрицы

 

Теорема 4.9. Вещественная матрица A размера  ранга  может быть представлена в виде

 

,                                            (4.11)

 

где U - ортогональная матрица размера , V - ортогональная матрица размера ,   - матрица размера , .

Доказательство. Пусть матрица A представляет отображение  в паре ортогональных базисов , . Существование искомого разложения (4.11) следует из теоремы 2.1. Укажем явный вид матриц U, V и D. В качестве U и V возьмем матрицы, столбцы которых выражают соответственно второй сингулярный базис  в базисе  пространства  и первый сингулярный базис  в базисе  пространства . Матрица D – это представление отображения  в сингулярных базисах.

Осталось учесть, что для ортогональных матриц справедливо соотношение . Теорема доказана.

 

 

Представление (4.11) называется сингулярным разложением матрицы.

 

Упражнения

1. Показать справедливость формулы (4.4).

2. Установить справедливость формул , где  – собственные значения матрицы A.

3. Доказать, что всякая простая матрица подобна диагональной матрице.

4. Доказать теорему 4.7.

4. Доказать самосопряженность преобразования .

5. В сингулярном разложении матрицы рассмотреть случаи различных соотно-шений между n, m и r.

6. Нарисовать схему, аналогичную схеме преобразования подобия, применительно к сингулярному разложению матрицы.