Сингулярное разложение матрицы

Nbsp; § 4.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного линейного преобразования

Общие свойства

Пусть – евклидово пространство и - самосопряженное преобразование в .

Теорема 4.6. Характеристическое уравнение самосопряженного отобра-жения имеет только действительные корни.

Доказательство. Пусть – корень характеристического уравнения и – решение системы линейных алгебраических уравнений , где матрица является вещественной симметри-ческой матрицей: , (« » - значек комплексного сопряжения). Умножим равенство слева на комплексно-сопряженный вектор-строку : . Отсюда . Знаменатель получившей-ся дроби – действительное число: . Числитель также действительное число, поскольку , и, ввиду и , = = . Теорема доказана.

Следствие 1. Самосопряженное преобразование имеет n собственных значений с учетом их кратности.

Следствие 2. Вещественная симметрическая матрица имеет n собственных значений с учетом их кратности.

Теорема 4.7. Собственные векторы самосопряженного преобразования , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть , – собственные векторы преобразования A, соответствующие собственным значениям : , . Умножим первое равенство скалярно справа на : , а второе равенство скалярно слева на : . Отсюда и из условия следует, что . Поскольку , то , т.е. для .

Следствие. Собственные вектор-столбцы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Теорема 4.8. Если самосопряженное преобразование имеет различные собственные значения , то в существует ортонорми-рованный базис из n собственных векторов этого преобразования. В этом базисе матрица преобразования диагональна: .

Доказательство. Утверждение теоремы получаем на основании следствия из теоремы 4.2 и теоремы 4.7.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.9. Геометрическая кратность любого собственного значения самосопряженного преобразования равна его алгебраической кратности.(Без доказательства).

Следствие. Любая симметрическая матрица простая.

Простая матрица приводится к диагональному виду с собственными значениями на главной диагонали с учетом их кратности. Это дает возможность, в частности, очевидным образом решать вопрос о положительной определен-ности матрицы.

Теорема 4.10. Вещественная симметрическая матрица A размера ранга неотрицательно определена в том и только в том случае, когда A имеет r положительных собственных значений и собственных значений, равных нулю. В частности, вещественная симметрическая матрица A определена положительно в том и в том случае, когда все ее собственные значения положительны.

4.3.2. Свойства преобразования

Пусть задано линейное отображение и его сопряженное отображение .

1⁰. Преобразование является самосопряженным и имеет неотрицательные собственные значения.

Самосопряженность следует из равенств . Пусть теперь – собственное значение преобразования . Умножим равенство скалярно на x: . Но = . Отсюда, в силу , следует неотрицательность . Причем тогда и только тогда, когда .

Аналогично доказывается самосопряженность преобразования .

2⁰. Ядро преобразования совпадает с ядром преобразования A: .

Из следует, что . Поэтому . Обратно, если , то . Отсюда и . Утверждение доказано.

Следствие. Квадратичная форма неотрицательно определена. Она положительно определена тогда и только тогда, когда .

3⁰. Преобразования и имеют одинаковые ненулевые собственные значения с учетом их кратности.

Пусть - собственное значение самосопряженного преобразования кратности . По теореме 4.9 ему соответствует линейно независимых собственных векторов . Подействуем отображением на левую и правую части равенства , . В результате получаем равенство , где . Так как по условию , то из следует, что . Таким образом, - собственное значение, а – собственные векторы преобразования .

Покажем, что векторы линейно независимы. Для этого рассмотрим равенство . Действуя на это равенство преобразованием и учитывая , получаем: = = = 0. Ввиду последнее равенство может выполняться только при . Следовательно, векторы линейно независимы. Поскольку преобразование , также как и является самосопряженным, то по теореме 4.9 геометрическая и алгебраическая кратности каждого его собственного значения совпадают. Отсюда следует сформулированное выше свойство.

Сингулярные числа и базисы

Сингулярные базисы

Первым сингулярным базисом отображения A называется базис в пространстве , состоящий из собственных ортонормированных векторов преобразования , если векторы упорядочены в порядке убывания соответствующих собственных значений: .

Если , то при и при . Первый сингулярный базис получается следующим образом: 1) отыскиваются собственные векторы преобразования ; 2) эти векторы нормируются; 3) полученная система векторов дополняется до ортонорми-рованного базиса в пространстве векторами из . Последнее указывает на то, что первый сингулярный базис задан неоднозначно.

Имеем . Отсюда следует, что

, . (4.9)

Числа называются сингулярными числами отображения A.

Вторым сингулярным базисом отображения A называется ортонормированный базис в пространстве , первые r векторов которого определяются как , а остальные векторы взяты из . Линейные оболочки систем векторов и изоморфны друг другу.

К определению сингулярных базисов можно подойти также следующим образом. Пусть . Имеем . Соотноше-ния и для взаимно обратны. Если положить и приходим к симметричным формулам и , из которых следуют соотношения, определяющие сингулярные базисы:

(4.10)

Сингулярное разложение матрицы

Теорема 4.9. Вещественная матрица A размера ранга может быть представлена в виде

, (4.11)

где U - ортогональная матрица размера , V - ортогональная матрица размера , - матрица размера , .

Доказательство. Пусть матрица A представляет отображение в паре ортогональных базисов , . Существование искомого разложения (4.11) следует из теоремы 2.1. Укажем явный вид матриц U, V и D. В качестве U и V возьмем матрицы, столбцы которых выражают соответственно второй сингулярный базис в базисе пространства и первый сингулярный базис в базисе пространства . Матрица D – это представление отображения в сингулярных базисах.