Сингулярное разложение матрицы
Nbsp; § 4.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного линейного преобразования
Общие свойства
Пусть 
– евклидово пространство и 
- самосопряженное преобразование в .
Теорема 4.6. Характеристическое уравнение самосопряженного отобра-жения имеет только действительные корни.
Доказательство. Пусть 
– корень характеристического уравнения 
и 
– решение системы линейных алгебраических уравнений 
, где матрица 
является вещественной симметри-ческой матрицей: 
, 
(« 
» - значек комплексного сопряжения). Умножим равенство слева на комплексно-сопряженный вектор-строку 
: 
. Отсюда 
. Знаменатель получившей-ся дроби – действительное число: 
. Числитель также действительное число, поскольку 
, и, ввиду и , 
= 
= 
. Теорема доказана.
Следствие 1. Самосопряженное преобразование 
имеет n собственных значений с учетом их кратности.
Следствие 2. Вещественная симметрическая матрица 
имеет n собственных значений с учетом их кратности.
Теорема 4.7. Собственные векторы самосопряженного преобразования 
, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть 
, 
– собственные векторы преобразования A, соответствующие собственным значениям 
: 
, 
. Умножим первое равенство скалярно справа на 
: 
, а второе равенство скалярно слева на : 
. Отсюда и из условия 
следует, что 
. Поскольку , то 
, т.е. 
для 
.
|
|
|
Следствие. Собственные вектор-столбцы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Теорема 4.8. Если самосопряженное преобразование имеет различные собственные значения 
, то в существует ортонорми-рованный базис из n собственных векторов этого преобразования. В этом базисе матрица преобразования диагональна: 
.
Доказательство. Утверждение теоремы получаем на основании следствия из теоремы 4.2 и теоремы 4.7.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.9. Геометрическая кратность любого собственного значения самосопряженного преобразования равна его алгебраической кратности.(Без доказательства).
Следствие. Любая симметрическая матрица простая.
Простая матрица приводится к диагональному виду с собственными значениями на главной диагонали с учетом их кратности. Это дает возможность, в частности, очевидным образом решать вопрос о положительной определен-ности матрицы.
Теорема 4.10. Вещественная симметрическая матрица A размера 
ранга 
неотрицательно определена в том и только в том случае, когда A имеет r положительных собственных значений и 
собственных значений, равных нулю. В частности, вещественная симметрическая матрица A определена положительно в том и в том случае, когда все ее собственные значения положительны.
|
|
|
4.3.2. Свойства преобразования 
Пусть задано линейное отображение 
и его сопряженное отображение 
.
10. Преобразование 
является самосопряженным и имеет неотрицательные собственные значения.
Самосопряженность следует из равенств 
. Пусть теперь – собственное значение преобразования . Умножим равенство 
скалярно на x: 
. Но 
= 
. Отсюда, в силу 
, следует неотрицательность . Причем 
тогда и только тогда, когда 
.
Аналогично доказывается самосопряженность преобразования 
.
20. Ядро преобразования совпадает с ядром преобразования A: 
.
Из следует, что 
. Поэтому 
. Обратно, если , то 
. Отсюда и 
. Утверждение доказано.
Следствие. Квадратичная форма 
неотрицательно определена. Она положительно определена тогда и только тогда, когда 
.
30. Преобразования и имеют одинаковые ненулевые собственные значения с учетом их кратности.
Пусть - собственное значение самосопряженного преобразования кратности 
. По теореме 4.9 ему соответствует линейно независимых собственных векторов 
. Подействуем отображением 
на левую и правую части равенства 
, 
. В результате получаем равенство 
, где 
. Так как по условию 
, то из следует, что 
. Таким образом, - собственное значение, а 
– собственные векторы преобразования .
|
|
|
Покажем, что векторы 
линейно независимы. Для этого рассмотрим равенство 
. Действуя на это равенство преобразованием 
и учитывая , получаем: 
= 
= 
= 0. Ввиду 
последнее равенство может выполняться только при 
. Следовательно, векторы линейно независимы. Поскольку преобразование , также как и является самосопряженным, то по теореме 4.9 геометрическая и алгебраическая кратности каждого его собственного значения совпадают. Отсюда следует сформулированное выше свойство.
Сингулярные числа и базисы
Сингулярные базисы
Первым сингулярным базисом 
отображения A называется базис в пространстве 
, состоящий из собственных ортонормированных векторов преобразования , если векторы упорядочены в порядке убывания соответствующих собственных значений: 
.
Если 
, то 
при 
и 
при 
. Первый сингулярный базис получается следующим образом: 1) отыскиваются собственные векторы 
преобразования ; 2) эти векторы нормируются; 3) полученная система векторов дополняется до ортонорми-рованного базиса в пространстве векторами 
из 
. Последнее указывает на то, что первый сингулярный базис задан неоднозначно.
|
|
|
Имеем 
. Отсюда следует, что
, 
. (4.9)
Числа 
называются сингулярными числами отображения A.
Вторым сингулярным базисом 
отображения A называется ортонормированный базис в пространстве 
, первые r векторов которого определяются как 
, а остальные векторы 
взяты из 
. Линейные оболочки систем векторов 
и 
изоморфны друг другу.
К определению сингулярных базисов можно подойти также следующим образом. Пусть 
. Имеем 
. Соотноше-ния и 
для взаимно обратны. Если положить 
и 
приходим к симметричным формулам 
и 
, из которых следуют соотношения, определяющие сингулярные базисы:
(4.10)
Сингулярное разложение матрицы
Теорема 4.9. Вещественная матрица A размера 
ранга 
может быть представлена в виде
, (4.11)
где U - ортогональная матрица размера 
, V - ортогональная матрица размера , 
- матрица размера 
, 
.
Доказательство. Пусть матрица A представляет отображение в паре ортогональных базисов 
, 
. Существование искомого разложения (4.11) следует из теоремы 2.1. Укажем явный вид матриц U, V и D. В качестве U и V возьмем матрицы, столбцы которых выражают соответственно второй сингулярный базис 
в базисе 
пространства и первый сингулярный базис в базисе 
пространства . Матрица D – это представление отображения 
в сингулярных базисах.
Осталось учесть, что для ортогональных матриц справедливо соотношение 
. Теорема доказана.
Представление (4.11) называется сингулярным разложением матрицы.
Упражнения
1. Показать справедливость формулы (4.4).
2. Установить справедливость формул 
, где 
– собственные значения матрицы A.
3. Доказать, что всякая простая матрица подобна диагональной матрице.
4. Доказать теорему 4.7.
4. Доказать самосопряженность преобразования .
5. В сингулярном разложении матрицы рассмотреть случаи различных соотно-шений между n, m и r.
6. Нарисовать схему, аналогичную схеме преобразования подобия, применительно к сингулярному разложению матрицы.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1585; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!