ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБКИ ИЗ ВЕЛИЧИНЫ

Систематические и случайные ошибки

Измеряя какую-нибудь физическую величину, не удается получить ее истинное значение. Поэтому необходимо указать, насколько полученный результат может быть близким к истинному значению, т.е. указать, какова точность измерения. Для этого вместе с полученным результатом указывают приближенную ошибку измерения.

Оценивать ошибки необходимо, так как, не зная их величину, сделать определенных выводов из эксперимента нельзя.

Чаще всего с понятием "точность экспериментальных данных" связывают величину максимально возможной ошибки. Так, например, если утверждают, что точность полученных значений плотности 0,2%; то это значит, что величина максимально возможной ошибки в этих данных не превышает 0,25%.

Источники ошибок экспериментальных данных многочисленны, и здесь в первую очередь следует указать на имеющиеся всегда погрешности приборов, используемых при измерениях, несовершенство методики измерения, недостаточно строгое поддержание требуемого режима во время опыта, а также отдельные ошибки самого экспериментатора при работе на установке.

Ошибки измерения принято делить на систематические и случайные.

К систематическим ошибкам относят такие, которые получаются всегда на данной установке; они имеют одну и ту же величину, и в окончательный результат измерений вносят одну и ту же погрешность.

Систематические ошибки лучше всего могут быть обнаружены при сравнивании экспериментальных данных, полученных на различных установках. Некоторые из них могут быть устранены, а другие устранить невозможно. Так, например, ошибка величиной не более 0,04 °С при измерении температуры термометром сопротивления устранена быть не может, так как гарантировать большую точность измерения температуры (при t = 500°С) просто невозможно.

Случайные ошибки проявляются в так называемом разбросе экспериментальных данных. Это означает, что при многократном измерении одной и той же величины на одной и той же установке и с теми же приборами (манометрами, термометрами и т.д.) получаются несколько отличающиеся друг от друга значения.

Влияние случайных ошибок на окончательный результат измерения можно значительно снизить, многократно повторяя измерения и выбирая в качестве окончательного среднее значение из многих полученных.

Полностью исключить случайные ошибки, т.е. полностью избавиться от разброса экспериментальных данных, невозможно: следует стремиться к более строгому поддержанию режима при измерении и тщательному выполнению отсчетов по приборам.

Максимально возможная ошибка одного измерения

Необходимо выяснить, как будут влиять ошибки измерения отдельных величин на искомую величину, определяемую при помощи формулы. Разберем этот вопрос в общем виде.

Пусть искомая величина W является функцией нескольких (допустим, трех) величин, измеряемых непосредственно в опыте:

w=f(x,y,z)

(1)

Если бы ошибки в измерении величин x,y и zбыли бесконечно малыми, то ошибка в величине w, определялась бы ее полным дифференциалом:

(2)

В действительности, ошибки в измерения величин x, yи zне будут бесконечно малыми, однако для расчета величины ошибки можно воспользоваться аналогичной формулой, подставляя вместо dx, dyи dzдействительно конечные величины ошибок Δx, Δyи Δz.

Итак, получаем:

(3)

где Δw - максимально возможная абсолютная ошибка искомой величины w;

Δx, Δyи Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, yиz

По формуле (3) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.

В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (3) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.

Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (3) на W, т.е.:

(4)

Формула (4) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной зависимости w=f(x,y,z).

Для выражения δw в процентах формулу (4) следует умножить на 100.

В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.

Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, yиz в различных степенях и постоянной А, т.е.:

w=A·x^α · y^β · z^γ (5)

Причем α, βи γмогут быть любыми положительными или отрицательными числами. Заметим, что формула (5) охватывает случаи, описанные формулами (1) и (2).

Для функциональной зависимости (5) можно получить более конкретное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.

Возьмем производные, входящие в (4):

(6)

Подставив в (4) эти значения и значение w по (5), получим:

(7)

Откуда:

(8)

Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:

(9)



Окончательно получаем:

δw=|αδx|+|βδy|+|γδz| (10)

Эта формула еще больше упрощается, если α, βиγ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:

δw=|δx|+|δy|+|δz|    (11)

Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых величин x, yиz в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.

Разберем другой случай. Пусть:

w = x + y + z (12)

Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (4) получим:

(13)

Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (13).

Для этого преобразуем каждое слагаемое в (13):

(14)



Тогда для функциональной зависимости (12) получим формулу для расчета ошибки:

(15)

Вполне естественно, что формулы (4) - (15) могут быть распространены на любое число переменных.

Величина относительной ошибки искомой величины в (10), (11) и (15) будет выражена в процентах, если δx, δyиδz подставляются также в процентах.

Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:

w= x – y (16)

Если величины x и у близки друг другу по величине, то вследствие погрешностей этих величин искомое значение w может получиться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.

Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,

Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной погрешностью:

w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2.



Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях xиy так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:

Применяя к этому случаю формулу (15), получаем тот же результат:

Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 488; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!