Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
8.1. Понятие кратного интеграла. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Сведение двойного и тройного интеграла к повторному.
8.2. Замена переменных в кратных интегралах. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Интеграл Эйлера-Пуассона. Г-функция и ее свойства.
8.3. Понятие о криволинейных интегралах. Их свойства и вычисление.
Дифференциальные уравнения
9.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.
9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Общий интеграл.
9.3. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, линейные уравнения, уравнения Бернулли). Автономные уравнения и их свойства.
9.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
9.5. Линейные дифференциальные уравнения. Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения. Фундаментальная система решений, связь с определителем Вронского. Связь между общими решениями однородного и неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных.
9.6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и его связь с фундаментальной системой решений однородного уравнения. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида.
|
|
|
9.7. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
9.8. Системы линейных дифференциальных уравнений. Метод исключения неизвестных. Пространство решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем. Метод вариации постоянных.
9.9. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и его связь с фундаментальной системой решений однородной системы.
9.10. Понятие о дифференциальных уравнениях в частных производных. Линейное уравнение в частных производных первого порядка. Связь с характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами.
|
|
|
9.11. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Разностные уравнения
10.1. Экономические задачи, приводящие к разностным уравнениям. Модели экономической динамики с дискретным временем (паутинные модели рынка, модель Самуэльсона-Хикса).
10.2. Разностные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
10.3. Линейные разностные уравнения: однородные и неоднородные. Фундаментальная система решений однородного уравнения, связь с определителем Казоратти. Теорема обобщем решении неоднородного уравнения.
10.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
10.5. Системы разностныхуравнений. Задача Коши для нормальной системы разностных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Системы линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
Теория вероятностей
11.1. Случайные события и предмет теории вероятностей. Статистическое определение вероятности случайного события. Алгебра событий. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
|
|
|
11.2. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания.
11.3. Классический способ подсчета вероятностей. Геометрические вероятности. Правило сложения вероятностей.
11.4. Условная вероятность. Независимые события и правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
11.5. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли). Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.
11.6. Дискретная случайная величина и ее закон распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс. Свойства математического ожидания и дисперсии.
11.7. Дискретные распределения специального вида (биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое) и их числовые характеристики.
11.8. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения. Непрерывные случайные величины; абсолютно непрерывные случайные величины. Свойства функции плотности. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, начальные и центральные моменты. Характеристические функции и их свойства.
|
|
|
11.9. Непрерывные распределения специального вида (равномерное, показательное, распределение Лапласа) и их числовые характеристики.
11.10. Нормальное распределение и его свойства. Роль нормального закона в приложениях теории вероятностей.
11.11. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.
11.12. Системы случайных величин. Функция распределения. Условные распределения случайных величин. Условные математические ожидания. Числовые характеристики системы случайных величин. Ковариационная матрица. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.
11.13. Закон распределения функции двух случайных величин. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
11.14. Нормальный закон на плоскости. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду.
11.15. Функции случайных величин и случайных векторов, их законы распределения. Характеристики случайных функций. Линейные преобразования случайных функций.
Математическая статистика
12.1. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия.
12.2. Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные. Погрешность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Определение необходимого объема выборки.
12.3. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о виде распределения.
12.4. Линейная регрессионная модель с двумя переменными. Оценки параметров регрессии методом наименьших квадратов. Оценка дисперсии ошибок.
Вопросы для подготовки к зачету, примерная тематика контрольных работ ( 1,2,3 семестры )
1. Арифметические векторы и линейные операции над ними (сложение, умножение на скаляр).
2. Линейные векторные пространства общего вида.
3. Подпространство линейного пространства.
4. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.
5. Базис пространства Rn. Ортогональный и ортонормированный базис вRn.
6. Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы.
7. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы системы.
9. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.
10. Определители второго, третьего и п-го порядков, их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу).
11. Обратная матрица и способы ее нахождения. Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.
12. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричного уравнения АХ = В.
13. Комплексные числа и действия с ними.
14. Модуль и аргумент комплексного числа.
15. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
16. Основная теорема алгебры.
17. Линейные преобразования и матрицы.
18. Ортогональные матрицы.
19. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы. Их свойства. Характеристический многочлен.
20. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц.
21. Продуктивность неотрицательных матриц. Связь продуктивности с числом Фробениуса и мультипликатором Леонтьева.
22. Собственные значения и собственные векторы симметричных матриц.
23. Матрица квадратичной формы.
24. Понятие об аффинном пространстве Rn.
25. Выпуклые множества в пространстве Rn.
26. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения.
27. Примеры экономико-математических моделей (задачи о банке, о распределении ресурсов, о диете, транспортная задача).
28. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных.
29. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод).
30. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования.
31. Основные теоремы двойственности. Несимметричные двойственные задачи.
32. Множества. Операции с множествами.
33. Функция. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
34. Числовые последовательности. Теорема о зажатой последовательности.
35. Монотонные последовательности и их пределы. Существование предела монотонной ограниченной последовательности Число e.
36. Предел функции в точке и на бесконечности. Асимптоты функций.
37. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций.
38. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация.
39. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, достижение промежуточных значений, равномерная непрерывность.
40. Производная функции, ее геометрический смысл.
41. Понятие функции, дифференцируемой в точке.
42. Эластичность функции и ее свойства.
43. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.
44. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
45. Правило Лопиталя.
46. Производные и дифференциалы высших порядков.
47. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
48. Условия монотонности функции.Отыскание наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке.
49. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
50. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
51. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
52. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
53. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.
54. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства.
55. Теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним пределом.
56. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.
57. Множества в Rn: открытые, замкнутые, ограниченные, выпуклые. Компактность.
58. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными.
59. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
60. Однородные функции. Формула Эйлера.
61. Производственные функции и функции полезности.
62. Неявные функции. Теоремы существования.
63. Дифференцирование неявных функций.
64. Экстремумы функций нескольких переменных. Метод наименьших квадратов.
65. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
66. Направление выпуклости.
Вопросы для подготовки к экзамену ( 4 семестр )
1. Арифметические векторы и линейные операции над ними (сложение, умножение на скаляр).
2. Линейные векторные пространства общего вида.
3. Подпространство линейного пространства.
4. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.
5. Базис пространства Rn. Ортогональный и ортонормированный базис вRn.
6. Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы.
7. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы системы.
9. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.
10. Определители второго, третьего и п-го порядков, их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу).
11. Обратная матрица и способы ее нахождения. Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.
12. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричного уравнения АХ = В.
13. Комплексные числа и действия с ними.
14. Модуль и аргумент комплексного числа.
15. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
16. Основная теорема алгебры.
17. Линейные преобразования и матрицы.
18. Ортогональные матрицы.
19. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы. Их свойства. Характеристический многочлен.
20. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц.
21. Продуктивность неотрицательных матриц. Связь продуктивности с числом Фробениуса и мультипликатором Леонтьева.
22. Собственные значения и собственные векторы симметричных матриц.
23. Матрица квадратичной формы.
24. Понятие об аффинном пространстве Rn.
25. Выпуклые множества в пространстве Rn.
26. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения.
27. Примеры экономико-математических моделей (задачи о банке, о распределении ресурсов, о диете, транспортная задача).
28. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных.
29. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод).
30. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования.
31. Основные теоремы двойственности. Несимметричные двойственные задачи.
32. Множества. Операции с множествами.
33. Функция. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
34. Числовые последовательности. Теорема о зажатой последовательности.
35. Монотонные последовательности и их пределы. Существование предела монотонной ограниченной последовательности Число e.
36. Предел функции в точке и на бесконечности. Асимптоты функций.
37. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций.
38. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация.
39. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, достижение промежуточных значений, равномерная непрерывность.
40. Производная функции, ее геометрический смысл.
41. Понятие функции, дифференцируемой в точке.
42. Эластичность функции и ее свойства.
43. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.
44. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.
45. Правило Лопиталя.
46. Производные и дифференциалы высших порядков.
47. Формула Тейлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
48. Условия монотонности функции.Отыскание наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке.
49. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.
50. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
51. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
52. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
53. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых классов иррациональных и трансцендентных функций.
54. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства.
55. Теорема о среднем значении. Интеграл с переменным верхним пределом.
56. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.
57. Множества в Rn: открытые, замкнутые, ограниченные, выпуклые. Компактность.
58. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными.
59. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
60. Однородные функции. Формула Эйлера.
61. Производственные функции и функции полезности.
62. Неявные функции. Теоремы существования.
63. Дифференцирование неявных функций.
64. Экстремумы функций нескольких переменных. Метод наименьших квадратов.
65. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
66. Направление выпуклости.
67. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.
68. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости (сравнения, Даламбера, интегральный).
69. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
70. Функциональные ряды. Область сходимости. Правильная сходимость.
71. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование.
72. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена.
73. Матричные степенные ряды и условия их сходимости.
74. Понятие кратного интеграла. Двойной и тройной интегралы, их свойства.
75. Замена переменных в кратных интегралах. Г-функция и ее свойства.
76. Понятие о криволинейных интегралах. Их свойства и вычисление.
77. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Модели экономической динамики с непрерывным временем.
78. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Задача Коши.
79. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, линейные уравнения, уравнения Бернулли). Автономные уравнения и их свойства.
80. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
81. Фундаментальная система решений, связь с определителем Вронского.
82. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
83. Нормальная система дифференциальных уравнений.
84. Векторная запись нормальной системы.
85. Системы линейных дифференциальных уравнений. Метод исключения неизвестных.
86. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
87. Характеристическое уравнение и его связь с фундаментальной системой решений однородной системы.
88. Понятие о дифференциальных уравнениях в частных производных.
89. Линейное уравнение в частных производных первого порядка.
90. Связь с характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
91. Классификация линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами.
92. Экономические задачи, приводящие к разностным уравнениям.
93. Разностные уравнения первого порядка. Задача Коши.
94. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
95. Линейные разностные уравнения: однородные и неоднородные.
96. Фундаментальная система решений однородного уравнения, связь с определителем Казоратти.
97. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
98. Системы разностныхуравнений. Задача Коши для нормальной системы разностных уравнений.
99. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
100. Случайные события и предмет теории вероятностей.
101. Статистическое определение вероятности случайного
102. Комбинаторное правило умножения. Размещения, перестановки и сочетания.
103. Условная вероятность. Независимые события и правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
104. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли). Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.
105. Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
106. Дискретные распределения специального вида (биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое) и их числовые характеристики.
107. Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.
108. Непрерывные случайные величины; абсолютно непрерывные случайные величины. Свойства функции плотности.
109. Числовые характеристики абсолютно непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение, начальные и центральные моменты. Характеристические функции и их свойства.
110. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.
111. Системы случайных величин. Функция распределения.
112. Закон распределения функции двух случайных величин. Закон распределения суммы двух случайных величин.
113. Композиция законов распределения.
114. Нормальный закон на плоскости. Эллипсы рассеивания.
115. Приведение нормального закона к каноническому виду.
116. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд.
117. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия.
118. Статистические оценки: несмещенные, эффективные, состоятельные.
119. Понятие о критериях согласия.
120. Проверка гипотез о равенстве долей и средних.
121. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения.
122. Проверка гипотезы о виде распределения.
123. Линейная регрессионная модель с двумя переменными. Оценки параметров регрессии методом наименьших квадратов. Оценка дисперсии ошибок.
Литература
А) основная
1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов– М.: Высшая школа, 1982.
2. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Под ред. В.А.Колемаева. – М.: ИНФРА-М, 1999.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
4. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 1997
5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник для вузов: Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 1998.
6. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник для вузов: Ч. 2. – М.: Финансы и статистика, 1999.
7. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1985.
Б) дополнительная
1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1984.
2. Ашманов С.А. Математические модели в экономике. – М.: МГУ, 1980.
3. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. – М.: Филинъ, 1998.
4. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов.–М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000
5. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Изд-во РУДН, 1997.
6. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. М.: Финансы и статистика, 1998.
7. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 554; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!