Введение в математический анализ
Математика
Содержание
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.1. Арифметические векторы и линейные операции над ними (сложение, умножение на скаляр). Пространство Rn. Геометрический смысл пространств R2 и R3. Скалярное произведение векторов, его основные свойства. Неравенство Коши-Буняковского.
1.2. Линейные векторные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Коллинеарные и компланарные векторы. Размерность и базис линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.
1.3. Базис пространства Rn. Ортогональный и ортонормированный базис вRn. Разложение векторов в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации.
1.4. Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы.
1.5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
1.6. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы системы. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.
1.7. Определители второго, третьего и п-го порядков, их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Применения определителей. Критерий существования ненулевого решения однородной системы с квадратной матрицей. Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Нахождение ориентированной площади параллелограмма и ориентированного объема параллелепипеда с помощью определителей.
|
|
1.8. Обратная матрица и способы ее нахождения. Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричного уравнения АХ = В.
1.9. Комплексные числа и действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни n-той степени из комплексных чисел.
1.10. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.
1.11. Линейные преобразования и матрицы. Ядро и образ линейного преобразования. Теорема о размерности образа. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Сопряженное линейное преобразование и его матрица. Самосопряженные линейные преобразования и симметричные матрицы. Ортогональные матрицы.
1.12. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы. Их свойства. Характеристический многочлен.
|
|
1.13. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса. Число и вектор Фробениуса. Их свойства.
1.14. Продуктивность неотрицательных матриц. Связь продуктивности с числом Фробениуса и мультипликатором Леонтьева.
1.15. Собственные значения и собственные векторы симметричных матриц. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду.
1.16. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к главным осям.
1.17. Понятие об аффинном пространстве Rn. Прямая и гиперплоскость в пространствеRn. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости R2 и в пространстве R3. Прямая, отрезок, луч в Rn. Плоскость в R3; различные формы уравнений плоскости.
1.18. Выпуклые множества в пространстве Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn. Экстремальные значения линейной функции на выпуклой многогранной области.
|
|
1.19. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Классификация кривых второго порядка. Понятие о поверхностях второго порядка.
Линейное программирование
2.1. Примеры экономико-математических моделей (задачи о банке, о распределении ресурсов, о диете, транспортная задача). Формы задач линейного программирования: общая, стандартная, каноническая.
2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.
2.3. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод). Алгоритм симплекс-метода и его обоснование. Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса). Двухфазный симплекс-метод.
2.4. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Несимметричные двойственные задачи.
Введение в математический анализ
3.1. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств. Упорядоченные и частично упорядоченные множества..
3.2. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
|
|
3.3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности и его свойства. Связь между сходимостью и ограниченностью числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о зажатой последовательности.
3.4. Монотонные последовательности и их пределы. Существование предела монотонной ограниченной последовательности Число e.
3.5. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Асимптоты функций.
3.6. Пределы монотонных функций. I и II замечательные пределы. Формула непрерывных процентов.
3.7. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций.
3.8. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация.
3.9. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, достижение промежуточных значений, равномерная непрерывность.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 588; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!