Введение в математический анализ



Математика

Содержание

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Арифметические векторы и линейные операции над ними (сложение, умножение на скаляр). Пространство Rn. Геометрический смысл пространств R2 и R3. Скалярное произведение векторов, его основные свойства. Неравенство Коши-Буняковского.

1.2. Линейные векторные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Коллинеарные и компланарные векторы. Размерность и базис линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису.

1.3. Базис пространства Rn. Ортогональный и ортонормированный базис вRn. Разложение векторов в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации.

1.4. Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы.

1.5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.6. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы системы. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

1.7. Определители второго, третьего и п-го порядков, их свойства. Разложение определителя по строке (столбцу). Применения определителей. Критерий существования ненулевого решения однородной системы с квадратной матрицей. Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Нахождение ориентированной площади параллелограмма и ориентированного объема параллелепипеда с помощью определителей.

1.8. Обратная матрица и способы ее нахождения. Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение матричного уравнения АХ = В.

1.9. Комплексные числа и действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Корни n-той степени из комплексных чисел.

1.10. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.

1.11. Линейные преобразования и матрицы. Ядро и образ линейного преобразования. Теорема о размерности образа. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса. Сопряженное линейное преобразование и его матрица. Самосопряженные линейные преобразования и симметричные матрицы. Ортогональные матрицы.

1.12. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы. Их свойства. Характеристический многочлен.

1.13. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса. Число и вектор Фробениуса. Их свойства.

1.14. Продуктивность неотрицательных матриц. Связь продуктивности с числом Фробениуса и мультипликатором Леонтьева.

1.15. Собственные значения и собственные векторы симметричных матриц. Приведение симметричной матрицы к диагональному виду.

1.16. Билинейные и квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к главным осям.

1.17. Понятие об аффинном пространстве Rn. Прямая и гиперплоскость в пространствеRn. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости R2 и в пространстве R3. Прямая, отрезок, луч в Rn. Плоскость в R3; различные формы уравнений плоскости.

1.18. Выпуклые множества в пространстве Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn. Экстремальные значения линейной функции на выпуклой многогранной области.

1.19. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения. Классификация кривых второго порядка. Понятие о поверхностях второго порядка.

Линейное программирование

2.1. Примеры экономико-математических моделей (задачи о банке, о распределении ресурсов, о диете, транспортная задача). Формы задач линейного программирования: общая, стандартная, каноническая.

2.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.

2.3. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод). Алгоритм симплекс-метода и его обоснование. Нахождение исходного допустимого базиса (метод искусственного базиса). Двухфазный симплекс-метод.

2.4. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования. Основные теоремы двойственности. Несимметричные двойственные задачи.

Введение в математический анализ

3.1. Множества. Операции с множествами. Декартово произведение множеств. Отображения множеств. Упорядоченные и частично упорядоченные множества..

3.2. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3.3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности и его свойства. Связь между сходимостью и ограниченностью числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о зажатой последовательности.

3.4. Монотонные последовательности и их пределы. Существование предела монотонной ограниченной последовательности Число e.

3.5. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Асимптоты функций.

3.6. Пределы монотонных функций. I и II замечательные пределы. Формула непрерывных процентов.

3.7. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций.

3.8. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация.

3.9. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, достижение промежуточных значений, равномерная непрерывность.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 588; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!