Меры вариации непрерывного признака. Размах, дисперсия, среднее квадратическое . 



Наряду со средними величинами в статистике исчисляются показатели вариации. Вариацией в статистике называются различия индивидуальных значений изучаемого признака. Возникает вариация в силу того, что отдельные значения признака статистической совокупности формируются под воздействием разнообразных факторов. Значение изучения вариации в том, что по колеблемости признаков можно судить о качественной однородности совокупности. Совокупности могут иметь одинаковые значения средней величины, но отличаться колеблемостью индивидуальных значений.

Например: По имеющимся данным о дневной выработке рабочих двух бригад определить среднюю выработку рабочего за день в каждой бригаде, сделать вывод об однородности рассматриваемых совокупностей и надёжности их средних.

Выработка в первой бригаде: 31, 25, 30, 26, 28 деталей.

Выработка во второй бригаде: 27, 20, 56, 19, 18 деталей.

Решение:

Исходные данные не сгруппированы, поэтому для расчёта средней выработки применяем среднюю арифметическую простую. Средняя дневная выработка рабочего:

в первой бригаде

во второй бригаде

Среднедневная выработка рабочего в обеих бригадах одинакова, но индивидуальные значения выработки во второй бригаде подвержены значительным колебаниям. Это вызывает необходимость измерять вариацию.

К абсолютным показателям вариации относятся

размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Элементарным показателем колеблемости является размах вариации, который определяется как разность между наибольшим и наименьшим значением признака: R=Хmax - Xmin

В нашем примере размах вариации индивидуальной выработки:

в первой бригаде R1 =31-25=6 деталей

во второй бригаде R2 =56-18=38 деталей

Сравнение этих показателей свидетельствует о том, что размах вариации индивидуальной выработки во второй бригаде на 32 детали больше, чем в первой бригаде. Однако размах вариации не улавливает колеблемости вариантов внутри изучаемой совокупности. Для получения обобщающей характеристики колеблемости всех вариантов совокупности исчисляются другие показатели вариации.

Среднее линейное отклонение даёт обобщённую характеристику степени колеблемости признака в совокупности относительно среднего уровня признака и рассчитывается как средняя арифметическая из индивидуальных линейных отклонений по формуле:

- для невзвешенных данных

- для взвешенных данных

где - индивидуальное линейное отклонение.

Показатель среднего линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируют состав работающих, ритмичность производства, равномерность поставок материалов; разрабатывают системы материального стимулирования. Но этот показатель усложняет расчёты вероятностного типа, затрудняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических научных исследованиях для измерения вариации чаще всего применяют показатель дисперсии.

В статистике дисперсия, центральный момент второго порядка, является оценкой одноимённого показателя теории вероятностей и оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать теоретические положения этих дисциплин для анализа социально – экономических процессов. На дисперсии практически основаны все метод математической статистики. Большое значение имеет правило сложения дисперсий. Дисперсия рассчитывается как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от среднего

 

В статистическом исследовании очень часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также и между группами. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам.

Различают три вида дисперсий:

- общая;

- средняя внутригрупповая;

- межгрупповая.

Общая дисперсия ( ) характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия ( ) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам ( ):

,

а затем - рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия :

где ni - число единиц в группе

Межгрупповая дисперсия ( ) (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле:

где - средняя величина по отдельной группе.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов. Благодаря правилу сложения дисперсий можно определить, какая часть общей дисперсии находится под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки.

Правило сложения дисперсий широко применяется при исчислении показателей тесноты связи, в дисперсионном анализе, при оценке точности типической выборки и в ряде других случаев.

 

Среднее квадратическое отклонениеявляется обобщающей характеристикойразмеров вариации признака совокупности.Это -мера вариации, показатель надёжности средней. Чем меньше значение среднего квадратического отклонения, тем лучше средняя величинапредставляет собой рассматриваемую совокупность.Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:

Для расчёта показателей вариации в нашем примере строим вспомогательную таблицу:

Первая бригада

Вторая бригада

Выработка,деталей (Хi ) Индивидуальное линейное отклонение Выработка, деталей (Хi ) Индивидуальное линейное отклонение
25 |-3| 9 18 |-10| 100
26 |-2| 4 19 |-9| 81
28 0 0 20 |-8| 64
30 2 4 27 |-1| 1
31 3 9 56 28 784
Итого: 10 26   56 1030

Среднее линейное отклонение:

в первой бригаде ; во второй бригаде .

Дисперсия:

в первой бригаде ; во второй бригаде .

Среднее квадратическое отклонение:

в первой бригаде ; во второй бригаде

Таким образом, выполненные нами расчёты показывают, что колеблемость индивидуальных значений выработки во второй бригаде намного выше, чем в первой бригаде.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях исчисляют показатели вариации в относительных величинах. Базой для сравнения должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической (реже к медиане). Чаще всего они выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределения близкого к нормальному)


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1077; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!