Линейная (апериодическая) свертка конечных последовательностей
В том случае, если последовательности {х(k∆t)} и {у(k∆t)} являются каузальными, выражение (3.25) трансформируется к виду
(3.28)
Нижний предел здесь обусловлен тем фактом, что отсчёты каузальной последовательности {х(l∆t)} равны нулю при l < 0, а верхний − тем что отсчёты каузальной последовательности {у[(k−l)∆t]} равны нулю при k−l < 0, т.е. при l > k.
Последовательность {w(k∆t)}, определяемую соотношением (3.28), называют линейной, или апериодической сверткой последовательностей {х(k∆t)} и {у(k∆t)}.
Если {х(k∆t)} и {у(k∆t)} являются последовательностями конечной длины, содержащими соответственно N1 и N2 отсчетов, последовательность {w(k∆t)} также является конечной и имеет длину (N1+N2-1) отсчетов. В этом можно убедиться, если, задавшись конкретными {х(k∆t)} и {у(k∆t)}, с помощью формулы (3.28) вычислить все ненулевые отсчеты последовательности {w(k∆t)}.
Говоря о круговой свертке, мы сформулировали эффективный метод ее вычисления, называемый методой быстрой свертки. Рассмотрим возможности применения этого метода для вычисления линейной свертки.
Положим, что линейная свертка конечных последовательностей {х(k∆t)} и {у(k∆t)} − непериодическая последовательность конечной длины {w(k∆t)} − представляет один из периодов бесконечной периодической последовательности {wр(k∆t)}. Будем считать, что {wр(k∆t)} является круговой сверткой периодических последовательностей {хр(k∆t)} и {ур(k∆t)}. Как известно, период круговой свертки равен периоду свертываемых последовательностей. В нашем случае период {wр(k∆t)} равен длине {w(k∆t)}, т.е. равен (N1+N2-1), где N1 и N2 - длины последовательностей {х(k∆t)} и {у(k∆t)}. Поэтому для получения такого же результата, как и при круговой свертке, нужно, чтобы {х(k∆t)} и {у(k∆t)} также имели длину (N1+N2-1). Этого можно добиться, дополнив каждую из них соответствующими числами нулевых отсчетов. Таким образом, процедура вычисления линейной свертки методом быстрой свертки выглядит так:
|
|
|
1) каждая из свертываемых последовательностей дополняется соответствующим числом нулевых отсчетов до (N1+N2-1);
2) с помощью БПФ определяется ДПФ свертываемых последовательностей;
3) путем перемножения ДПФ последовательностей вычисляется ДПФ свертки;
4) с помощью БПФ определяется ОДПФ свертки, т.е. получается искомая последовательность {w(k∆t)}.
Секционированные свертки
В ряде практических задач необходимо вычислить линейную свертку двух конечных последовательностей, когда одна из них гораздо длиннее другой ( N1>>N2 или N1<<N2). В принципе всегда можно дополнить обе последовательности до L = N1+N2-1 и пользоваться алгоритмом быстрой свертки, но такой подход неэффективен и неудобен по ряду причин. Во-первых, перед вычислением свертки надо иметь всю более длинную последовательность. При обработке речевых сигналов это не всегда возможно. Во-вторых, так как обработка начинается только после приема всей последовательности, результат получается с большой задержкой. В-третьих, при больших L вычисление ДПФ значительно усложняется. От перечисленных недостатков свободны два метода вычисления свертки, называемые секционированными свертками. Они основаны на разбиении более длинной последовательности на секции и вычислении частичных сверток, из которых затем формируется искомая выходная последовательность.
|
|
|
Рассмотрим один из них, называемый методом перекрытия с суммированием. Сущность его иллюстрируется рис. 2.15.
Пусть последовательность {y(k∆t)} неограниченна, а {х(k∆t)} содержит N2 отсчетов. Разделим {y(k∆t)} на смежные секции длиной по N3 отсчетов, причем выберем NЗ того же порядка, что и N2. В результате последовательность {y(k∆t)} представляется в виде
, где 
Линейная свертка последовательностей {х(k∆t)} и {у(k∆t)}
|
|
|
Длина каждой из частичных сверток в полученной сумме равна (N3+N2-1) отсчетам, т.е. имеется участок длиной в (N2-1) отсчетов, на котором n-я и (n+1)-я частичные свертки перекрываются поэтому их отсчеты на участке перекрытия нужно сложить. На рисунке показано, как расположены и как суммируются соседние частичные свертки {wn(k∆t)}. Каждая из частичных сверток может быть вычислена методом быстрой свертки.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 936; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!