Вычисление ОДПФ с помощью алгоритма прямого ДПФ

Как показано в п. 3.1.2.3ОДПФ последовательности конечной длины определяется в соответствии с формулой (3.13), которая с учетом (3.18) может быть записана в виде 

Взяв выражение, комплексно сопряженное с данным, и умножив обе части его на N, получим:                                                          

Сравнивая полученное соотношение с (3.19), можно заметить, что его правая часть представляет собой ДПФ последовательности {X*(e^jω_n)} и может быть вычислена с помощью алгоритма БПФ.

Искомую последовательность {x(k∆t)} можно получить, взяв комплексно-сопряженное с последним выражение и разделив его на N, т.е.

                                                                           (3.24)

Таким образом, с помощью алгоритма БПФ можно вычислить часть выражения (3.24), заключенную в квадратные скобки. Для того, чтобы получить отсчеты х(k∆t), т.е. определить ОДПФ, нуж­но результаты БПФ подвергнуть комплексному сопряжению и разде­лить на N .

 

 

Свертка последовательностей

Свертка последовательностей - эта алгебраическое действие над двумя последовательностями. Данное действие играет боль­шую роль в теории дискретных линейных систем, так как позволяет определять выходной сигнал линейной системы по известному вход­ному воздействию и импульсной реакции системы. В результате свертки последовательностей {х(k∆t)} и {у(k∆t)}  получается новая последовательность {w(k∆t)}. Символом операции сверт­ки является *, т.е.

Математически действие свертки описывается соотношением

                                                                                (3.25)

Соотношение (3.25) называется бесконечной сверткой и соот­ветствует общему случаю, когда обе исходные {х(k∆t)} и {у(k∆t)}, а следовательно, и результирующая {w(k∆t)} последовательности непериодичны и содержат бесконечное число отсче­тов.

На практике часто приходится иметь дело с последовательнос­тями конечной длины, теория обработки которых базируется на ре­зультатах, полученных при обработке периодических последователь­ностей. В связи с этим оказываются полезными понятия периоди­ческой или круговой свертки и апериодической, или линейной сверт­ки.

 

 

Круговая (периодическая) свертка последовательностей

Если {х_р(k∆t)} и {у_р(k∆t)} - две периодические последовательности с периодами по N отсчетов, то их круговой (или периодической) сверткой называется последовательность {w_р(k∆t)}, определяемая соотношением

                                  (3.26)

Последовательность {w_р(k∆t)} также является периодической с периодом в N  отсчетов.

Понятие круговой свертки позволяет рассмотреть еще одно (четвертое) свойство ДПФ. Пусть X_p(nω) и Y_p(nω) - ДПФ последовательностей {х_р(k∆t)} и {у_р(k∆t)}. Найдем ДПФ W_p(nω) их круговой свертки {w_p(k∆t)}. Для этого подставим в (3.10) значение w_p(k∆t), определяемое (3.26):

(3.27)

Итак, ДПФ круговой свертки равно произведению ДПФ свертываемых последовательностей. Рассмотренное свойство ДПФ позволяет реализовать метод вычисления круговой свертки, называемый методом быстрой свертки в отличие от непосредственного вычисления по формуле (3.26), называемого прямой, или медленной сверткой. Сущность метода быстрой свертки заключается в следующем:

1) определяется ДПФ свертываемых последовательностей X_p(nω) и Y_p(nω);

2) в результате перемножения ДПФ последовательностей опре­деляется ДПФ свертки  W_p(nω);

3) определяется круговая свертка последовательностей w_p(k∆t) как ОДПФ от W_p(nω). Названием "быстрая" этот метод обязан тому, что на этапах нахождения ДПФ и ОДПФ предполагается использование алгоритма БПФ.

Даже при небольших N  (порядка 32) быстрая свертка оказывается эффективнее прямой.

 

 

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 538; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!