Метод компромисса «точность-надежность» в анализе экономических временных рядов.

Nbsp; МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Экономико-аналитический институт

Отчет по курсу «Эконометрика»

Выполнила студентка группы_У07-721_

Лоншакова Виктория.

МОСКВА 2012г.

Временные ряды

Свойства Гаусса:

1. mδt=0;

2. σ_δ²=const;

3. r₁=0.

Если эти свойства выполняются, то ошибку измерения можно считать белым шумом.

Метод наименьших квадратов

Теорема Гаусса-Маркова:

Если в линейной по параметрам регрессии факторы неслучайны и линейно независимы, а ошибка наблюдений – белый шум, то метод наименьших квадратов (МНК) позволяет получить несмещенные и эффективные оценки параметров в данной регрессии.

Несмещенность означает, что математическое ожидание полученных оценок совпадает с их истинным значениям.

Эффективность означает, что полученные случайные оценки имеют минимальную дисперсию.

Данную теорию обработки данных, т.е. выделения собственно значения показателя от скрадывающих его ошибок измерения Гаусс вывел для физических измерений.

На прямую теория ошибок наблюдения Гаусса не может применяться для экономических временных рядов по следующим причинам:

1. В экономике нет знаний как об истинном законе изменения показателей экономических процессов, так и об ошибках наблюдения.

2. Ряды наблюдений должны быть короткими. Чем ряд короче, тем он однороднее.

В Западной эконометрике в качестве аппроксимационных могут использоваться любые функции. Но экономические временные ряды как объект анализа обладают следующим замечательным свойством — у них нет преимущественного (естественного) начала отсчета времени. Именно по этой причине их изучение правомерно проводить в любой шкале времени t = to + 1, ..., to + N и руководствоваться единственно соображениями удобства, решая, чему положить to — нулю (что обычно и делается) или какому-либо другому числу. По этой причине для аппроксимации экономических временных рядов подходят только инвариантные по сдвигу аргумента функции.

Только три класса функций обладают этим свойством:

· Степенные полиномы

· Линейные комбинации показательных функций

· Линейные комбинации синуса и косинуса одинаковых частот

Любые линейные комбинации инвариантных функций также являются инвариантными функциями.

x(t)= (t, )+

x(t), t=

Инвариантность – независимость от сдвигов во времени.

Инвариантность функций обеспечивает лучшее качество моделей.

Ниже приведен пример экономического временного ряда x(t) и этот же ряд, сдвинутый по времени.

x(t)

Рассмотрим следующие три примера:

1.x(t)=a₀+a₁*√t

2.x(t)=a₀+a₁*lnt

3. x(t)=a₀+a₁*t

Произведем замену t t+с

Тогда:

a₀+a₁*√t+с ≠ ₀+ ₁*√t – неинвариантна

Пример 1

x(t)=a₀+a₁*√t

t	x(t)	x ̃ (t)	t	x(t)	x ̃ (t)
1	2	0,71	9	2	1,14
2	3	3,27	10	3	3,04
3	4	5,23	11	4	4,84
4	6	6,89	12	6	6,57
5	8	8,35	13	8	8,23
6	10	9,67	14	10	9,82
7	12	10,88	15	12	11,36
11		15,024	19		17,05

Решение:

Задача решается в отношении неизвестных a₀и a₁.

а) min ∑⁷_t=1 [a₀ + a_1√t – x(t)]²

сумма квадратичных отклонений (мера близости временного ряда)

Обозначим ∑⁷_t=1 [a₀ + a_1√t – x(t)]²=f(a₀, a₁)

Тогда уравнения в нормальной форме будут иметь вид:

∂F/∂a₀= 2 ∑⁷_t=1[a₀ + a_1√t – x(t)] 1 = 0

∂F/∂a₁= 2 ∑⁷_t=1 [a₀ + a_1√t – x(t)] _√t = 0

Уравнения в каноническом вида:

(∑⁷_t=11) a₀+ (∑⁷_{t=1 √}t) a₁= ∑⁷_t=1x(t)

(∑⁷_t=1√t) a₀+ (∑⁷_t=1 t) a₁= ∑⁷_t=1 x(t)_√t

7 a₀+ 13,478 a₁= 45

13,478 a₀+ 28 a₁= 99,303

Решая систему методом Крамера, получим

7 13,478

∆ = = 14,344

13,478 28

45 13,478

∆₀= = -78,406

99,303 28

7 45

∆₁= = 88,611

13,478 99,303

a₀= ∆₀/ ∆ = -5,466

a₁= ∆₁/ ∆ = 6,178

Таким образом,
= -5,466 + 6,178_√t , для t=1,2,3,4,5,6,7,11

б) Проводим аналогичные рассуждения для t=9,10,11,12,13,14,15,19

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀+ 24,163 a₁= 45

24,163 a₀+ 84 a₁= 162,275

Решая систему методом Крамера, получим:

7 24,163

∆ = = 4,149

24,163 84

45 24,163

∆₀= = -141,051

162,275 84

7 45

∆₁= = 48,59

24,163 162,275

a₀= ∆₀/ ∆ = -33,993

a₁= ∆₁/ ∆ = 11,71

Таким образом,
= -33,993 + 11,71_√t , t = 9,10,11,12,13,14,15,19

x(t)

x ̃ (t)

x(t)

x ̃ (t)

0,71

1,14

3,27

3,04

5,23

4,84

6,89

6,57

8,35

8,23

9,67

9,82

10,88

11,36

15,024

17,05

Пример 2

x(t)=a₀+a₁*lnt - неинвариантна

t	x(t)	x ̃ (t)	t	x(t)	x ̃ (t)
1	2	0,31	9	2	0,92
2	3	3,79	10	3	3,04
3	4	5,83	11	4	4,96
4	6	7,28	12	6	6,72
5	8	8,40	13	8	8,33
6	10	9,31	14	10	9,82
7	12	10,09	15	12	11,21
11		12,36	19		15,97

Решение:

Задача решается в отношении неизвестных a₀и a₁.

а) метод наименьших квадратов

min ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁lnt – x(t)]²

сумма квадратичных отклонений (мера близости временного ряда)

Обозначим ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁lnt – x(t)]²=f(a₀, a₁)

Тогда уравнения в нормальной форме будут иметь вид:

∂F/∂a₀= 2 ∑⁷_t=1[a₀ + a₁lnt – x(t)] 1 = 0

∂F/∂a₁= 2 ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁lnt – x(t)] lnt = 0

Уравнения в каноническом вида:

(∑⁷_t=11) a₀+ (∑⁷_t=1lnt) a₁= ∑⁷_t=1x(t)

(∑⁷_t=1lnt) a₀+ (∑⁷_t=1 ln²t) a₁= ∑⁷_t=1 x(t) lnt

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀+ 8,525 a₁= 45

8,525 a₀+ 13,196 a₁= 68.936

Решая систему методом Крамера, получим:

7 8,525

∆ = = 19,696

8,525 13,196

45 8,525

∆₀= = 6,141

68.936 13,196

7 45

∆₁= = 98,927

8,525 68.936

a₀= ∆₀/ ∆ = 0,312

a₁= ∆₁/ ∆ = 5,023

Таким образом,
= 0,312 + 5,023*lnt , для t=1,2,3,4,5,6,7,11

б) Проводим аналогичные рассуждения для t=9,10,11,12,13,14,15,19

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀+ 17,295 a₁= 45

17,295 a₀+ 42,931 a₁= 115,21

Решая систему методом Крамера, получим:

7 17,295

∆ = = 1,40

17,295 42,931

45 17,295

∆₀= = -60,662

115,21 42,931

7 45

∆₁= = 28,195

17,295 115,21

a₀= ∆₀/ ∆ = -43,331

a₁= ∆₁/ ∆ = 20,14

Таким образом,
= -43,331 + 20,14*lnt, t = 9,10,11,12,13,14,15,19

Пример 3

x(t)=a₀+a₁*t - инвариантна

t	x(t)	x ̃ (t)	t	x(t)	x ̃ (t)
1	2	1,29	9	2	1,28
2	3	3,00	10	3	3,00
3	4	4,71	11	4	4,71
4	6	6,43	12	6	6,43
5	8	8,14	13	8	8,14
6	10	9,86	14	10	9,85
7	12	11,57	15	12	11,57
11		18,43	19		18,42

Решение:

Задача решается в отношении неизвестных a₀и a₁.

а) метод наименьших квадратов

min ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁t – x(t)]²

сумма квадратичных отклонений (мера близости временного ряда)

Обозначим ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁t – x(t)]²=f(a₀, a₁)

Тогда уравнения в нормальной форме будут иметь вид:

∂F/∂a₀= 2 ∑⁷_t=1[a₀ + a₁t – x(t)] 1 = 0

∂F/∂a₁= 2 ∑⁷_t=1 [a₀ + a₁t – x(t)] t = 0

Уравнения в каноническом вида:

(∑⁷_t=11) a₀+ (∑⁷_t=1t) a₁= ∑⁷_t=1x(t)

(∑⁷_t=1t) a₀+ (∑⁷_t=1 t²) a₁= ∑⁷_t=1 x(t) t

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀+ 28 a₁= 45

28 a₀+ 140 a₁= 228

Решая систему методом Крамера, получим:

7 28

∆ = = 196

28 140

45 28

∆₀= = -84

228 140

7 45

∆₁= = 336

28 228

a₀= ∆₀/ ∆ = -0,429

a₁= ∆₁/ ∆ = 1,714

Таким образом,
= -0,429 + 1,714t , для t=1,2,3,4,5,6,7,11

б) Проводим аналогичные рассуждения для t=9,10,11,12,13,14,15,19

Уравнения в каноническом виде:

7 a₀+ 84 a₁= 45

84 a₀+ 1036 a₁= 588

Решая систему методом Крамера, получим:

7 84

∆ = = 196

84 1036

45 84

∆₀= = -2772

588 1036

7 45

∆₁= = 336

84 588

a₀= ∆₀/ ∆ = -14,043

a₁= ∆₁/ ∆ = 1,714

Таким образом,
= -14,043 + 1,714t , t = 9,10,11,12,13,14,15,19

Вывод: только в третьем примере результаты остались прежними при вычислении на другом интервале времени, то есть примеры наглядно демонстрируют, что неинвариантные по сдвигу аргумента функции приводят к разным результатам в зависимости от выбранного начала отчета.

Метод компромисса «точность-надежность» в анализе экономических временных рядов.

Имеется исходный временной ряд X(t), t=1…N

Необходимо построить наиболее точную и надежную функцию регрессии выбранного вида:

X_t=a₀+a₁t+….+a_lt^l+ δ_t

То есть нужно a_i и l.

В качестве аппроксимирующих функций рассматриваются только функции определенного вида (степенные полиномы). Временной ряд разбивается на полином и невязки и невязки:

X(t)=P_l(t)+ δ_l(t)

Критерий компромисса «точность-надежность»:

В качестве наилучшей по компромиссу «точность-надежность» в экономической линейной полиномиальной модели мы выбираем наиболее точную из допустимых по надежности оценок старших коэффициентов полинома.

Пример

Пусть имеется временной ряд капитальных вложений: x(t)

Построить наилучшую регрессионную модель для ряда инвестиций.

t	x(t)	P1(t)	δ1(t)	P2(t)	δ2(t)	P3(t)	δ3(t)
1	10,8	6,91	3,89	10,324	0,476	9,829	0,971
2	12,1	9,56	2,54	11,897	0,203	11,714	0,386
3	12,7	12,21	0,49	13,589	-0,889	13,632	-0,932
4	15	14,86	0,14	15,401	-0,401	15,593	-0,593
5	16,5	17,51	-1,01	17,332	-0,832	17,607	-1,107
6	19,1	20,16	-1,06	19,383	-0,283	19,685	-0,585
7	21,6	22,81	-1,21	21,554	0,046	21,837	-0,237
8	24,5	25,46	-0,96	23,845	0,655	24,072	0,428
9	27,4	28,11	-0,71	26,255	1,145	26,402	0,998
10	30,8	30,76	0,04	28,785	2,015	28,836	1,964
11	31,9	33,41	-1,51	31,435	0,465	31,384	0,516
12	34	36,06	-2,06	34,204	-0,204	34,058	-0,058
13	36,1	38,71	-2,61	37,093	-0,993	36,866	-0,766
14	39,4	41,36	-1,96	40,102	-0,702	39,820	-0,420
15	42,7	44,01	-1,31	43,231	-0,531	42,929	-0,229
16	45,8	46,66	-0,86	46,479	-0,679	46,204	-0,404
17	49,4	49,31	0,09	49,847	-0,447	49,654	-0,254
18	53,6	51,96	1,64	53,334	0,266	53,291	0,309
19	55,8	54,61	1,19	56,942	-1,142	57,124	-1,324
20	62,5	57,26	5,24	60,669	1,831	61,163	1,337

1. min ∑ ²⁰_t=1[a₀ + a₁t – x(t)]²

(∑²⁰_t=11) a₀+ (∑²⁰_t=1t) a₁= ∑²⁰_t=1x(t)

(∑²⁰_t=1t) a₀+ (∑²⁰_t=1t²) a₁= ∑²⁰_t=1x(t) t

20 a₀+ 210 a₁= 641,7

210 a₀+ 2870 a₁= 8499,9

Решаем это уравнение методом Крамера,

20 210

∆ = = 13300

210 2870

641,7 210

∆₀= = 56700

8499,9 2870

20 641,7

∆₁= = 35241

210 8499,9

a₀= ∆₀/ ∆ = 4,263

a₁= ∆₁/ ∆ = 2,65

Таким образом:

P₁(t) = 4,26 + 2,65 t , t = 1,20

δ₁(t) = x(t) - P₁(t) – невязка (разница между теоретическими и эксп. данными)

S²(1) = (∑ δ₁²(t)) / N = 78,083 / 20 = 3,90 – показатель точности приближения (средний квадрат ошибки модели)

Приводим исследование невязок на степень соответствия их свойств свойствам белого шума.

А) Динамика невязок

Число пересечений с осью времени мало. Таким образом, динамика невязок не дает оснований рассматривать невязки как практическую реализацию белого шума.

Б) Поле автокорреляции при l=1

В поле автокорреляции наблюдается тренд, что дает основания полагать, что автокорреляция есть. Следовательно, нельзя рассматривать ряд невязок как реализацию белого шума.

В) Численное значение автокорреляции:

∑δ₁(t-1) δ₁(t) 40,714

r₁(l) = = = 0,72 – высокая автокорреляция