Методы оценивания параметров структурной модели



 

Для решения точно идентифицируемого уравнения используется косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм косвенного МНК включает три шага:

1. Составление приведенной формы модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (  ).

3. Путем алгебраических преобразований по оценкам приведенных коэффициентов определение параметров структурной формы модели.

Рассмотрим пример. Пусть дана структурная форма модели с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:

 

                                                   (2.6)

                                                                                

Для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по семи регионам:

 

Таблица 2.1 – Исходные данные для построения структурной формы модели

 

у1 у2 х1 х2
1 2 6 1 2 -3 -1 -2,1 -0,4
2 3 7 2 3 -2 0 -1,1 0,6
3 4 8 5 1 -1 1 1,9 -1,4
4 5 5 3 4 0 -2 -0,1 -1,6
5 6 4 3 2 1 -3 -0,1 -0,4
6 7 9 4 2 2 2 0,9 -0,4
7 8 10 4 3 3 3 0,9 0,6
Ср. 5 7 3,1 2,4        

Шаг1. Приведенная форма модели составит:

 

                                                   (2.7)

 

Шаг2. Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем обычный МНК и определяем  - коэффициенты.

Чтобы упростить процедуру расчетов, можно использовать отклонения от средних уровней: .

Для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

 

Для расчета приведенных коэффициентов по исходным данным определяем   Расчеты ведем в таблице 2.2.

 

Таблица 2. 2 – Расчеты приведенных и структурных коэффициентов

 

у1х1 у1х2 х1х2 х12 х22 у2х1 у2х2 1=z у1*z z2
1 6,3 1,2 0,84 4,41 0,16 2,1 0,4 -12,63 -14,73 44,18 216,86
2 2,2 -1,2 -0,66 1,21 0,36 0 0 -2,23 -3,33 6,65 11,06
3 -1,9 1,4 -2,66 3,61 1,96 1,9 -1,4 1,87 3,77 -3,77 14,24
4 0 0 0,16 0,01 2,56 0,2 3,2 -9,17 -9,27 0,00 85,93
5 -0,1 -0,4 0,04 0,01 0,16 0,3 1,2 -2,67 -2,77 -2,77 7,65
6 18 -0,8 -3,6 0,81 0,16 18 -0,8 2,31 3,21 6,43 10,33
7 2,7 1,8 0,54 0,81 0,36 2,7 1,8 7,73 8,63 25,90 74,55
Сумма 27,2 2 -5,34 10,87 5,72 25,2 4,4 -14,77 -14,47 76,62 420,62

 

Имеем:

 

Решая данную систему, получим первое уравнение приведенной формы модели:

у1 = 4,939 х1+4,96 х2..

 

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим:

 

Для расчета приведенных коэффициентов этой системы по исходным данным дополнительно определяем   Расчеты в таблице 2.2.


Применительно к нашему примеру имеем:

                            

,

 

Откуда второе приведенное уравнение составит:

у2 = 4,98 х1+5,42 х2..

 

Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:

 

 

Шаг 3. Переходим о приведенной формы модели к структурной форме модели, т. е. к системе уравнений:

 

 

 

Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х2, выразив его из второго уравнения приведенной формы модели и подставив в первое:

 

 

Тогда

 

 - первое уравнение структурной модели.

Чтобы найти другое уравнение структурной модели из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х1, выразив его из первого уравнения и подставив во второе:

 

 

Тогда

 

 - второе уравнение структурной модели.

Итак, структурная форма модели имеет вид:

 

 

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1. Составление приведенной формы модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (  ).

3. Определение расчетных значений эндогенных переменных, которые находятся в правой части сверхидентифицируемого уравнения структурной формы модели.

4. Определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение экзогенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных.

Для того, чтобы привести вышеприведенную идентифицируемую модель (2.5) в сверхидентифицируемую наложим ограничения на ее параметры, а именно b12 = a11. Тогда она примет вид:

 

                                                      (2.8)

 

Bыполнив пункты 1 и 2 алгоритма для тех же исходных данных, получим ту же систему приведенных уравнений:

 

 

На основе второго уравнения данной системы можно найти теоретические значения для эндогенной переменной у2, т. е. . С этой целью во второе уравнение подставляем значения х1 и х2 как отклонения от средних. Оценки для эндогенной переменной у2, приведены в таблице 2.2.

После того как найдены оценки эндогенной переменной у2, обратимся к сверхидентифицированному структурному уравнению

 

.

 

Заменяя фактические значения у2 их оценками , найдем значения новой переменной + х1 = z.

Далее применим МНК к уравнению , т. е. .

Откуда

 

Таким образом, сверхидентифицированное структурное уравнение оставит:

 

.

 

Ввиду того, сто второе уравнение системы (2.7) не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений, та же:

у2 = 4,98 х1 +5,42  х2..

 

В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит:

 

 

Практические задания

 

Задача 1.

1.Применив необходимое и достаточное условие оценить следующую структурную модель на идентификацию:

 

 

2 Исходя из приведенной формы модели уравнений

 

 

найти структурные коэффициенты модели.

 

Задача 2.

Рассматривается следующая модель:

(функция потребления)

   (функция инвестиций)

(функция денежного рынка)

                    (тождество дохода)

Задание:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, оценить структурную модель на идентификацию и выбрать способ оценки ее параметров.

2.  Записать приведенную форму модели в общем виде.

 

Задача 3.

Эконометрическая модель содержит четыре уравнения, четыре эндогенные переменные (у) и три экзогенные переменные (х).В табл. 2.3 представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели.

 

Таблица 2.3 – матрица структурных коэффициентов

 

Уравнение y1 y2 y3 y4 x1 x2 x3
I -1 0 b13 b14 c11 0 0
II 0 -1 b23 0 c21 0 0
III 0 b32 -1 0 c31 0 c33
IY b41 b42 b43 -1 0 c42 c43

 

Задание:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое уравнение модели.

2. Выберите метод оценки структурных параметров этой модели.

 

Задача 4.

 

Рассматривается следующая модель:

 

 

где St – заработная плата в период t;

Dt – чистый национальный доход в период t;

М t – денежная масса в период t;

С t – расходы на потребление в период t;

С t-1 – расходы на потребление в период t-1;

U t – уровень безработицы в период t;

U t-1 – уровень безработицы в период t-1;

It  – инвестиции в период t.

 

Задание:

1. Установите метод оценки структурных параметров этой модели.

2. Напишите приведенную форму модели.

3. Охарактеризуйте методику расчета параметров первого и второго структурного уравнения модели.

Задача 5.

Ниже приводятся результаты расчета параметров некоторой эконометрической модели.

Структурная форма модели:

 

 

Приведенная форма модели:

 

Задание:

1. Каким методом были получены параметры структурной формы модели, обоснуйте выбранный метод.

2. Восстановите пропущенные характеристики.

 

Задача 6.

Имеется следующая модель:

 

 

Приведенная форма этой модели имеет вид:

 

Задание:

1. Определите все возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

 


Задача 7.

 

Имеется следующая модель:

 

  (функция потребления);

           (функция инвестиций);

           (функция налогов);

            (тождество доходов),

 

где Сt – совокупное потребление в период времени t;

Yt – совокупный доход в период времени t;

It - инвестиции в период времени t;

Gt – государственные расходы в период времени t;

Yt-1 - совокупный доход в период времени t-1.

 

В этой модели Сt, Yt, Тt и It являются эндогенными.

 

Задание:

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

2. Укажите, каким методом вы будете оценивать структурные параметры каждого уравнения.

3. Напишите приведенную форму модели.

 

Задача 8.

 

Имеется модель, построенная по шести наблюдениям:

 

Ей соответствует следующая приведенная форма:

 

 

Известны также следующие исходные данные:

 

n 1 2 3 4 5 6

Y1 3 2 4 1 5 3

X1 2 3 5 6 10 8

X2 4 7 3 6 5 5

Задание:

 

1. Определите структурные параметры первого уравнения, если это возможно.

2. Определите структурные параметры второго уравнения, если это возможно.

 

Задача 9.

Строится модель вида

 

,

.

 

Задание:

Определите структурные коэффициенты, учитывая, что

 

 

а также .

 

Задача 10.

Имеется следующая структурная модель:

 

,

 

Приведенная форма модели имеет вид

 

 

Задание:

1. Проверьте структурную форму модели на идентификацию, применив необходимое и достаточное условия.

2. Определите структурные коэффициенты модели.

 

Задача 11.

Пусть имеются данные представленные в таблице 2.4.

 

Таблица 2.4. – Темпы прироста показателей

 

 

Период времени

Темп прироста, %

 

%

безработных

X1

заработной платы, У1 цен, У2 дохода, У3 цен на импорт, Х2 экономически активного населения, Х3
1 2 6 10 2 1 1
2 3 7 12 3 2 2
3 4 8 11 1 5 3
4 5 5 15 4 3 2
5 6 4 14 2 3 3
6 7 9 16 2 4 4
7 8 10 18 3 4 5

 

Задание:

Определите параметры структурной модели следующего вида:

 

 

Задача 12.

 

В табл. 2.5 имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходе У, объеме потребления С , инвестициях I и государственных расходах G, полученные для некоторой страны за 10 лет.

 

Таблица 2.5 – Исходные данные

 

С 195 203 210 200 215 215 210 215 225 220
I 10 20 30 20 10 20 30 20 15 30
У 225 233 260 260 255 245 260 245 280 270
G 20 10 20 40 30 10 20 10 40 20

Задание:

Постройте функцию формирования доходов, используя модель Кейнса:

 

        (функция потребления),

      (тождество дохода).

 

Задача 13.

В табл. 2.6 имеются данные (усл. ед.) о совокупном доходе У, объеме потребления С и инвестициях I, полученные для некоторой страны за 10 лет.

 


Таблица 2.6 – Исходные данные

 

С 190 198 200 180 200 210 220 210 205 210
I 10 20 30 20 10 20 30 20 15 30
У 200 218 230 200 210 230 250 230 220 240

 

Задание:

Постройте функцию потребления, используя модель Кейнса вида:

 

(функция потребления),

      (тождество дохода).

 

Задача 14.

Рассматривается система уравнений вида

 

Задание:

1. Проверить, является ли данная система идентифицируемой.

2. Изменится ли ответ, если во второе уравнение включить:

а) константу; б) переменную Х2?

 

Задача 15.

 

К системе двух структурных уравнений вида:

 

 

применен косвенный метод наименьших квадратов. Для коэффициентов приведенной формы модели:

 

 

получены следующие оценки с1 = 2,2; с2 = 0,4; с3 = 0,08; с4 = -0,5.

 

Задание:

Найти оценки параметров системы уравнений, применив двухшаговый метод наименьших квадратов.

 


Задача 16.

Имеется модель спроса и предложения в зависимости от цены вида

 

 

где Qd – функция спроса;

Qs – функция предложения;

Р – цена;

I – доход.

 

Задание:

1. Применив необходимое и достаточное условия, оценить идентификацию модели.

2. Выбрать метод оценки параметров модели.

 

Контрольные вопросы

1. Назовите возможные способы построения систем уравнений. Чем они отличаются друг от друга?

2. Как связаны между собой структурная и приведенная формы модели?

3. В чем состоят проблемы идентификации модели и какие условия идентификации (необходимое и достаточное) вы знаете?

4. Какие способы оценки параметров структурной формы модели вы знаете? В каких случаях они используются?

5. Раскройте суть косвенного метода наименьших квадратов.

6. Раскройте содержание двухшагового метода наименьших квадратов.

7. Как интерпретируются коэффициенты приведенной модели?

8. Приведите пример системы, связанной с экономикой.

9. Как строится структурная модель спроса и предложения?

10. Перечислите основные направления использования систем эконометрических уравнений.

 

Тесты

 

1. Принципиальные сложности применения систем эконометрических уравнений связаны с ошибками

а) оценивания параметров;

б) спецификации модели;

в) определения случайных воздействий;

г) однородности выборочной совокупности.

 

2. Структурной формой модели называется система

а) независимых уравнений; б) рекурсивных уравнений;      

в) взаимосвязанных уравнений;

г) уравнений с фиксированным набором факторов.

 

3. В правой части структурной формы модели могут стоять ________________переменные

а) лаговые; б) нелаговые;           в) эндогенные; г) экзогенные.

 

4. Косвенный метод наименьших квадратов применим для:

а) любой системы одновременных уравнений;

б) идентифицируемой системы одновременных уравнений;

в) неидентифицируемой системы одновременных уравнений;

г) неидентифицируемой системы рекурсивных уравнений

 

5. Если для структурного уравнения выполняется правило D + 1 > Н, то оно считается:

а) идентифицируемым;                   б) неидентифицируемым;

в) сверхидентифицируемым;          г) нет правильного ответа.

 

6. Двухшаговый метод наименьших квадратов используется для решения:

а) неидентифицируемой модели;

б) идентифицируемой модели;

в) сверхидентифицируемой модели;

г) все ответы правильные.

 

7. С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на:

а) идентифицируемые;          б) неидентифицируемые;

в) сверхидентифицируемые; г) все ответы правильные.

 

8. Если для структурного уравнения выполняется правило D + 1 < Н, то оно считается:

а) идентифицируемым;

б) неидентифицируемым;

в) сверхидентифицируемым;

г) нет правильного ответа.

 

9. Первое необходимое условие идентифицируемости системы взаимосвязанных уравнений

а) число уравнений должно быть равно числу анализируемых эндогенных переменных;

б) число уравнений должно быть равно числу анализируемых экзогенных переменных;

в) число уравнений должно быть больше числа анализируемых эндогенных переменных;

г) число уравнений должно быть больше числа анализируемых экзогенных переменных.

 

10. Если для структурного уравнения выполняется правило D + 1 = Н, то оно считается:

а) неидентифицируемым;               б) идентифицируемым;

в) сверхидентифицируемым; г) нет правильного ответа.

 

11. Трехшаговый метод наименьших квадратов используется для решения:

а) идентифицируемой модели;

б) неидентифицируемой модели;

в) сверхидентифицируемой модели;

г) все ответы правильные.

 

12. Идентифицируемость структурной формы модели – это …

а) возможность оценки всех коэффициентов структурной формы модели по выборочным данным;

б) возможность перехода к приведенной форме модели;

в) возможность расширения структурной формы модели;

г) возможность оценки приведенных коэффициентов по выборочным данным.

 

13. Приведенные коэффициенты модели показывают…

а) на сколько единиц изменится результат при изменении соответствующего фактора на единицу и неизменном уровне остальных факторов;

б) на сколько единиц изменится результат при изменении соответствующего фактора на единицу;

в) на сколько процентов изменится результат при изменении соответствующего фактора на единицу

г) на сколько единиц изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1%.

 

14. Проверьте уравнение y1 = b12 *y2 + a11*x1 +a13*x3 на идентификацию, применив необходимое условие, если система уравнений содержит 3 эндогенные и 4 экзогенные переменные.

а) уравнение идентифицировано;

б) уравнение неидентифицировано;

в) уравнение свереидентифицировано;

г) все ответы правильные

 

15. Уравнение называется идентифицируемым, если …

а) оценки структурных параметров можно определить по коэффициентам приведенной формы модели;

б) для некоторых структурных параметров можно получить более одного численного значения;

в) оценки структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной формы модели;

г) нет полного ответа.

 

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 551; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ