Система эконометрических уравнений



 

Не всегда получается описать адекватно сложное социально – экономическое явление с помощью только одного уравнения. Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

Виды систем уравнений

Различают несколько видов систем уравнений:

· система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов х:

                                      (2.1)

· система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении:

(2.2)

                                                   

· система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

 

(2.3)

 

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Системы эконометрических уравнений включают множество эндогенных, экзогенных и предопределенных переменных.

Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные (у), которые определяются внутри модели (системы). Их число равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные – независимые переменные (х), которые определяются вне системы и влияющие на эндогенные переменные.

Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы (yt-1).

Коэффициенты аи b при переменных называются структурными коэффициентами модели.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели неприемлемо и поэтому структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели. Это система линейных функций эндогенных переменных от всех экзогенных и предопределенных переменных системы:

 

                           (2.4)

 

где - коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации. Необходимое и достаточное условие

Зная оценки приведенных коэффициентов модели, можно определить параметры структурной формы модели, но не всегда, а только если модель является точно идентифицируемой.

Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированы.

Модель считается не идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно не идентифицированное.

Модель считается сверх идентифицированной, если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.

Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно однозначно найти по коэффициентам приведенной формы модели.

Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно получить более одного численного значения.

Уравнение называется недентифицированным, если оценки его структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной формы модели.

Выполнение условия идентифицируемости проверяется для каждого уравнения системы по правилу: уравнение считается идентифицируемым, если число экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j –oм уравнении системы через Н, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1 = H – уравнение идентифицируемо;

D+1 < H – уравнение неидентифицируемо;

D+1 > H – уравнение сверхидентифицируемо.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации - уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Ранг матрицы – размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Рассмотрим пример.

Пусть имеется система:

 

                                   (2.5)

 

Требуется проверить каждое уравнение структурной модели на идентификацию, применив необходимое и достаточное условие идентификации.

Решение:

В данной системе у1, у2 и у3  - эндогенные переменные (Н = 3);

х1, х2 и х3экзогенные переменные (D = 3).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Первое уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у1, у2), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.


Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют у2 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение

Отсутствующие переменные

у3 х2
Второе b23 а22
Третье -1 0

 

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит три эндогенных переменных: Н = 3 (у1, у2,, у3,), отсутствуют две экзогенных переменных: D = 2 (х13 ).

Выполняется необходимое равенство: 2 + 1 = 3, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют х1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение

Отсутствующие переменные

х1 х3
Первое а11 а13
Третье а31 а33

 

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Необходимое условие.

Уравнение содержит две эндогенных переменных: Н = 2 (у2,, у3), отсутствует одна экзогенная переменная: D = 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие.

В уравнении отсутствуют у1 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

 

Уравнение

Отсутствующие переменные

у1 х2
Первое -1 0
Второе b21 а22

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 720; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!