Расчет коэффициентов эластичности



 

Для множественного уравнения регрессии рассчитываются средние и частные коэффициенты эластичности.

Средние коэффициенты эластичности для множественной регрессии рассчитываются по формуле

 

                                                               (1.13)

 

где частные производные уравнения регрессии по соответствующему фактору; среднее значение соответствующего фактора x i;  среднее значение результативного признака.

Средний коэффициент эластичности показывает, насколько процентов в среднем изменится результат у с увеличением фактора хi на 1 % от своего среднего уровня.

Для линейной множественной регрессии средние коэффициенты эластичности рассчитываются

                                                                       (1.14)

 

где b i - коэффициент чистой регрессии для соответствующего фактора x i;

средние значения соответствующего фактора и результативного признака по совокупности показателей.

Средние коэффициенты эластичности можно сравнивать друг сдругом и соответственно использовать для ранжирования факторов по силе их влияния на результат. Чем больше величина , тем сильнее влияет фактор хi на результат у.

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются на основе частных уравнений регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами хi при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. Для линейной множественной регрессии частные уравнения регрессии имеют следующий вид:

 

………………………………………………………………. (1.15)

 

При подстановке в эти уравнения средних значений соответствующих факторов они принимают вид парных уравнений линейной регрессии, т. е. имеем:

 

                                                 (1.16)

                               …………………………………

 

Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения регрессии

С учетом частных уравнений регрессии для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

 

                                         (1.17)

 

где b i - коэффициент регрессии для соответствующего фактора x i в уравнении множественной регрессии;

 

- частная регрессия

 

Значения частных коэффициентов эластичности могут быть использованы при принятии решений относительно экономических явлений конкретных регионов, областей, предприятий и т. п.

 

Показатели корреляции и детерминации, их использование

 

Для множественной регрессии рассчитываются показатели множественной и частной корреляции.

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым результативным признаком, т. е. оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

 

                                               (1.18)

 

где общая дисперсия результативного признака;

 остаточная дисперсия для уравнения с полным набором факторов.

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.

При линейной зависимости признаков показатель множественной корреляции называется линейныйкоэффициент множественной корреляции или совокупныйкоэффициенткорреляции, который может быть рассчитан по следующим формулам:

 

    (1.19)

где стандартизованные коэффициенты регрессии;

парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:

 

                                                          (1.20)

 

где  определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

определитель матрицы межфакторной корреляции.

Для уравнения  определитель матрицы коэффициентов парной корреляции примет вид:

             

                                        (1.21)

       

 определитель более низкого порядка: образуется, когда из матрицы коэффициентов парной корреляции вычеркиваются первая строка и первый столбец:

      

                            (1.22)

   

Для двухфакторного линейного уравнения регрессии совокупный коэффициент корреляции определяется по выражению вида:

 

                          (1.23)

 

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости признаков, но и для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. В этом случае для оценки тесноты связи исследуемых признаков используется только индекс множественной корреляции .

Коэффициент (или индекс) множественной детерминации оценивает качество построенной модели в целом и рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции или квадрат совокупного коэффициента множественной корреляции:

 

 или (1.24)

 

Если число параметров при хi приближается к объему наблюдений n, то для оценки качества полученной многофакторной модели используется скорректированный индекс множественной детерминации, формула расчета которого имеет вид:

 

                                           (1.25)

 

где k - число параметров при переменных х;

      n - число наблюдений.

Чем больше величина k, тем сильнее различия и R2.

Величина показателя множественной детерминации изменяется от 0 до 1. Низкое его значение означает, что в регрессионную модель не включены существенные факторы - с одной стороны, а с другой стороны – рассматриваемая форма связи выбрана неверно.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом у и соответствующим фактором xi при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии. Рассчитываются по формуле:

           (1.26)

 

где R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

R2 yx1x2…xi-1 xi+1…xp - тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора xi.

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:

     (1.27)

 

При двух факторах и i =1 данная формула примет вид:

 

                                      (1.28)

 

Соответственно при i =2 частный коэффициент корреляции будет рассчитываться по формуле:

 

                                      (1.29)

 

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до +1. Величина множественного коэффициента корреляции всегда больше (или равна) максимального частного коэффициента корреляции.

При линейной зависимости исследуемых признаков частные коэффициенты корреляции могут быть использованы для ранжирования факторов, при нелинейной их взаимосвязи эту функцию выполняют частные индексы детерминации.

Кроме того, широко используются при решении проблемы отбора факторов.

1.5. Оценка надежности результатов множественной регрессии,
корреляции и фактора дополнительно включенного в модель

Статистическая значимость множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

 

                                               (1.30)

 

где Dфакт. - факторная сумма квадратов на одну степень свободы;

Dост. -остаточная сумма квадратов на одну степень свободы;

R2 - коэффициент (индекс) множественной детерминации;

k - число параметров при переменных х ;

n - число наблюдений.

Фактическое значение F – критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: k и  n-k-1.  Если фактическая величина критерия Фишера больше его табличного значения, то построенная многофакторная модель признается статистически значимой.

Частный F – критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого фактора в уравнении или, другими словами, оценивает целесообразность включения фактора в модель. В общем виде для фактора хi частный F – критерий определится как

 

             (1.31)

 

где R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

R2 yx1x2…xi-1 xi+1…xp - тот же показатель детерминации, но без включения в модель фактора xi.

Фактическое значениечастного F – критерия сравнивается с табличным при 5 % - ном уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и  n-k-1.  Если фактическое значение частного критерия Фишера Fxi превышает табличное, то дополнительное включение фактора xi в модель статистически оправданно.

Для двухфакторной модели оценка целесообразности включения одного фактора после другого осуществляется по формулам:

- фактора х1 после фактора х2:

 

                                              (1.32)

 

- фактора х2  после фактора х1:

 

                                              (1.33)

 

Оценка статистической значимости коэффициентов чистой регрессии производится с помощью t - критерия Стьюдента по формулам:

 

или .                                        (1.34)

mbi- стандартная ошибка коэффициента регрессии bi, она может быть определена по формуле:

 

                              (1.35)

 

где среднее квадратическое отклонение для признака у;

           среднее квадратическое отклонение для признака xi;

          R2 yx1x2…xp- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом;

         R2 xix1x2… xp - тот же показатель детерминации для зависимости фактора xi со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии;

         n -k-1 –число степеней свободы для остаточной суммы квадратов отклонений.

Величина F – критерия, оценивая значимость уравнения регрессии в целом, характеризует одновременной и значимость коэффициента (индекса) множественной корреляции.

Аналогично можно оценивать и существенность частных показателей корреляции. Если величина частного критерия Фишера Fxi выше табличного, то это означает и значимость частного коэффициента корреляции.

 

Решение типовых задач

 

Задача 1. На основании анализа экономики 10 стран имеются данные об ожидаемой продолжительности жизни х1 (лет), суточной калорийности питания х2 (ккал. на душу населения) и индексе человеческого развития у.

 

Таблица 1.1 - Исходные данные

 

Страна Австрия Австралия Аргентина Белоруссия Бельгия Бразилия Англия Венгрия Германия Греция 
х1 77 78,2 72,9 68 77,2 66,8 77,2 70,9 77,2 78,1
х2 3343 3001 3136 3101 3543 2938 3237 3402 3330 3575
у 0,904 0,922 0,827 0,763 0,923 0,739 0,918 0,795 0,906 0,867

 

Требуется:

 

1. Построить уравнение множественной регрессии линейного вида, применив оба метода оценки его параметров. Сделать экономический вывод.

2. Рассчитать средние и частные коэффициенты эластичности, сделать по ним выводы.

3. Оценить качество полученного уравнения множественной регрессии, используя показатель – ошибку аппроксимации.

4. Рассчитать коэффициенты частной корреляции, сравнить их с коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

5. Определить множественный коэффициент корреляции и детерминации и сделать выводы.

6. Используя частный критерий Фишера, оценить целесообразность включения в модель одного фактора после другого.

7.  Оценить надежность полученных результатов: статистическую значимость уравнения в целом и ее параметров.

 

РЕШЕНИЕ

 

1. Линейное уравнение множественной регрессии у от х1 и х2 имеет вид: Для расчета его параметров применим метод определителей и метод стандартизации переменных. При использовании метода определителей по исходным данным рассчитываем: Расчеты рекомендуется выполнять в виде таблицы.

 

Таблица 1.2 - Расчеты для линейной множественной регрессии

 

N x1 x2 y x1*y x2*y x12 x22 x1*x2
1 77 3343 0,904 69,608 3022 5929 11175649 257411
2 78,2 3001 0,922 72,100 2767 6115 9006001 234678
3 72,9 3136 0,827 60,288 2593 5314 9834496 228614
4 68 3101 0,763 51,884 2366 4624 9616201 210868
5 77,2 3543 0,923 71,256 3270 5960 12552849 273520
6 66,8 2938 0,739 49,365 2171 4462 8631844 196258
7 77,2 3237 0,918 70,870 2972 5960 10478169 249896
8 70,9 3402 0,795 56,366 2705 5027 11573604 241202
9 77,2 3330 0,906 69,943 3017 5960 11088900 257076
10 78,1 3575 0,867 67,713 3100 6100 12780625 279208
Сумма 743,5 32606 8,564 639,393 27983 55451 1,07E+08 2428731
Среднее 74,35 3260,6 0,8564 - - - - -
4,143 205,722 0,067 - - - - -

 

Определитель системы рассчитываем по формуле (1.8):                                           

     

                                                                     


Частные определители:            

 

           

 

      

           

  

                    

Расчет параметров уравнения регрессии выполним по формулам (1.7):

 

                                                                  

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

 

 

С увеличением ожидаемой продолжительности жизни на 1 год при фиксированной суточной калорийности питания индекс человеческого развития повышается 0,164. С увеличением суточной калорийности питания на 1 ккал. на душу населения и фиксированной ожидаемой продолжительности жизни индекс человеческого развития снижается на 0,000034.

Для расчета параметров того же уравнения применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет - коэффициентов выполним, учитывая систему уравнений (1.10). Для этого рассчитаем парные коэффициенты линейной корреляции (табл.1.3):

 

Таблица 1.3 - Парные коэффициенты корреляции

 

у х1 х2
у 1    
х1 0,962 1  
х2 0,428 0,525 1

 

Линейные коэффициенты парной корреляции показывают, что связь между ожидаемой продолжительностью жизни и индексом человеческого развития тесная, прямая. Между суточной калорийностью питания и индексом человеческого развития умеренная, прямая. Умеренная, прямая межфакторная связь.

 

 

 

Получим уравнение

ty = 1,0107tx1 –0,1064tx2.

 

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1 и b2,используя формулы перехода (1.11) и значения среднего квадратического отклонения   из  табл. 1.2.:

 

 

Значение а определим из соотношения (1.12):

а = 0,8564 – 0,0164*74,35+0,000034*3260,6 = -0,25.

 

Уравнение регрессии в естественной форме:

 

 

Таким образом, получили ту же самую модель, что и методом определителей.

 

1. Средние коэффициенты эластичности, рассчитанные по формуле (1.14) составили:

 

 

По значению средних коэффициентов эластичности можно сделать вывод о более сильном влиянии на индекс человеческого развития у ожидаемой продолжительности жизни х1, чем суточной калорийности питания х2: 1,42% против – 0,13%. Причем с увеличением ожидаемой продолжительности жизни х1 на 1% от своей средней величины и фиксированном воздействии суточной калорийности питания х2 индекс человеческого развития у в среднем возрастает на 1,42%. При росте суточной калорийности питания х2 в среднем на 1% и фиксированном воздействии ожидаемой продолжительности жизни х1 индекс человеческого развития у в среднем снижается на –0,13 %.

Для расчета частных коэффициентов эластичности по формуле (1.17) необходимо определить значения частных уравнений регрессии по формулам (1.16). Результаты расчета сведены в таблицу 1.4.

 

Таблица 1.4 – Расчет частных уравнений регрессии и коэффициентов
эластичности

 

  № ,% ,%   Аi, %
1 0,900 1,403 0,854 -0,135 0,897 0,008 0,774
2 0,920 1,394 0,865 -0,120 0,928 0,007 0,701
3 0,833 1,435 0,861 -0,126 0,837 0,012 1,200
4 0,752 1,482 0,862 -0,124 0,758 0,007 0,682
5 0,903 1,401 0,847 -0,144 0,893 0,032 3,208
6 0,733 1,495 0,868 -0,117 0,744 0,006 0,642
7 0,903 1,401 0,857 -0,130 0,904 0,015 1,532
8 0,800 1,453 0,852 -0,138 0,795 0,000 0,004
9 0,903 1,401 0,854 -0,134 0,901 0,006 0,581
10 0,918 1,395 0,846 -0,146 0,907 0,046 4,619

 

Как видим, частные коэффициенты эластичности по странам несколько отличаются от аналогичных средних показателей по совокупности наблюдений. Так, в Бразилии произошел наибольший процентный рост индекса человеческого развития у по сравнению с другими странами с изменением ожидаемой продолжительности жизни х1 на 1 %при условии, что х2 зафиксирован на среднем уровне. В той же стране наблюдается наименьшее процентное снижение индекса человеческого развития у при изменении суточной калорийности питания х2 на 1 %и закреплении ожидаемой продолжительности жизни х1 на среднем уровне.

 

2. Средняя ошибка аппроксимации для множественной регрессии рассчитывается по той же формуле, что и для парной регрессии:

 

                                                      (1.36)

 

где теоретическое значение результата, полученное путем подстановки в построенную модель соответствующих значений факторов хi .

Отсюда, прежде чем рассчитать среднюю ошибку аппроксимации, необходимо определить теоретическое значение результативного признака

Результаты расчета средней ошибки аппроксимации представлены
в табл. 1.4. 

Средняя ошибка аппроксимации составит:

 

 

Поскольку величина средней ошибки аппроксимации не превышает
(8 – 10) %, то линейная форма модели, описывающей зависимость индекса человеческого развития от ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания, подобрана, верно.

 

3. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитаны по рекуррентным формулам (1.28) – (1.29) и составили:


 

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что теснота и направление связи для ожидаемой продолжительности жизни и индекса человеческого развития не изменилась, в то же время для суточной калорийности питания и индекса человеческого развития связь осталась умеренной, но изменилось ее направление с прямого на обратное. Это объясняется имеющей место межфакторной связью.

 

4. Множественный коэффициент корреляции для линейной модели рассчитаем по формулам (1.19) и (1.23):

 

 

 

или .

 

Расчет по обеим формулам позволил получить одинаковый результат: связь между индексом человеческого развития, ожидаемой продолжительностью жизни и суточной калорийностью питания тесная прямая.

Для расчета множественного коэффициента детерминации используем формулу (1.24), согласно которой R2 x1x2 = 0,9632 = 0,927.

Вариация индекса человеческого развития на 92,7 % объясняется вариацией ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания.

 

5. Целесообразность включения в уравнение фактора х1 после того, как в него был включен фактор х2 оценивает частный критерий Фишера Fx1. Соответственно, Fx2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1.они рассчитываются по формулам (1.32) – (1.33):

 

 

F табл. = 5,59 при

 

Сравнивая F табл. и F хi., приходим к выводу о нецелесообразности включения в модель фактора х2 после фактора х1, так как прирост доли объясненной вариации результативного признака за счет включения дополнительного фактора х2 в модель статистически незначим.

 

6. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проводим с помощью критерия Фишера, который рассчитывается по формуле (1.30):

 

 

F табл. = 4,74 при

 

Сравнивая F табл. и F, делаем заключение о статистической значимости построенной линейной модели. Следовательно, ее можно использовать для анализа и прогноза.

Существенность параметров полученной модели оценим, используя критерий Стьюдента, рассчитанный по формуле (1.34):

 

 

t табл. = 2,36 при

Сравнивая t табл и t факт. приходим к выводу, что так как >2,36 коэффициент регрессии b1 является статистически значимым, надежным. Так как < 2,36, приходим к заключению, что величина b2 является статистически незначимой и фактор – суточную калорийность питания нет смысла включать в эконометрическую модель.

 


Практические задачи

Задача 1.

Имеются следующие данные о курсе американского доллара х1,(руб.), фондовом индексе х2 и котировке акций у,(%) за 10 дней:

 

Таблица 1.5 – Котировка акций, курс американского доллара и фондовый индекс

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
х1 28,75 28,7 28,54 28,9 28,88 28,35 27,98 28,1 28,05 27,9
х2 4 4,2 4,7 5,1 4,9 4,6 4,8 4,3 4,4 4,5
у 100 112 108 106 103 101 100 103 102 100

 

Задание:

Построить уравнение множественной регрессии линейного вида, применив оба метода оценки его параметров. Сделать экономический вывод.

1. Рассчитать средние коэффициенты эластичности, сделать по ним выводы.

2. Оценить качество полученного уравнения множественной регрессии, используя показатель – ошибку аппроксимации.

 

Задача 2.

По 19 предприятиям оптовой торговли изучается зависимость объема реализации (у) от размера торговой площади (х1) и товарных запасов (х2). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:

 

1. y = 25 + 15 х1                             R2 = 0,90; 

2. y = 42 + 27 х2                             R2 = 0,84; 

3. y = 30 + 10 х1 + 8 х2                R2 = 0,92; 

                 (2,5)     (4,0)                      

4. y = 21+ 14 х1 + 20 х2  + 0,6 х22 R2 = 0,95. 

             (5,0)  (12,0)    (0,2)

 

В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.

Задание:

1. Проанализируйте тесноту связи результата с каждым из факторов.

2. Рассчитайте критерий Фишера для каждого уравнения, сравните его с табличным значением и сделайте вывод.

3. Оцените целесообразность включения одного фактора после другого в модель, используя частный критерий Фишера.

4. Оцените статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии в уравнениях (3) и (4).

5. Выберите наилучшее уравнение регрессии, обоснуйте принятое решение.

 


Задача 3.

Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:

 

y = 21,1 – 6,2 х1 + 0,95 х2 + 3,57 х3                             R2 = 0,7,

                (1,8)   (0,54)   (0,83)

 

где у – цена объекта, тыс. руб.;

х1 – расстояние от центра города, км;

х2 - полезная площадь объекта, кв. м;

х2 - число этажей в доме, ед;

R2 - коэффициент множественной детерминации.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для соответствующих коэффициентов регрессии.

 

Задание:

1. Сделайте экономические выводы по величине чистых коэффициентов регрессии.

2. Оцените надежность полученных результатов анализа рынка жилья.

 

Задача 4.

По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции у (млн. руб.) от количества отработанных за год человеко – часов х1 (тыс. чел. – ч.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования х2 (млн. руб.):

 

Уравнение регрессии у = 35 + 0,06 х1 +2,5 х2
Множественный коэффициент корреляции 0,9
Сумма квадратов отклонений расчетных значений результата от фактических 3000

 

Задание:

1. Сделайте экономический вывод по уравнению регрессии.

2. Определите множественный коэффициент детерминации в этой модели и сделайте по нему вывод.

3. Выполните дисперсионный анализ (рассчитайте общую, факторную и остаточную дисперсию на 1 степень свободы).

 

Задача 5.

Анализируя зависимость объема производства продукции предприятиями отрасли черной металлургии от затрат труда и расхода чугуна. Для этого по 20 предприятиям собраны следующие данные: у - объем продукции предприятия в среднем за год (млн. руб.); х1 – среднегодовая списочная численность рабочих предприятия (чел); х2 - средние затраты чугуна за год (млн. т). Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:

 


Таблица 1.6 – Матрица парных коэффициентов корреляции

 

У Х1 Х2
У 1    
Х1 0,78 1  
Х2 0,86 0,96 1

Задание:

1. Охарактеризуйте тесноту и направление связи между исследуемыми экономическими признаками.

2. Определите значения коэффициентов детерминации в уравнениях парной регрессии у = a + bx1 и у = a + bx2. Какое из этих уравнений лучше?

3. Определите частные коэффициенты корреляции для линейного уравнения множественной регрессии.

4. Найдите уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.

5. Рассчитайте множественный коэффициент корреляции. Сделайте по нему вывод.

 

Задача 6.

По 25 территориям страны изучается влияние климатических условий на урожайность зерновых у (ц/га). Для этого были отобраны две объясняющие переменные:

х1 – количество осадков в период вегетации (мм);

х2 - средняя температура воздуха (0 С).

Ниже представлены результаты корреляционного анализа этих данных:

 

Таблица 1.7 – Матрица парных коэффициентов корреляции

 

У Х1 Х2
У 1    
Х1 0,6 1  
Х2 -0,5 -0,9 1

 

Задание:

1. Определите частные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов. Прокомментируйте различие полученных частных коэффициентов корреляции с парными.

2. Постройте уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.

3. Оцените целесообразность включения одного фактора после другого в модель множественной регрессии.

 

Задача 7.

По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей:

 


Таблица 1.8 – Матрица парных коэффициентов корреляции

 

У Х1 Х2 Х3
У 1      
Х1 0,3 1    
Х2 0,6 0,1 1  
Х3 0,4 0,15 0,8  

Задание:

1. Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

2. Постройте уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе.

3. Оцените целесообразность включения переменной х1 в модель после введения в нее переменных х2 и х3.

 

Задача 8.

По 20 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн. руб.):

 

Таблица 1.9 – Результаты регрессионного анализа

 

Множественный коэффициент детерминации 0,81
Множественный коэффициент корреляции ? ? ?
Уравнение регрессии lny = ??? + 0,48 lnx1 +0,62 lnx2
Стандартные ошибки параметров ma =2; mb1 = 0,06; mb2 = ???
Расчетный критерий Стьюдента для параметров ta =1,5; tb1 = ???; tb2 = 5

Задание:

1. Восстановите пропущенные характеристики.

2. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х1 и х2 в исходном (явном) виде.

3. С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

4. Сделайте экономические выводы по результатам регрессионного анализа.

 

Задача 9.

В макроэкономических исследованиях широко используется производственная функция, согласно которой выпуск у (например, ВВП) следующим образом зависит от капитала К и числа занятых L:

 

У = а*Кb1*L b2.

 

Можно ли с помощью обычного МНК оценить параметры производственной функции? Если да, то как? Покажите ход решения задачи в общем виде. Поясните экономический смысл параметров.

 

Задача 10.

Для 20 наблюдений зависимость спроса на свинину у от цены на нее х1 и от цены на говядину х2 представлена уравнением

 

lny = 0,1274 – 0,2143lnx1 + 2,8254ln x2 .

Задание:

1. Представить данное уравнение в естественной форме.

2. Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что t – критерий для параметра b1 при х1 составил 0,827 а для параметра b2 при х2 –3,015.

3. Оценить силу влияния каждого фактора на результат.

 

Задача 11.

По 30 предприятиям отрасли были получены следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции у (млн. руб.) от численности занятых на предприятии х1 (чел.) и среднегодовой стоимости основных фондов х2 (млн. руб.):

 

Таблица 1 10 – Результаты регрессионного анализа

 

Множественный коэффициент детерминации ???
Множественный коэффициент корреляции 0,85
Уравнение регрессии y = ??? + 0,48 x1 +20 x2
Стандартные ошибки параметров ma =2; mb1 = 0,06; mb2 = ???
Расчетный критерий Стьюдента для параметров ta =1,5; tb1 = ???; tb2 = 4

 

Задание:

1. Восстановите пропущенные характеристики.

2. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость у от х1 и х2.

3. С вероятностью 0,95 постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

4. Сделайте экономические выводы по результатам регрессионного анализа.

 

Задача 12.

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от трех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг) и количества осадков в период вегетации – О (г). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:

 

1)    R2 = 0,75.

 

Таблица 1.11 – Доверительные интервалы

 

 

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L М
Нижняя 0,4 ???
Верхняя ??? 1,4

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

2)      R2 = 0,77.

Таблица 1.12 – Доверительные интервалы

 

 

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L М О
Нижняя 0,1 ??? ???
Верхняя ??? 2,3 1,5

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

 

Задание:

1. Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.

2. Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

3. Рассчитайте критерий Стьюдента при факторе О во 2 – ом уравнении.

 

Задача 13.

По данным, полученным от 20 фермерских хозяйств одного из регионов, изучается зависимость объема выпуска продукции растениеводства у (млн. руб.) от четырех факторов: численности работников L (чел.), количества минеральных удобрений на 1 га посева М (кг), количества осадков в период вегетации – О (г) и качества почвы Q (баллов). Были получены следующие варианты уравнений регрессий и доверительные интервалы коэффициентов регрессий:

 

1)      R2 = 0,77.

 

Таблица 1.13 – Доверительные интервалы

 

 

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L М О
Нижняя 0,1 ??? ???
Верхняя ??? 2,3 1,5

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

 

2)      R2 = 0,81.

 

Таблица 1.14 – Доверительные интервалы

 

 

Граница

Доверительные интервалы

для коэффициентов регрессии при факторе

L М О Q
Нижняя 0,3 -0,2 ??? 0,4
Верхняя ??? ??? -1,2 1,2

Примечание: доверительные интервалы построены с вероятностью Р = 0,95.

 

Задание:

1. Восстановите пропущенные границы доверительных интервалов в каждом уравнении.

2. Выберите наилучшее уравнение регрессии. Дайте интерпретацию их параметров и доверительных интервалов для коэффициентов регрессии на примере одного из факторных признаков.

3. Оцените целесообразность включения в модель y = (L, M, O) фактора Q.

Задача 14.

Производственная функция, полученная по данным за 1990 –1997 гг., характеризуется уравнением

 

lnP = 0,552 + 0,2761lnZ + 0,5211ln K .

(0,584)   (0,065)

R2PZK = 0,9843, R2PZ = 0,7826, R2PK = 0,7843.

 

где Р – индекс промышленного производства;

Z - численность рабочих;

К – капитал.

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

 

Задание:

1. Дайте интерпретацию параметров уравнения регрессии.

2. Оцените значимость коэффициентов регрессии и сделайте выводы.

3. Оцените значимость уравнения регрессии в целом.

4. Найдите величины частных критериев Фишера и сделайте выводы о целесообразности включения факторов в модель.

5. Какова роль факторов, не учтенных в модели, в вариации индекса промышленного производства.

 

Задача 15.

По 30 наблюдениям получены следующие данные:

 


Таблица 1.15 – Данные регрессионного анализа

 

Уравнение регрессии
Коэффициент детерминации 0,65
200
150
20
100

Задание:

1. Найдите скорректированный коэффициент корреляции, сделайте вывод о тесноте связи исследуемых признаков.

2. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом.

3. Определите средние коэффициенты эластичности.

4. Рассчитайте значение параметра а.

Задача 16.

Зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от объемов производства продукции А – х1 (тыс. ед.) и продукции Б – х2 (тыс. ед.) характеризуется следующим образом:

 

Таблица 1.16 – Данные регрессионного анализа

 

Уравнение регрессии в стандартизованном виде
Коэффициент детерминации 0,95
Коэффициент вариации у, Сv, 27%
Коэффициент вариации x1, С x1, 45 %
Коэффициент вариации x2, С x2, 40 %

 

Задание:

1. Сделайте выводы о силе влияния факторов на результат.

2. Определите средние коэффициенты эластичности, сделайте по ним выводы.

3. Оцените значимость уравнения регрессии, учитывая, что оно построено по 30 наблюдениям.

 

Задача 17.

Имеется информация по 20 наблюдениям

 


Таблица 1.17 – Информация для эконометрического анализа

 

Признак Среднее значение Коэффициент вариации, % Уравнение регрессии
у 35 20
х1 16 30
х2 8 10

 

Задание:

1. Оцените статистическую значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что rx1x2 = -0,35.

2. Оцените статистическую значимость коэффициентов в уравнении множественной регрессии.

3. Определите показатели частной корреляции.

4. Рассчитайте средние коэффициенты эластичности.

Задача 18.

Имеется информация по 18 наблюдениям

 

Таблица 1.18 – Информация для эконометрического анализа

 

Признак Среднее значение Коэффициент вариации, % Уравнение регрессии
у 23 20
х1 6 40
х2 8 10

 

Задание:

1. Оцените статистическую значимость каждого уравнения регрессии, если известно, что rx1x2 = -0,5.

2. Оцените статистическую значимость коэффициентов в уравнении множественной регрессии.

3. Определите показатели частной корреляции.

4. Рассчитайте скорректированный коэффициент множественной корреляции.

 

Задача 19.

По совокупности 30 предприятий концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника х1 (ед.) и индекса цен на продукцию х2  (%).

 

Таблица 1.19 – Данные эконометрического исследования

 

Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
у 250 38 r yx1 =0,68
х1 47 12 r yx2 =0,63
х2 112 21 r х1x2 =0,42

Задание:

1. Постройте линейные уравнения парной регрессии, оцените их статистическую значимость.

2. Найдите уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном виде.

3. Рассчитайте множественный коэффициент корреляции, общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

 

Задача 20.

По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии у (тыс. Квт * час) от производства продукции – х1 (тыс. ед.) и уровня механизации – х2 (%). Полученные данные характеризуется следующим образом:

 

Таблица 1.20 – Данные анализа работы предприятий

 

Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
у 1000 27 r yx1 =0,77
х1 420 45 r yx2 =0,43
х2 41,5 18 r х1x2 =0,38

 

Задание:

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

3. Найдите средние коэффициенты эластичности и сделайте вывод о силе влияния факторов на результат.

4. Рассчитайте общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

 

Задача 21.

Изучается зависимость по 25 предприятиям концерна потребления материалов у (тонн) от энерговооруженности труда – х1 (кВт * час на одного рабочего) и объема произведенной продукции – х2 (тыс. ед.).

 

Таблица 1.21 – Данные анализа работы предприятий

 

Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
у 12 2 r yx1 =0,52
х1 4,3 0,5 r yx2 =0,84
х2 10 1,8 r х1x2 =0,43

Задание:

1. Сделайте вывод о тесноте связи исследуемых признаков.

2. Постройте уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров.

3. Определите показатели частной и множественной корреляции.

4. Найдите средние коэффициенты эластичности и сделайте вывод о силе влияния факторов на результат.

5. Рассчитайте общий и частный критерии Фишера и сделайте по ним выводы.

 

Задача 22.

По 20 семьям изучалось потребление мяса у (кг на душу населения) от дохода – х1 (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы – х2 (кг на душу населения). Результаты оказались следующие:

 

Таблица 1.22 – результаты регрессионного анализа

 

Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров ma =20; mb1 = 0,01; mb2 = 0,25
Множественный коэффициент корреляции 0,85

Задание:

1. Используя критерий Стьюдента, оценить значимость параметров уравнения.

2. Рассчитайте общий критерий Фишера и сделайте выводы о статистической значимости уравнения регрессии.

3. По частным критериям Фишера оцените целесообразность включения в модель:

а) фактора х1 после фактора х2;

б) фактора х2 после фактора х1.

 

Задача 23.

По 40 предприятиям одной отрасли исследовалась зависимость производительности труда у от уровня квалификации рабочих – х1 и энерговооруженности их труда – х2. Результаты оказались следующие:

 

Таблица 1.23 – Результаты регрессионного анализа

 

Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров ma =0,5; mb1 = 2; mb2 = ???
Расчетный критерий Стьюдента для параметров ta =3,0; tb1 = ???; tb2 = 5,0
Множественный коэффициент корреляции 0,85

 

Задание:

1. Определите параметр а и заполните пропущенные значения.

2. Оцените значимость уравнения в целом.

3. Выявите, какой из факторов оказывает более сильное влияние на результат.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 7831; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!