Шесть функций сложного процента
Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.
FV = PV*(1+i)n | (1.4) |
FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);
PV – текущая стоимость капитала (present value);
i – ставка процента;
n – количество периодов.
В каких случаях используется формула сложного процента:
Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.
Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?
FV = 1 руб.*(1+10%)5 = 1,61 руб.
Пример. Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (ip), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (iф).
Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: ip= iг/2 = 24% /2 =12%
Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12)2 = 1254,4 руб.
Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.
Определим фактическую годовую ставку: iф= (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%
Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.
|
|
Пример. Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?
Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %
72 / 12% = 6 лет.
Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.
Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.
Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).
РМТ (payment) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).
Серия таких платежей называется аннуитетом.
Различают обычный и авансовый аннуитет.
Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:
|
|
FVк = | (1+i)n -1 | *PMT | (1.5) |
i |
Будущая стоимость авансового аннуитета (платежи в начале каждого периода). Будущая стоимость этого аннуитета выражается следующей формулой:
FVн =[ | (1+i)n+1 -1 | -1] | *PMT | (1.6) |
i |
Пример. Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?
Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:
FVк = | (1+12%)5 -1 | *1000$ | =6353 $ |
|
12% |
Теперь определим, сколько денег мы будем иметь в том случае, если вклады делать в начале каждого года?
FVн = [ | (1+12%)5+1 -1 | -1] | *1000$ | = 7115 $ |
12% |
Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.
Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.
Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.
|
|
Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.
Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):
ФФОВ = | РМТ = | _____i___ | *FV | (1.7) |
(1+i)n - 1 |
Фактор Фонда Авансового Возмещения (платежи в начале каждого периода):
ФФАВ = | РМТ = | ______i______ | *FV | (1.8) |
(1+i)n+1 – (1+i) |
2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.
Пример. Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?
1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:
|
|
ФФОВ = | _____15%___ | *1000$ | = 148 $ |
(1+15%)5 - 1 |
- Фактор Фонда Авансового Возмещения:
ФФАВ = | _______15%________ | *1000$ | = 129 $ |
(1+15%)5+1 – (1+15%) |
Из расчетов видно, что гораздо депонировать деньги в начале каждого года.
Пример. Вы взяли льготный беспроцентный кредит в размере 10000$ на 5 лет. Какую сумму вам необходимо депонировать ежемесячно в банке для возврата этого кредита, если номинальная годовая банковская ставка составляет 15%, а аккумулирование (начисление процентов на остаток на счете) происходит ежемесячно. Как выгоднее депонировать деньги в банк – в начале или в конце месяца?
1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:
ФФОВ = | _____1,25%____ | *10000$ | = 113 $ |
(1+1,25%)5*12 - 1 |
2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:
ФФАВ = | ________1,25%__________ | *10000$ | = 111,5 $ |
(1+1,25%)5*12+1 – (1+1,25%) |
Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.
Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.
Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:
PV = FV /(1+i)n (1.9)
Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.
Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.
PV = 12000$ /(1+10%)4 = 8196 $
Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.
5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i).
В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.
Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).
Текущая стоимость обычного аннуитета:
PVк= | 1 – (1+i)– n | *PMT | (1.10) |
I |
Текущая стоимость авансового аннуитета:
PVн=[ | 1 – (1+i)– ( n – 1) | +1] | *PMT | (1.11) |
i |
Пример. Какова текущая стоимость потока доходов, если известно, что ежегодный доход в 100$ приносится в конце каждого года на протяжении 4-х лет, если на вложения с аналогичным уровнем риска можно получить 10% годовых?
1. Если платежи будут производится в конце каждого года то:
PVк= | 1 – (1+10%) – 4 | *100 | = 316,9 $ |
10% |
2. Если платежи будут производится в начале каждого года:
PVн = [ | 1 – (1+10%) – (4 – 1) | +1] | *100 | = 348,6$ |
i |
Шестая функция сложного процента – фактор амортизации капитала.
6-я функция определяет размер равновеликих периодических платежей (РМТ), погашающих за определенное число периодов (n) основную сумму кредита (PV) и процент по нему.
Выплата по проценту – это плата за представленный кредит. 6-я функция взаимосвязана с 5-й функцией. В зависимости от того, как платятся взносы: различают обычный взнос на амортизацию и авансовый.
Обычный взнос на амортизацию (платежи в конце периода):
РМТк = | PV*i___ | (1.12) |
1 – (1+i) – n |
Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):
РМТн = | PV*i_____ | (1.13) |
(1+i) – (1+i) – (n – 1) |
Пример. Вы взяли кредит в банке в размере 15000$ на 5 лет под 12% годовых, и собираетесь рассчитаться по нему путем периодических платежей в конце каждого года. Какую сумму нужно вам платить каждый год, чтобы рассчитаться и с основным долгом (15000$) и с процентами по нему?
1. Если платежи в конце года:
РМТк = | 15000$*12%___ | = 4161$ |
1 – (1+12%) – 5 |
2. Если платежи в начале года:
РМТн = | 15000$*12%_____ | = 3715$ |
(1+12%) – (1+12%) – (5 – 1) |
Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.
2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?
3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?
4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?
5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.
6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?
7. Какова структура инвестиционного рынка?
8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.
Тесты
1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?
а) приобретение иностранной валюты;
б) вложения в облигации на вторичном рынке;
в) вложения в депозитные сертификаты;
г) лизинговое финансирование;
д) вложения в акции на первичном рынке.
1.2. Основными целями инвестирования являются:
а) получение прибыли;
б) достижение социального эффекта;
в) накопление капитала
1.3. Прямые инвестиции предполагают:
а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;
б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;
в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.
1.4. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?
а) инвестор;
б) исполнитель;
в) проектировщик;
г) подрядчик;
д) страховое общество.
1.5. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?
а) услуг;
б) обращения;
в) материального производства;
г) нематериального производства.
1.6. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:
а) инвестиционное кредитование;
б) инвестирование в ценные бумаги;
в) проектное финансирование;
г) долевое участие.
1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?
а) коммуникации;
б) природные ресурсы;
в) вложения в человеческий капитал;
г) ценные бумаги;
д) патенты, лицензии.
1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?
а) объекты вложения инвестиций;
б) воспроизводственные формы;
в) стадии инвестиционного процесса;
г)субъекты инвестиционной деятельности.
1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:
а) Р.Ф. Кан;
б) Самуэльсон;
в) Дж. М. Кейнс.
1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:
а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;
б) затраты на приобретение объектов природопользования;
в) вложения в оборотные средства предприятия.
Задачи для практических занятий
Задача 1.1.
Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.
6 функция
РМТ к = 176050 р.
РМТ н = 126351,8 р.
Задача 1.2.
Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
3 функция:
РМТ к =
РМТ н =
Задача 1.3.
Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
4 функция:
PV = 800 \ (1+0,12) 10 =
Задача 1.4.
Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?
1 функция FV = 800 *(1+0,12) 10 =
Задача 1.5.
Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?
2 функция
РМТ к =
РМТ н =
Задача 1.6.
Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?
5 функция
PV к =
PV н =
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 4419; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!