Метод аппроксимации частотных характеристик с помощью многочленов Чебышева.

Имеется несколько методов расчётов импульсных характеристик, а именно: ·  Оконный метод · Метод аппроксимации частотных характеристик с помощью многочленов Чебышева · Метод линейного программирования Оконный метод (метод взвешивания) самый простой метод. В принципе, если   - задано, то: Тогда: (1) Использование обратного преобразования Фурье позволяет вычислить импульсную характеристику, но бесконечной длины. Импульсная характеристика имеет бесконечную длину, поскольку суммирование производится в бесконечных пределах. Желаемая частотная характеристика может быть воспроизведена в точности только тогда, когда импульсная характеристика бесконечной длины. Лучшие результаты даёт метод проектирования КИХ – фильтров, с помощью весовой последовательности конечной длины, называемой окном. Эта последовательность используется для модификации коэффициентов Фурье с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье. В реальности предполагается использовать только первое N+1 значение импульсной характеристики. Легко показать, что эта частотная характеристика будет связана с желаемой частотной характеристикой следующим образом. Подставим в определение КИХ выражение (87): Геометрическая прогрессия: Так, что: (2) (3) АЧХ – Амплитудно- Частотная Характеристика весовой функции вида: (4) Окном анализа принято называть некоторую функцию отсчётов, которая равна нулю вне интервала от 0 до N и изменяется по некоторому закону там, где она принимает ненулевые значения. Законы изменения значений оконной функции могут быть различны, однако, основным требованием к ним является мера узости в частотной области. Для каждого вида окна можно вычислить ей частотную характеристику: Для большинства приемлемых окон функция имеет главный лепесток, содержащий почти всю энергию окна, и боковые лепестки, которые обычно быстро затухают. Если есть набор: То оконная обработка предполагает, что: Трансформанта Фурье, это будет: (5) Частотная характеристика прямоугольного окна: Максимум, когда числитель равен 1. Прямоугольное окно критикуется за то, что у него большие боковые лепестки, которые искажают, за счёт интервала свёртки, частотную характеристику фильтра. Желательно, чтобы окно обладало следующими свойствами: 1) Ширина главного лепестка частотной характеристики окна, содержащего по возможности большую часть общей энергии, должна быть малой. Расширение главного лепестка соответствует расширению переходной полосы между полосами пропускания и непропускания 2) Энергия в боковых лепестках частотной характеристики окна должна быстро уменьшаться при приближении  к . Уменьшение уровня боковых лепестков соответствует меньшим пульсациями в полосе пропускания и лучшему подавлению в полосе непропускания фильтра. Чтобы уменьшить влияние боковых лепестков придумали различные виды окон: a) Треугольное (окно Бартлетта) b) Косинус – квадрат (окно Ханна) c) Приподнятый косинус (окно Хэмминга)

Окно Бартлетта.

У окна Бартлетта основной лепесток будет в два раза шире, но боковые меньше.

Все окна, которые известны, приводят к расширению основного лепестка за счёт уменьшения амплитуды боковых. Это достигается за счёт того, что окна по краям имеют значения близкие к нулю.

 

Окно Ханна.

Исторически потом было окно Ханна (косинус – квадрат).

То есть прямоугольное окно минус косинуидальное окно.

 

Окно Хэмминга (приподнятый косинус).

Эти коэффициенты Хэмминг выбрал, чтобы наилучшим образом погасить боковые лепестки.

 

Оконное проектирование фильтров сводится к вычислению:

А потом преобразование её с умножением на коэффициент окна.

Метод аппроксимации частотных характеристик с помощью многочленов Чебышева.

Наиболее часто используемым подходом является метод, основанный на вычислениях многочленов Чебышева.

Такая аппроксимация частотных характеристик позволяет минимизировать абсолютное отклонение от желаемой кривой. Этот метод аппроксимации частотных характеристик используется и включён в пакет Matlab (remez).

Ремез Е. Я. – киевский математик, который разработал алгоритм для вычисления коэффициентов .

При проектировании фильтров определяется уровень фильтрации и ширина переходной полосы.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 420;