ОДНОМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА. Основные уравнения сохранения, которые справедливы, естественно, и для нестационарного потока, можно преобразовать к виду
Основные уравнения сохранения, которые справедливы, естественно, и для нестационарного потока, можно преобразовать к виду, при котором в них будут входить комплексы, называемые инвариантами Римана. Инварианты Римана широко используются при расчете нестационарного движения газа и имеют следующий вид:
.
Линии, совпадающие с траекториями движения элементарных волн в плоскости x-t и частиц , называют характеристиками.
Особенность инвариантов Римана заключается в том, что вдоль характеристического направления при изоэнтропийных плоских движениях газа величина соответствующих инвариантов (при изменении скорости звука с и скорости потока u) остается постоянной.
Необходимо подчеркнуть, что в инварианты Римана входят два параметра – скорость звука или температура и скорость потока, поэтому для определенности необходимо задание еще одного параметра – давления или плотности.
Для упрощения расчетов нестационарного течения газа используются (по аналогии со стационарными течениями) газодинамические функции для изоэнтропийных нестационарных течений, связывающие статические параметры потока с параметрами нестационарно заторможенного потока. Поскольку поток газа может быть заторможен нестационарно как волной разрежения, так и волной сжатия, то для каждого параметра состояния используются две газодинамические функции:
для скорости звука
|
|
для температуры
для плотности
для давления
,
где с', T', r' и p' – параметры, полученные при торможении потока волной разрежения; с'', T'', r'' и p'' – параметры, полученные при торможении потока волной сжатия.
При решении задач, в которых рассматривается течение на открытом конце трубы (истечение или втекание) необходимо задавать граничные условия. Количество граничных условий равно количеству характеристик на открытом конце канала, входящих в расчетную область в плоскости x-t. На рис. 3.1 показаны траектории характеристик на конце канала при истечении газа из канала.
Рис. 3.1
В расчетную область, т. е. в канал входит одна характеристика
I–. Таким образом, в данном случае необходимо задать одно граничное условие. Этим условием является равенство давления на срезе канала давлению окружающей среды (pc = p0).
На рис. 3.2 показаны траектории характеристик на конце канала при втекании газа в канал из окружающей среды.
Рис. 3.2
Поскольку поток направлен влево, в расчетную область входят две характеристики: скорость потока u и инвариант I–. Таким образом, в данном случае необходимо задать два граничных условия. Этими условиями являются равенство полных температур на срезе канала и в окружающей среде , а также равенство полных давлений на срезе канала и давления окружающей среды с учетом потерь .
|
|
В отличие от простых волн состояние газа на фронте ударной волны изменяется скачком (рис. 3.3) и соотношения параметров имеют другой вид.
Рис. 3.3
Приращение скорости потока при переходе через ударную волну
,
где Му – число Маха ударной волны.
Отношение давлений на ударной волне
.
ПРИМЕР
По каналу постоянного поперечного сечения по направлению к открытому концу канала движется волна разрежения с инвариантом Римана I+3. Определить инвариант волны, отраженной от открытого конца канала, если инварианты Римана перед волной в канале и окружающей среде равны I+0 = I-0. Давление окружающей среды р0, коэффициент восстановления полного давления на входе в канал s.
Решение
Поскольку инварианты Римана перед волной равны, то воздух перед волной неподвижен, поэтому можно записать
I+0 = I-0 = I-3.
Схема течения газа до момента отражения волны разрежения от открытого конца канала показана на рисунке 3.4.
Рис. 3.4
Третью и нулевую зону разделяет фронт волны разрежения.
После того как волна разрежения подходит к открытому концу канала, волна отражается волной сжатия и происходит втекание газа в трубопровод.
|
|
Расчетная схема течения после отражения волны разрежения от открытого конца канала показана на рисунке 3.5.
Рис. 3.5
Третью и вторую зоны разделяет фронт волны сжатия, отраженной от открытого конца канала; вторую и первую зоны – контактная поверхность. Слева и справа от контактной поверхности (в зонах 2 и 1) давления и скорости равны, а числа Маха разные. Во всех зонах воздух движется влево. В зоне 1 находится воздух, поступивший в канал из окружающей среды.
Для решения задачи необходимо задать два граничных условия. Граничные условия получают из предположения об установившемся адиабатическом втекании газа из окружающей среды в трубопровод
.
Определим число Маха в третьей зоне по инвариантам Римана. Скорость потока
.
Скорость звука в потоке
.
Число Маха
M3 = u3/с3.
Давление в третьей зоне
p3 = p0p¢(M3).
Запишем тождество
.
Выразим параметры уравнения через газодинамические функции и известные параметры.
Из второго граничного условия получим
.
Отношение давлений на фронте волны
.
Давления слева и справа от контактной поверхности равны
.
Подставим в тождество эти параметры. Тогда оно будет иметь вид
. (3.1)
|
|
В уравнении (3.1) два неизвестных – М2 и М1. Из равенства скоростей на контактной поверхности можем получить второе уравнение
с1М1 = с2М2.
Выразим скорости звука через известные параметры и газодинамические функции. Из первого граничного условия получим
.
Отношение скоростей звука на фронте волны
.
Тогда
. (3.2)
Решая систему уравнений (3.1) и (3.2), находим M2 и M1.
Инвариант отраженной волны находится по уравнению
.
ЗАДАЧИ
Задача 3.1. По каналу движется волна сжатия, перед которой воздух неподвижный. Избыточное давление в волне равно 0,15 МПа, давление и температура неподвижного воздуха соответственно равны 0,1 МПа и 290 К. Определить инварианты Римана в волне и в неподвижной среде.
Задача 3.2. Поршень, находящийся в канале постоянного поперечного сечения начал двигаться с ускорением 1000 м/с2 и через 0,1 с остановился. Определить максимальные давление и температуру в волне, возбужденной в канале справа от поршня и ее длину. Начальные параметры воздуха в канале: p0 = 0,1 МПа, T0 = 270 K.
Задача 3.3. По каналу движется волна сжатия, давление в которой равно 0,2 МПа. Перед волной движется поршень со скоростью
100 м/с. Параметры газа между волной и поршнем р0 = 0,1 МПа,
Т0 = 300 К. В начальный момент времени расстояние между поршнем и волной равно 1 м. Определить время, за которое волна догонит поршень, давление за поршнем и инвариант отраженной от поршня волны после взаимодействия волны и поршня.
Задача 3.4. В канале постоянного поперечного сечения на расстоянии 0,5 м друг от друга расположены два поршня (рис. 3.6). В некоторый момент времени они мгновенно начинают двигаться со скоростью uп = 50 м/с в одну сторону. Построить график изменения давления по длине трубопровода в момент времени 0,0005 с от начала движения. Начальное давление равно 0,1 МПа, начальная температура равна 273 К. Трение и теплообмен отсутствуют. Воздух до начала движения был неподвижным.
Рис. 3.6
Задача 3.5. По каналу постоянного поперечного сечения по направлению к открытому концу канала движется простая волна сжатия. Определить при каком давлении скорость истечения воздуха на открытом конце будет равна местной скорости звука, если параметры воздуха перед волной и в окружающей среде равны соответственно 0,1 МПа и 273 К.
Задача 3.6. По каналу постоянного поперечного сечения по направлению к открытому концу канала движется волна разрежения. Определить при каком давлении в волне скорость втекания воздуха в канал будет равна местной скорости звука, если давление и температура воздуха перед волной и в окружающей среде равны соответственно 0,1 МПа и 273 К. Потерями на входе в канал пренебречь.
Задача 3.7. По каналу постоянного поперечного сечения навстречу друг другу движутся поршень со скоростью uп = 70 м/с и волна сжатия, инвариант Римана которой равен 2000 м/с (рис. 3.7). Определить инварианты волны, отраженной от поршня.
Рис. 3.7
Задача 3.8. По каналу постоянного поперечного сечения по направлению к открытому концу канала движется волна с инвариантом, равным 1600 м/с. Определить инвариант отраженной от открытого конца волны, если инварианты в канале перед волной и в окружающей среде равны 1700 м/с. Потери на входе в канал не учитывать.
Задача 3.9. По каналу постоянного поперечного сечения по направлению к открытому концу канала движется волна разрежения, избыточное давление в которой равно -0,07 МПа. Определить давление в волне, отраженной от открытого конца канала, если давление и температура воздуха в канале перед волной и в окружающей среде соответственно равны 0,1 МПа и 273 К. Коэффициент восстановления полного давления на входе в канал s = 0,9.
Задача 3.10. По каналу постоянного поперечного сечения по направлению к открытому концу канала движется волна сжатия, избыточное давление в которой равно 0,05 МПа. Определить давление в волне, отраженной от открытого конца канала, если давление и температура воздуха в канале перед волной и в окружающей среде соответственно равны 0,1 МПа и 273 К.
Задача 3.11. По каналу постоянного поперечного сечения навстречу друг другу движутся две волны сжатия с максимальными давлениями 0,15 МПа и 0,2 МПа (рис. 3.8). Определить максимальное давление в канале после наложения волн друг на друга. Начальные параметры в канале: р0 = 0,1 МПа и Т0 = 273 К.
Рис. 3.8
Задача 3.12. По каналу постоянного поперечного сечения навстречу друг другу движутся две волны сжатия с инвариантами I+1 = 1800 м/с и I-2 = 2000 м/с. Построить в координатах «длина-время» траектории движения инвариантов I+1 и I-2 до и после их встречи. Температура неподвижного воздуха в канале перед волной равна 273 К.
Задача 3.13. Считая течение изоэнтропийным, найти давление перед диафрагмой, установленной на конце канала, если избыточное давление в волне, подходящей к диафрагме равно Dрв = 0,05 МПа, а параметры неподвижного воздуха в канале р0 = 0,1 МПа и Т0 = 273 К (рис. 3.9). Отношение площади отверстия к площади канала составляет 0,4.
Рис. 3.9
Задача 3.14. Определить давление в волне, прошедшей через диафрагму, которая установлена в канале постоянного поперечного сечения (рис. 3.10). Избыточное давление в исходной волне
Dрв = 0,05 МПа, давление и температура невозмущенного воздуха в канале р0 = 0,1 МПа и Т0 = 273 К. Отношение площади отверстия к площади канала составляет 0,6. Коэффициент восстановления полного давления на диафрагме s = 0,8.
Рис. 3.10
Задача 3.15. По каналу постоянного поперечного сечения по направлению к открытому концу канала движется волна сжатия, избыточное давление в которой равно 0,4 МПа. Определить давление на срезе канала, если начальные параметры воздуха р0 = 0,1 МПа и Т0 = 273 К.
Задача 3.16. Определить давление в волне, прошедшей в узкую часть канала, если избыточное давление в волне, двигавшейся по широкому каналу Dрв = 0,08 МПа (рис. 3.11). Отношение площадей каналов равно 2, коэффициент восстановления полного давления на скачке сечения s = 0,9. Начальные параметры газа в канале: р0 =
0,1 МПа и Т0 = 273 К.
Рис. 3.11
Задача 3.17. Определить давление в волне, отраженной от скачка сечения (внезапного расширения канала) и инвариант отраженной волны, если избыточное давление в волне, двигавшейся к скачку сечения равно 0,05 МПа. Отношение площадей каналов равно 3, коэффициент восстановления полного давления на скачке сечения s = 0,8. Начальные параметры в канале: р0 = 0,1 МПа и Т0 = 273 К.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: учебник. – 7-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2003. – 840 с.
2. Стулов В. П. Лекции по газовой динамике: учебник. – М.: Физматлит , 2004. – 192 с.
3. Кудинов В. А., Карташов Э. М. Гидравлика: учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 2006 – 175 с.
4. Гидромеханика: учебник для вузов / Под ред. Д. П. Попова. – 2-е изд., стереотип. – М.: МГТУ им. Н.Э Баумана, 2002. – 384 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Кинематическая вязкость жидкостей при температуре 20° С
Жидкость | Кинематическая вязкость, м2/с |
Вода пресная | 1,01×10-6 |
Бензин | 0,83-0,93×10-6 |
Дизельное топливо | 5×10-6 |
Нефть | 8,1-9,3×10-6 |
Масло минеральное | 313-1450×10-6 |
Спирт этиловый | 1,51×10-6 |
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1099; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!