ЛОДУ второго пордка с переменными коэффициентами-степенными функциями. Уравнения Эйлера.



6.1.1. Подстановка Эйлера (сведение к ЛОДУ с постоянными коэффициентами). ЛОДУ второго порядка, у которых коэффициенты при производных-степенные функции с показателем равным порядку производной с помощью подстановки Эйлера сводятся к ЛОДУ с постоянными коэффициентами

         (1)

решение которого определяется известными методами, изложенными в предыдущих лекциях.

6.1.2. Метод характеристических показателей степенных фундаметальных решений Эйлера. Полагая фундаментальные решения соответствующих однородных ЛОДУ в виде степенных функций с искомым показателем

                                   (2)

Характеристическое (вековое) определяющее уравнение для чисел -алгебраическое уравнение второго порядка, корням которого

                                                                                   (3) 

соответствуют следующие фундаментальные решения

- корни действительные простые (некратные)

                                                                                                  (4)

- корни действительные кратные

                                                                                            (5)

- корни комплксно-сопряженные

                                                               (6)

Пример 13 (РГР). Решить уравнение

                                              

Используем метод подстановки Эйлера-степенных фундаментальных решений, в соответствии с которым однородному уравнению ставится в соответствие вековое уравнение и фундаментальные решения

                  

Правая часть специального вида, поэтому частное решение может быть определено методом неопределенных коэффициентов по схеме

          

6.2. Общие и частные решения для ОДУ второго порядка. Для ОДУ второго порядка определены три основные типа задач:

-определение общего решения ОДУ на заданном промежутке ;

           (7)

-определение частного решения ОДУ на заданном промежутке , удовлетворяющем начальному условию (условию Коши), когда заданы значение искомой функции и ее производной в заданной точке промежутка

     (8)

-определение частного решения ОДУ на заданном промежутке , удовлетворяющем граничным условиям (краевым), когда заданы значение искомой функции или ее производной в конечных точках промежутка.

 

 

Краевая задача для ОДУ второго порядка.

Произвольные постоянные (две) интегрирования в общем решении ОДУ определяются из дополнительных краевых (граничных) условий. Для ЛОДУ второго порядка

            (9)

различают три типа линейных краевых условий:

-условия первого рода (Дирихле), когда на краях интервала заданы значения искомой функции

   (10)

-условия второго рода (Неймана), когда на краях интервала заданы значения производных искомой функции

  (11)

-условия третьего рода (Робина или Ньютона), когда на краях интервала заданы линеные комбинации значений искомой функции и ее производных

              (12)

В результате постоянные интегрирования определяются из линейной системы двух алгебраических уравнений, дающей частное решение краевой (граничной) задачи для ОДУ второго порядка.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 665; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!