Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОДУ 1 ГО ПОРЯДКА.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка, записанное в нормальной форме:

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравненияf(x,y), D ⊂ R² .

Функция y = y(x) является решением задачи Коши

если y = y(x) дифференцируема на [a,b] , (x,y(x)) ∈ D для всех x из [a,b] , y(x₀) = y₀ , x₀∈[a,b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений являетсятеорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная f_y(x, y) непрерывны в некоторой области Dплоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит области D.

Тогда :

— в некоторой окрестности (x₀ − δ,x₀ + δ) точки x₀ существует решение задачи Коши

— если y = φ₁(x) и y = φ₂(x) два решения задачи Коши, то φ₁(x) = φ₂(x) на (x₀ − δ,x₀ + δ) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀,y₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = φ(x; x₀) — семействорешений задачи Коши

элементы которого различны для разных значений x₀ . Иными словами область D"расслаивается" на интегральные кривые y = φ(x; x₀) .

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x₀ . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

ОДУ 2 порядка, правая часть которого не содержит явного[x]

Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): .
Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).
Опр. Частным решением уравнения на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.
Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения называется такое соотношение , что:
1. Любое решение этого соотношения относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой областиn-мерного пространства) является частным решением уравнения ;
2. Любое частное решение уравнения может быть получено из общего решения при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n.
Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: .
14.4.1. Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка: требуется найти решение уравнения

;

(17)

удовлетворяющее начальным условиям

(18)

где y₀, y₁, y₂, …, y_n-1 - заданные числа.
В случае уравнения второго порядка это означает, что требуется найти решение, проходящее через заданную точку (x₀, y₀,) с заданным угловым коэффициентом y₁.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Пусть функция f(x, y, p₁, p₂, …, p_n-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области Dn + 1-мерного евклидового пространства переменных(x, y, p₁, p₂, …, p_n-1), и пусть точка (x₀, y₀, y₁, y₂, …, y_n-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x₀ существует решение уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18). Это решение единственно.

14.4.2. Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.
14.4.2.1. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y = cos x + C₁x³ + C₂x² + C₃x + C₄.
14.4.2.2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения видаF(x, y^(k), y^(k+1), y^(k+2), …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y^(k)(x). Тогда z^(n-k) = y⁽ⁿ⁾(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением n - k-го порядка. После нахождения z(x)последовательным интегрированием решается уравнение y^(k) = z(x).
Пример: решить задачу Коши: .
Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции . Тогда , и уравнение примет вид . Это - уравнение Бернулли; пусть z = uv, тогда , , , следовательно, . Относительно y(x) - это уравнение . Мы можем последовательно находить и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постояннойC₁: . Теперь . Из условия при x = 1 находим C₂: ; из условия y = 3 при x = 1 находим C₃: . Окончательный ответ: .
14.4.2.3. Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x.Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: . Старшие производные y по xвычисляются по правилу дифференцирования сложной функции: .

Аналогично,
Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k-1 -ую производную p по y. В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором yвыступает как аргумент, p(y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p(y, C₁) этого уравнения решается уравнение , решение которого y = y(x, C₁, C₂) будет общим решением исходного уравнения.
Примеры: 1. Задача Коши .
Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , , тогда . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений , поэтому рассматриваем два случая:
1. ;
2. Это - уравнение с разделяющимися переменными: . Получено уравнение , решаем его: . Это общее решение уравнения, в данном случае оно включает в себя решение y = C при C₂ = 0. Находим значения постоянных, при которых удовлетворяются начальные условия: из . Далее, из следует, что , т.е. C₂ = 0. Частное решение - , т.е. y = 2.
Пример 2.
Решение: . Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при x = 0 должно быть , то получим . Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению . Находим : . Ответ: решение задачи Коши .

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

В этой статье поговорим о решении линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений порядка выше второго с постоянными коэффициентами. Такие уравнения имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X.

Сразу скажем, что аналитически решить такие уравнения далеко не всегда возможно и обычно используют приближенные методы. Однако в некоторых случаях возможно отыскать общее решение.

Сформулируем две теоремы, которые показывают, в каком виде искать общие решения ЛОДУ и ЛНДУ.

Общим решением y₀ линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .

Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными на том же промежутке Xкоэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму , где y₀ - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде , где - какое-нибудь его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного уравнения .

Сначала разберемся как находить , а в конце покажем как определить .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения . Если мы найдем все n корней характеристического уравнения , то, исходя из их значений, можно определить n частных линейно независимых решений исходного ЛОДУ.

Перечислим все возможные варианты и разберем примеры на каждый из них:

1. если все решения характеристического уравнения действительные и различные, то линейно независимые частные решения имеют вид

;

2. если все решения характеристического уравнения действительные и одинаковые , то линейно независимые частные решения имеют вид

3. если решениями характеристического уравнения являются различные комплексно сопряженные пары , n = 2m, то линейно независимые частные решения имеют вид

если решениями характеристического уравнения являются совпадающие комплексно сопряженные пары , то линейно независимые частные решения имеют вид

1. Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни, предварительно разложив многочлен в левой части равенства на множители способом группировки:

Все три корня действительные и различные, поэтому общее решение ЛОДУ имеет вид

2. Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение этого ЛОДУ четвертого порядка имеет вид . Если обратиться к формуле бинома Ньютона, то характеристическое уравнение можно переписать в виде , откуда видно его четырехкратный корень k₀ = 2. Таким образом, общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 675; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!