ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

Вычисление пределов последовательностей и функций.

Пусть задана функция . Если при неограниченном приближении к соответствующие значения функции неограниченно близко приближаются к числу А, то говорят, что функция имеет предел и пишут . При вычислении предела надо в функцию подставить .

Пример. Вычислить предел функции.

1) 2)

Функция называется бесконечно большой (б.б.), если .

Функция называется бесконечно малой (б.м.), если .

Пусть , тогда и Эти правила для краткости можно записать следующим образом:

Пример. Вычислить предел функции.

1) 2)

При вычислении пределов после подстановки может получиться:

. Эти выражения называются неопределенностью. Для каждого вида неопределенности существует свой способ «раскрытия».

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности достаточно сравнить степени числителя и знаменателя по простому правилу:

Пример. Вычислить предел функции.

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности надо сократить дробь.

В некоторых случаях надо использовать таблицу эквивалентностей.

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если . Обозначение Приведем основные эквивалентности.

При верно:

Пример. Вычислить предел функции.

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности надо преобразовать выражение так, чтобы получилась неопределенность вида . Например, привести к общему знаменателю.

Пример. Вычислить предел функции.

Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности применяется второй замечательный предел:

Пример. Вычислить предел функции.

Задание 1. Вычислить пределы функций.

Задание 2.Вычислить предел функции.

Задание 3.Вычислить пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание 1. Вычислить пределы.

Вариант 1. 1) 2) 3)

Вариант 2. 1) 2) 3)

Вариант 3. 1) 2) 3)

Вариант 4. 1) 2) 3)

Вариант 5. 1) 2) 3)

Вариант 6. 1) 2) 3)

Вариант 7. 1) 2) 3)

Вариант 8. 1) 2) 3)

Вариант 9. 1) 2) 3)

Вариант 10. 1) 2) 3)

Задание 2. Вычислить предел функции.

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5. Вариант 6.

Вариант 7. Вариант 8.

Вариант 9. Вариант 10.

Задание 3. Вычислить пределы функций.

Вариант 1. 1) 2)

Вариант 2. 1) 2)

Вариант 3. 1) 2)

Вариант 4. 1) 2)

Вариант 5. 1) 2)

Вариант 6. 1) 2)

Вариант 7. 1) 2)

Вариант 8. 1) 2)

Вариант 9. 1) 2)

Вариант 10. 1) 2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Односторонние пределы, непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация.

Функция называется непрерывной, если . Это определение

означает, что функция непрерывна, если при малых изменениях соответствующие значения функции тоже мало изменяются. Те точки, где это условие не выполняется, называются точками разрыва.

При вычислении предела в точке a приближаться к этой точке по оси можно

слева и справа. Поэтому рассматривают односторонние пределы – «слева» и «справа».

Обозначают односторонние пределы следующим образом:

- предел «справа», - предел «слева».

Пример. Найти односторонние пределы функции в точке .

Пример.Найти односторонние пределы функции в точке .

Точки, в которых нарушается непрерывность, называются точками разрыва. Их делят на три вида: устранимый разрыв, разрыв первого рода, разрыв второго рода.

1) Если , то - точка устранимого разрыва.

2) Если но ,

то - точка разрыва первого рода

3) Если хотя бы один из односторонних пределов равен , то -точка разрыва второго рода

Если оба предела и значение функции совпадают, то есть , то в точке функция непрерывна.

Задание 1. Построить график заданной функции, определить характер точек разрыва, вычислить в этих точках пределы слева и справа.

Непрерывность этой функции может нарушаться в точках «стыка», то есть при . Найдем односторонние пределы в этих точках.

Значит, точка - разрыв первого рода.

Значит, точка - точка непрерывности.

Значит, точка - разрыв второго рода.

Строим график функции.

Таблица основных производных, правила дифференцирования. Производная сложной функции.

Пусть задана функция .Обозначим - малое приращение . Тогда производной называется

Правила дифференцирования.

1). Производная от числа равна нулю:

2). Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

3) Производная суммы равна сумме производных:

4) Правило для произведения функций:

5) Правило для дроби:

Таблица производных.

1) 8)

2) 9)

3) 10)

4) 11)

5) 12)

6) 13)

Найти производные функций.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Напомним, что

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Производная сложной функции.

Пусть

Запишем таблицу производных для сложной функции.

1) 8)

2) 9)

3) 10)

4) 11)

5) 12)

6) 13)

Найти производные сложных функций.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Задание 2. Вычислить производные функций.

Интервалы монотонности, экстремум функции одной переменной. Выпуклость, вогнутость функции, точки перегиба. Асимптоты.

При построении графика функции надо найти:

1) область определения

2) четность, нечетность

3) интервалы возрастания и убывания, экстремумы

4) интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

5) асимптоты

Экстремумы функции находятся по следующей схеме:

1) Находим производную, приравниваем к нулю, решаем это уравнение. Корни уравнения называются критическими точками. Корни знаменателя производной тоже называются критическими точками.

2) Критические точки отмечаем на прямой и на каждом интервале ставим знак

производной

3) Если , на этом интервале функция возрастает, если , на этом интервале функция убывает.

4) Если при переходе через критическую точку производная меняет свой знак с «плюс» на «минус», то в точке - максимум. Если при переходе через критическую точку производная меняет свой знак с «минус» на «плюс», то в точке - минимум.

Пример. Найти экстремумы функции

Отмечаем точки на оси и ставим знаки производной.

В точке - максимум, в точке - минимум. Подставляя и в функцию, найдем .

Пример. Построить график функции

Найдем точки пересечения графика с осью .

Экстремумы найдены в предыдущем примере.

Пример. Построить график функции

Найдем экстремумы.

Отмечаем точки на прямой и на полученных интервалах ставим знаки производной.

Строим график функции.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Задание 1. Построить график заданной функции, определить характер точек разрыва, вычислить в этих точках пределы справа и слева.

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 3. Вариант 4.

Вариант 5. Вариант 6.

Вариант 7. Вариант 8.

Вариант 9. Вариант 10.

Задание 2. Вычислить производные функций.

Вариант 1 . 1) 2)

3) 4)

Вариант 2. 1) 2)

3) 4)

Вариант 3. 1) 2)

3) 4)

Вариант 4. 1) 2)

3) 4)

Вариант 5. 1) 2)

3) 4)

Вариант 6. 1) 2)

3) 4)

Вариант 7. 1) 2)

3) 4)

Вариант 8. 1) 2)

3) 4)

Вариант 9. 1) 2)

3) 4)

Вариант 10. 1) 2)

3) 4)

Задание 3.Найти экстремумы функции, указать интервалы убывания и возрастания, построить график

Вариант 1. 1) 2)

Вариант 2. 1) 2)

Вариант 3. 1) 2)

Вариант 4. 1) 2)

Вариант 5. 1) 2)

Вариант 6. 1) 2)

Вариант 7. 1) 2)

Вариант 8. 1) 2)

Вариант 9. 1) 2)

Вариант 10. 1) 2)

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Функция называется первообразной функции , если . Например, для первообразной будет функция , так как . Для функции первообразной будет функция , так как . Заметим, что если первообразная функции , то , где С – любое число, тоже первообразная функции , так как .

Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается .

Например, , так как

Запишем таблицу неопределенных интегралов.

1) 8)

2) 9)

3) 10)

4) 11)

5) 12)

6) 13)

При нахождении неопределенного интеграла используют правила:

1. , то есть постоянный множитель выносится

за знак интеграла

2. , то есть интеграл от суммы равен

сумме интегралов.

Пример.

По определению Например,

Пример.

Дифференциалом функции называется

Например:

Пример.

Выражение называется полным квадратом.

Пример.

При нахождении интегралов иногда используют формулу

Например:

Пример.

Задание 1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Задание 1. Найти интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов. В задании e)

надо выделить в знаменателе полный квадрат, в задании f) в числителе выделяется

производная знаменателя.

Вариант 1. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 2. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 3. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 4. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 5. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 6. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 7. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 8. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 9. а) в)

с) d)

e) f)

Вариант 10. а) в)

с) d)

e) f)

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Здесь и называются пределами интегрирования, - первообразная , то есть неопределенный интеграл. Для вычисления определенного интеграла надо найти первообразную, найти ее значения на верхнем пределе, на нижнем пределе и вычесть.